错那县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

错那县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知点A（0，1），B（3，2），向量A．（﹣7，﹣4）

B．（7，4）

=（﹣4，﹣3），则向量C．（﹣1，4）

=（ ）

D．（1，4）

2． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知A,B,C三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）

A．48 B．36 C．24 D．18

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 3． 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD，G为CC1中点， 则直线A1C1与BG所成角的大小是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

24． fx2axa 在区间0,1上恒正，则的取值范围为（ ）

A．a0 B．0a2 C．0a2 D．以上都不对

，

5． 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（﹣

），∠AOC=α，若|BC|=1，则

cos2

﹣sin

cos

﹣

的值为（ ）

A．

B．

C．﹣

D．﹣

x2y26． 已知直线l：ykx2过椭圆221(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆

ab第 1 页，共 15 页

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45，则椭圆离心率e的取值范围是（ ） 525355（A） 0， （ B ） 0， （C） 50，5 （D） 5x2y24截得的弦长为L，若L450， 57． 设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“A．充分条件但不是必要条件

”的（ ）

B．必要条件但不是充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 8． 下列式子表示正确的是（ ）

A、00,2,3 B、22,3 C、1,2 D、0 9． 已知复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位），则|z|=（ ） A．1

B．2

C．3

D．

10．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．

x 0 2 3 4 ﹣1 f（x） 1 2 0 2 0 当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（ ）

A．2

B．3 C．4 D．5

2x1，则曲线yfx在点1，f1处切线的斜率为（ ） x1A．1 B．1 C．2 D．2 11．已知函数fx112．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=

，且f（x）=f（x+2），g（x）=

，

则方程g（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ） A．12

B．11

C．10

D．9

二、填空题

13．若不等式组

表示的平面区域是一个锐角三角形，则k的取值范围是 ．

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214．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数fxaxbxc（a,b,c为常数）的导函数为fx，

b2对任意xR，不等式fxfx恒成立，则2的最大值为__________．

ac2315．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经

2过圆C:xya2的圆心，则实数a的值为__________．

216．若函数y=f（x）的定义域是[，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为 ．

17．函数f（x）=ax+4的图象恒过定点P，则P点坐标是 ． 18．设函数关系是______．

则

______；若

，，则的大小

三、解答题

19．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|． （Ⅰ）求函数f（x）的最小值m； （Ⅱ）若正实数a，b足+=

20．已知函数f（x）=x3+x．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）求证：f（x）是R上的增函数；

（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．

3322

（参考公式：a﹣b=（a﹣b）（a+ab+b））

，求证： +≥m．

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21．已知椭圆E：

=1（a＞b＞0）的焦距为2

，且该椭圆经过点

．

（Ⅰ）求椭圆E的方程； MN与y轴垂直时，求k1k2的值．

（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线

22．设0＜||≤2，函数f（x）=cos2x﹣||sinx﹣||的最大值为0，最小值为﹣4，且与的夹角为45°，求|+|．

23．已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R． （1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；

（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围； （3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．

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24．（本小题满分12分）

某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：

频率组距a0.0250.020.0150.005O5060708090100销售量/千克

（Ⅰ）求频率分布直方图中的a的值，并估计每天销售量的中位数；

（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．

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错那县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到则向量

=

=（﹣7，﹣4）；

故答案为：A．

=（3，1），向量

=（﹣4，﹣3），

【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．

2． 【答案】C

【解析】根据分层抽样的要求可知在C社区抽取户数为108180210824．

36027018093． 【答案】C

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系， 设AA1=2AB=2AD=2，

A1（1，0，2），C1（0，1，2），B（1，1，0），G（0，1，1），设直线A1C1与BG所成角为θ， cosθ=∴θ=60°． 故选：C．

=

=，

=（﹣1，1，0）， =（﹣1，0，1），

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【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．

4． 【答案】C 【解析】

2试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数fx2axa在区间0,1上恒正，则

a0f(0)0，即，解得0a2，故选C. 2f(1)02aa0考点：函数的单调性的应用. 5． 【答案】 A

，﹣

﹣α，∴cos（

﹣α）=

cos（

﹣α）+sin

cos（

﹣α）﹣cos

==

，

（2cos

2

），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，﹣sin（

﹣α）=﹣

sin（

﹣α）

sin（

，

，

【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（

又∠AOC=α，∴∠AOB=∴sin（

﹣α）=

﹣（

=﹣（=﹣sin﹣

cos．

﹣α）]=cos

，

﹣α）]=sin

． ﹣

∴cosα=cos[=

+

∴sinα=sin[=∴=

故选：A．

﹣cos2

﹣α）

﹣1）﹣sinα=

cosα﹣sinα

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．

6． 【答案】 B

【解析】依题意，b2,kc2.

