三角形角平分线专题讲解课件.doc

口诀：

图中有角平分，可向两边线作垂线。也可将图对折看，称以后关系现对。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相 等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短）。 边

通常情况下， 出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线； 其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

E

A

（一）、截取构全等

O

D C

几何的证明在于猜想与尝试，但种尝这 与试

猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能

F

B

1-1 图

掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地

去猜想，按一定的规律去尝 。试下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以 介绍。

如图1-1 ，∠AOC=∠BOC，如取 OE=O，F 并连接 DE、DF，则有△ OED≌ △ OFD， 从而为我们段、角相等创线明证造了条件。

A

例1． 如图1-2 ，AB//CD，BE平分∠ BCD，

E

D

CE平分∠ BCD，点 E在 AD上，求证：BC=AB+C。D

分析 ：此题中就涉及到角平分线，可以利 用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分 线来构造形，同时图称对轴此题也是证明线段

的和差倍分问 在证，题明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法

B

1-2 图

C

F

来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。 但无论延

长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等， 截 取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证 ：在此题中可在长线段 BC上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明 的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。 另外一个全等自已证明。 此 题的证明也可以延长 BE与 CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

例2． 已知：如图 1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=D，B 求证 D C⊥AC 分析 ：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。 构造的方法还是截取线段 相等。其它问题自已证明。

A

C

E

D

B

图1-3

例3． 已知：如图 1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证： AB- AC=CD

分析 ：此题的条件中还有角的平分线， 在证明

A

中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的 和差倍分问题。 用到的是截取法来证明的， 在长的

E

线段上截取短的线段， 来证明。 试试看可否把短的 延长来证明呢？

B

D

C

图1-4 练习

1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=

2∠C，求证：AB+BD=AC

2．

已知：在△ ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交 BC于E，AB=2AC，

求证：AE=2CE

3．

已知：在△ ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。

求证：BM-CM>AB-AC

4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线 A D上的任一点，连接 DB、

D C。求证：BD+CD>AB+。AC

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明 问题。

A

例1． 如图 2-1，已知 AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=B。C 求证：∠ADC+∠B=180

D

分析 ：可由 C 向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ ADC

E

F

B

与∠B之和为平角。

C

图 2-1

例2． 如图 2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。 求证：BC=AB+AD

A

分析 ：过 D 作 DE⊥BC于 E，则 AD=DE=C，E则构造出

D

全等三角形， 从而得证。 此题是证明线段的和差倍分问题， 从中利用了相当于截取的方法。

B

E

C

图2-2

例3． 已知如图 2-3，△ABC的角平分线 BM、CN相交于点 P。求证：∠ BAC 的平分线也经过点 P。

A

分析 ：连接 A P，证 AP平分∠BAC即可，也就是证 P到AB、 AC的距离相等。

B

N D

P

M F C

图2-3

练习：

1．如图 2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥O A，

B

C

如果 PC=4，则 PD=（ A 4 B 3 C 2

）

O

P D

A

D 1

图2-4

2．已知在△ ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。 3．已知：如图 2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>A，D CE⊥AB，

A

1

AE=2

（AB+AD）. 求证：∠D +∠B=180 。

D

E

4. 已知：如图 2-6, 在正方形 ABCD中，E为 CD 的中点，

B

C

图2-

5 F 为 BC

上的点，∠ FAE=∠DAE。求证： AF=AD+C。F 5．

已知：如图 2-7，在 Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为 D，AE

平分∠CAB交 CD于 F，过 F 作 FH//AB 交 BC于 H。求证 CF=BH。

A

D

C

E

E

F

H

B F C

图2-6

A D

B

图2-7

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，

使之与角的两边相交， 则截得一个等腰三角形，

以利用中位线的性质与等腰三

垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高，

角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一 边相交）。

例1． 已知：如图 3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于 D，H是 BC中点。 求证：DH=

1

（AB-AC） 2

A

分析 ：延长 CD交 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。

C

D E

B

H

图示 3-1

F

例2． 已知：如图 3-2，AB=AC，∠BAC=90，A D为∠AB

A

C的平分线， C E⊥BE.求证：BD=2C。E

E D

分析 ：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的

B

C

垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角

图3-2

形。

例 3．已知：如图 3-3 在△ABC中，A D、AE分别∠BAC的内、外角平分线， 过顶点 B 作BFAD，交 AD的延长线于 F，连结 FC并延长

A

交 AE于M。

M

求证：AM=M。E

D

B

C

E

分析 ：由 A D、AE是∠BAC内外角平分线，可得 EA

F

N

图3-3

⊥AF，从而有 BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。

例4． 已知：如图 3-4 ，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交 AD 延长线于 M。求证：AM= （AB+AC）

2 1

分析 ：题设中给出了角平分线 A D，自然想到以 AD为轴作对称变换，作△ AB

1

D关于 AD的对称△AED，然后只需证 DM=

2

1 2

EC，另外

A

C也可 由求证的结果 AM= （AB+AC），即 2AM=AB+A，尝试作△ ACM关于 C M的对称△ FCM，然后只需证 DF=C

D

E

F

C

n

B

F 即可。

M

图3-4

练习： 1．

已知：在△ ABC中，AB=5，AC=3，D是 BC中点，AE是∠BAC的平分

线，且 C E⊥AE于E，连接 DE，求 D E。

2．

已知 B E、BF 分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线， AF⊥BF

1 BC 2

于 F，AE⊥BE于 E，连接 EF分别交 A B、AC于 M、N，求证 MN=

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时， 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线， 从而构造等腰 三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交， 从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。

C

H

D

F

E

A

I

C

G

A

B

B

图4-1

图4- 2

例 4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－C D。

C

A

1

2

D

B

例 5 如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且 AD=C，D 求证：∠ A+∠C=180。

A

B D

C

例 6 如图，A B∥C D，A E、DE分别平分∠ BAD各∠ADE，求证： AD=AB+C。D

D

C

E

A B

练习：

1. 已知，如图，∠ C=2∠A，AC=2BC。求证：△ ABC是直角三角形。

C

A

B

2．已知：如图， AB=2AC，∠1=∠2，DA=D，B 求证：D C⊥AC

A 1 2

C

B D

3．已知 C E、AD是△ABC的角平分线，∠ B=60° ，求证： AC=AE+CD

A

E

B D C

4．已知：如图在△ ABC中，∠A=90° ，AB=AC，B D是∠ABC的平分线，求证： BC=AB+AD

A

D

B

C

三 由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等 于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段。

明有关线证于对段和差的不等式， 通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可

连接两点或廷某边长构成三角形，使结论中出的线现段在一个或几个三角形中， 再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、 已知如图1-1：D、E为△ ABC 内两点 ,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）

A

将 DE两边延长分别交 A B、AC于 M、N，

在△ AMN中，AM+AN>MD+DE+（N E1;） 在△ BDM中，MB+MD>B； （D 2）

M

D E N

在△ CEN中，CN+NE>C；E（3） 由（ 1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）

延长BD交 AC于 F，廷长CE交 BF于 G，在△ABF和

B

C

图1

1

A F G D

E

C

△GFC和△ GDE中有：

AB+AF>BD+DG+（G三F 角形两边之和大于第三边） ⋯ （1）

GF+FC>GE+（C E同上）（2）

B

图

1 2

A

DG+GE>D（E同上）（3）

E

由（ 1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB+AC>BD+DE+。EC 二、

在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内

B

G

D F

2 1 图

C

角时如直接证不出来时， 可连接两点或延长某边， 构造三角形， 使求证的大角在

某个三角形的外角的位置上， 小角处于这个三角形的内角位置上， 再利用外角定 理：

例如：如图2-1：已知 D为△ ABC 内的任一点，求证：∠ BDC>∠BAC。 分析： 因为∠ BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当 添加辅助线构造新的三角形，使∠ BDC处于在外角的位置，∠ BAC处于在内角 的位置；

证法一 ：延长BD交 AC于点 E，这 BDC是△ EDC的外角， ∠时∴∠ BDC>∠DEC，同理∠ DEC>∠BAC，∴∠ BDC>∠BAC 证法二 ：连接 A D，并廷长交 BC于 F，这 BDF是△ABD的 ∠时外角，∴∠ BDF>∠BAD，同理，∠ CDF>∠CAD，∴∠ BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠ BDC>∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时， 通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、 如：

A

有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，

例如：如图3-1：已知 AD为△ ABC 的中线，且∠ 1=

N

∠2,∠3=∠4,求证： BE+CF>EF 。

E

F

2 3 4 1

C

B

D 3 1 图

分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定 理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由 已知∠ 1=∠2，

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN，FN，EF 移到同个三角形中。

证明： 在 DN上截取 DN=D，B连接 N E，NF，则DN=D，C 在△ DBE和△NDE中： DN=D（B辅助线作法） ∠1=∠2（已知） ED=ED（公共边） ∴△ DBE≌ △NDE（SAS）