4516,解得d2 55。

111612又因为d，所以解得,k1k2。 1k2

设圆心到直线l的距离为d，则L24d2第 7 页，共 15 页

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2c2c2120e.故选B． 0e,e于是55解得a2b2c21k2，所以

7． 【答案】A

2【解析】解：因为abc=1，所以=

≤a+b+c．

，则=

当a=3，b=2，c=1时，

所以设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“故选A．

8． 【答案】D 【解析】

试题分析：空集是任意集合的子集。故选D。

显然成立，但是abc=6≠1，

”的充分条件但不是必要条件．

考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。 9． 【答案】D

【解析】解：∵复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位）， ∴z=∴|z|=故选：D．

【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．

10．【答案】C

【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：

=﹣i﹣1，

=

．

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因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，

所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个． 故选：C．

【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．

11．【答案】A 【解析】

2x1112，则f'x2，所以f'11． xxx考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 试题分析：由已知得fx12．【答案】B

【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数， 函数g（x）=对称，

函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称， 设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d， 则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3， 故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11， 即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．

，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）

故选：B．

【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．

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二、填空题

13．【答案】 （﹣1，0） ．

【解析】解：作出不等式组

表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5） △ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化， 将直线AC绕A点旋转，可得

当C点与C1（2，5）重合或与C2（2，3）重合时，△ABC是直角三角形， 当点C位于B、C1之间，或在C1C2的延长线上时，△ABC是钝角三角形， 当点C位于C1、C2之间时，△ABC是锐角三角形， 而点C在其它的位置不能构成三角形

综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k＜0 即k的取值范围是（﹣1，0） 故答案为：（﹣1，0）

【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

14．【答案】222

【解析】试题分析：根据题意易得：f'x2axb，由fxf'x得：axb2axcb0在R

2c4122a0b4ac4aa上恒成立，等价于：{ ，可解得：b24ac4a24aca，则：22222，

0acacc1a第 10 页，共 15 页

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c4t令t1,(t0)，y2at2t2b244的最大值为222． 222，故222act2222t考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 15．【答案】2

【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

32对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

2则切线方程为：y11x1，即yx2，

22圆C：xya2的圆心为0,a，则：a022.

16．【答案】 [

，4] ．

≤log2x≤log24，

【解析】解：由题意知≤log2x≤2，即log2∴

≤x≤4．

，4]．

故答案为：[

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f（x）的定义域是[，2]，得到≤log2x≤2”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．

17．【答案】 （0，5） ．

【解析】解：∵y=ax的图象恒过定点（0，1），

而f（x）=ax+4的图象是把y=ax的图象向上平移4个单位得到的， ∴函数f（x）=ax+4的图象恒过定点P（0，5）， 故答案为：（0，5）．

【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．

18．【答案】，

【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】

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，因为

又若所以：

，结合图像知：。

，所以

故答案为：，

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分） 当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分） ∴m=2．…（4分） （Ⅱ）证明：∵（∴（∴

++

）×≥（

+

）[

]≥（

2

）=3，

2），

≥2．…（7分）

【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

20．【答案】

【解析】解：（1）f（x）是R上的奇函数

33

证明：∵f（﹣x）=﹣x﹣x=﹣（x+x）=﹣f（x），

∴f（x）是R上的奇函数

（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）

2

+x22+1]＜0恒成立，

因此得到函数f（x）是R上的增函数．

（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3）， ∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m）， ∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m）， ∵函数f（x）是R上的增函数，

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∴m+1＜3﹣2m， ∴

，

=1；

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2

22

解得，a=4，b=1；

+y2=1；

故椭圆E的方程为

（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0， 直线MN与y轴垂直， 则点N的纵坐标为0， 故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾． 当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）； 由

得，

（+4）y2﹣=0； ；

解得，yM=

∴M（，），

同理N（，），

=

；

由直线MN与y轴垂直，则∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0， ∴k2k1=．

【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．

22．【答案】

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2

【解析】解：f（x）=cosx﹣||sinx﹣||

+1﹣||=0，

=

=﹣sin2x﹣||sinx+1﹣|| =﹣（sinx+

2）+

+1﹣||， ＜0，

∵0＜||≤2，∴﹣1≤﹣由二次函数可知当sinx=﹣

时，f（x）取最大值

当sinx=1时，f（x）取最小值﹣||﹣||=﹣4， 联立以上两式可得||=||=2， 又∵与的夹角为45°， ∴|+|=

=

【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数的最值和模长公式，属基础题．

23．【答案】

【解析】解：（1）a=1时，f（x）=4x﹣22x+2， f（x）﹣1=（2x）2﹣2•（2x）+1=（2x﹣1）2=0， ∴2x=1，解得：x=0；

（2）4x﹣a•（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立， a•（2•2x﹣1）＜4x+1， ∵2x+1＞1， ∴a＞

，

，

=0，

x

令2=t∈（1，2），g（t）=

则g′（t）==

t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增， 而g（1）=2，g（2）=， ∴a≥2；

（3）若函数f（x）有零点， 则a=

有交点，

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由（2）令g（t）=0，解得：t=故a≥

．

，

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题． 24．【答案】（本小题满分12分）

解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025a)101得a0.035 （3分）

0.151074.3千克 （6分） 0.35（Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180元；

每天销售量的中位数为70 若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270元. （12分）

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