∴BE=NE（全等三角形对应边相等） 同理可得： CF=NF

在△ EFN中 EN+FN>E（F三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>E。F

注意：当证题有角平分 ，时线常可考虑在角的两边截取相等的线段， 构造全 等三角形，然后用全等三角形的对得到相等元素。 质性应

四、 截长补短法作助线辅。

例如：已知如图6-1 ：在△ ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上 任一点

求证：AB-AC>PB-P。C

分析： 要证： AB-AC>PB-P，C 想到利用三角形三边关系，定理证之，因为

欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可

在 AB上截取 AN等于 A C，得 AB-AC=B，N 再连接 PN，则PC=PN，又在△ PNB中， PB-PN即： AB-AC>PB-P。C

证明：（截法） 长

在 AB上截取 AN=AC连接 PN,在△APN和△APC中 AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边）

∴△ APN≌ △APC（SAS）, ∴PC=PN（全等三角形对应边相等） ∵在△ BPN中，有 PB-PNA

1 2 P

N

B图6 1

C

D

M

延长AC至 M，使 AM=A，B连接 PM， 在△ ABP和△AMP中 AB=AM（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边）

∴△ ABP≌ △AMP（SAS） ∴PB=PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△ PCM中有： CM>PM-PC三(角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-P。C

例 1．如图， AC平分∠ BAD，CE⊥A B，且∠ B+∠D=180°，求证： AE=AD+B。E

A

D

E B

C

例 2 如图，在四边形 ABCD中， AC平分∠ BAD，CE⊥AB于 E，AD+AB=2A，E 求证：∠ ADC+∠B=180o

D

C

A E B ABC。

例 3 已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC， A=108°， BD平分 求证： BC=AB+D。C

A

D

B C

例 4 如图，已知 Rt△ABC中，∠ACB=90° ，AD是∠CAB的平分线， DM⊥AB

1

A

于 M，且 AM=M。B求证：CD=2

DB。

M

C D B

1．如图，A B∥C D，A E、DE分别平分∠ BAD各∠ADE，求证：AD=AB+C。D

D

C

E

A B

2. 如图，△ ABC中，∠BAC=90° ，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B，C 在 AE的异侧，

BD⊥AE于 D，C E⊥AE于 E。求证： BD=DE+CE

四 由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中， 如果已知一点是三角形某一边上的中点， 那么首先应该联想到 三角形的中线、 中位线、加倍延长中线及其相关性质 （直角三角形斜边中线性质、 等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图 1，AD是 ΔABC的中线，则 S是等底同高的）。

ΔABD

=S

ΔACD

= S

ΔABC

（因为 ΔABD与 ΔACD

例 1．如图 2，ΔABC中，AD是中线，延长 A D到 E，使 DE=AD，DF是ΔDCE 的中线。已知 ΔABC的面积为 2，求： ΔCDF的面积。

解：因为 AD是 ΔABC的中线，所以 SACD= SABC= × 2=1，又因 CD是 ΔAC

Δ

Δ

E的中线，故 S

ΔCDE

=S

ΔACD

=1，

Δ

Δ

因 DF是 ΔCDE的中线，所以 SCDF= SCDE= × 1= 。 ∴ΔCDF的面积为 。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例 2．如图 3，在四边形 ABCD中，AB=CD，E、F 分别是 BC、A D的中点， BA、 CD的延长线分别交 EF的延长线 G、H。求证：∠ BGE=∠CHE。

证明：连结 B D，并取 BD的中点为 M，连结 ME、MF， ∵ME是 ΔBCD的中位线， ∴ME

C D，∴∠MEF=∠CHE，

∵MF是 ΔABD的中位线， ∴MF

A B，∴∠MFE=∠BGE，

∵AB=CD，∴ME=M，F∴∠MEF=∠MFE， 从而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延中线 长

例 3．图4，已知 ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求 B C的长。 解：延长AD到 E，使 DE=AD，则AE=2AD=×2 2=4。 在 ΔACD和 ΔEBD中， ∵AD=ED，∠ ADC=∠EDB，CD=B，D

∴ΔACD≌ ΔEBD，∴ AC=BE， 从而 BE=AC=。3 在 ΔABE中，因 AE ∴BD=

=

=

2

+BE2=42+32=25=AB2，故∠ E=90°，

，故 BC=2BD=2 。

例 4．如图5，已知 ΔABC中， AD是∠BAC的平分线， AD又是 BC边上的中 线。求： ΔABC是等腰三角形。 证

证明：延AD到 E，使 DE=AD。 长仿例 3 可证： ΔBED≌ ΔCAD， 故 EB=AC，∠E=∠2， 又∠ 1=∠2， ∴∠ 1=∠E，

∴AB=EB，从而 AB=AC，即 ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

例 5．如图6，已知梯形 ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证： AC=BD。 证明：取 AB的中点 E，连结D E、C E，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC 斜边AB上的中线，故 DE=CE= A B，因此∠ CDE=∠DCE。

∵AB//DC，

∴∠ CDE=∠1，∠ DCE=∠2， ∴∠ 1=∠2，

在 ΔADE和 ΔBCE中，

∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，

∴ΔADE≌ ΔBCE，∴ AD=BC，从而梯形 ABCD是等腰梯形，因此 AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例 6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠ BAC=9°0 ， B D平分∠ ABC交 AC 于点 D，CE垂直于 B D，交 BD的延长线于点 E。求证： BD=2C。E

证明：延B 长A，CE交于点 F，在 ΔBEF和 ΔBEC中， ∵∠ 1=∠2，BE=BE，∠ BEF=∠BEC=9°0 ， ∴ΔBEF≌ ΔBEC，∴ EF=EC，从而 CF=2CE。 又∠ 1+∠F =∠3+∠F=90°，故∠ 1=∠3。

在 ΔABD和 ΔACF中，∵∠ 1=∠3，AB=AC，∠ BAD=∠CAF= 90°，

∴ΔABD≌ ΔACF，∴ BD=C，F ∴ BD=2C。E 注：此例中 BE是等腰 ΔBCF的底边CF的中线。

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出了三角形的中线现， 常延长加倍此线段 ，再将端点连 便可 ，结得到全等三角形。

例一 ：如图4-1 ：AD为△ABC的中线，且∠ 1=∠2，∠3=∠4，求证： BE+CF> EF。

A

：廷长明证ED至 M，使 DM=D，E连接 CM，MF。 在△ BDE和△ CDM中，

E

BD=C（D 中点定义） ∠1=∠5（对顶角相等）

F

2 34

1

C

D

B

ED=M（D辅助线作法） ∴△BDE≌ △CDM（SAS）

又∵∠1=∠2，∠ 3=∠4（已知）图4 1

M

∠1+∠2+∠3+∠4=180°（ 平角的定义） ∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90° ∴∠FDM∠= EDF=90° 在△ EDF和△MDF中 ED=M（D辅助线作法） ∠EDF=∠FDM（已证） DF=DF（公共边）

∴△EDF≌ △MDF（SAS） ∴EF=MF（全等三角形对应边相等）

∵在△ CMF中， CF+CM>M（F三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF

上题也可加倍 F D，证法同上。

注意： 当涉及到有以线段中点为端点的线段时， 可通过延长加倍此线段， 构 造全等三角形，使题中分散的条件集中。

例二 ：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证： AB+AC>2A。D

分析：要证AB+AC>2A，D由图想到： AB+BD>AD,AC+CD>，A所D以有 AB+AC+BD +CD>AD+AD=2，AD左边比要证结论多 BD+C，D 故不能直接证出此题，而由 到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

：延长明证AD至 E，使 DE=AD，连接 B E，CE

A

2AD想

∵AD为△ABC的中线（已知） ∴BD=CD（中线定义）

D

在△ ACD和△EBD中

B

C

BD=C（D 已证） ∠1=∠2（对顶角相等）

E

AD=ED（辅助线作法）

5 1 图

∴△ ACD≌ △EBD（SAS） ∴BE=CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ ABE中有： AB+BE>A（E三角形两边之和大于第三边）

∴AB+AC>2A。D 练习：

1 如图，AB=6，AC=8，D为 BC 的中点，求 AD的取值范围。

A 6 B

8

D C

2 如图，AB=CD，E为 BC的中点，∠ BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。

A

B E C D

3 如图，AB=AC，AD=AE，M为 BE中点，∠BAC=∠DAE=90° 。求证：AM⊥D C。

A D

B D D

M

C

D

E D

4，已知△ABC，AD是 BC边上的中线，分别以 AB边、A C边为直角边各向外 作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF=2AD。

E

A

F

B

D 2 图 5

A

C

5．已知：如图 AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：

E

BF=AC

F

B D C