八上勾股定理及其逆定理的复习与巩固[1][1]

勾股定理单元复习与巩固

知识网络

目标认知 学习目标：

1、了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程； 2、理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；

3、能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．

重点：

勾股定理及其逆定理的应用

难点：

勾股定理及其逆定理的应用

知识要点梳理

知识点一：勾股定理

222

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

知识点二：勾股定理的逆定理

222

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

222222

（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

222222

（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c1）

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错 误。

222

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a+b＝c，•那么这个三角形是直

角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加

深对“数形结合”的理解．

经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

222

（3x）+（4x）＝20

2

化简得x＝16；

∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x＝96

2

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

举一反三

【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

2）

【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） ∴BD＝1

222222

在直角三角形ABD中，AB＝AD+BD，即：AD＝AB－BD＝4－1＝3 ∴AD＝

S△ABC＝BC·AD＝

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

由（1）得：x+y＝7，

222

（x+y）＝49，x+2xy+y＝49 (3) (3)－(2)，得：xy＝12

∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm）

2

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

222

（n+1）+（n+2）＝（n+3）

2

化简得：n＝4 ∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2

总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）

A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

222222

对数据较大的可以用c＝a+b的变形：b＝c－a＝（c－a）（c+a）来判断。 例如：对于选择D，

2

∵8≠（40+39）×（40－39）， ∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

3）

同理可以判断其它选项。 【答案】：A

【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

解：连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

222

∴AC=AB+BC=25（勾股定理） ∴AC=5

222

∵AC+CD=169，AD=169

222

∴AC+CD=AD ∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=

AB·BC+AC·CD=36

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中

学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作AB⊥MN，垂足为B。 在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，

∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）

∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，

4）

那么AC＝100(m)，

222

由勾股定理得： BC＝100-80＝3600,∴ BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。

拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三

【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4＝7(m) 设走“捷径”的路长为xm，则

故少走的路长为7－5＝2(m)

又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。 【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

5）

【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面

积。

（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，

，

，故

类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 解：连接AD．

因为∠BAC=90°，AB=AC．

又因为AD为△ABC的中线，

所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°． 因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°．

6）

所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．

在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

，所以EF=13。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

（二）方程的思想方法 的值。

4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

，求、、

思路点拨：由

，再找出、的关系即可求出和的值。

解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 则 因为

，由勾股定理，得

，所以

，

。

，，。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

举一反三：

【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，

7）

所以AD=AF，DE=EF。

因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在Rt△ABF中，

AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，

。

。

，则

，即

。

，解得

。

所以 所以 设

在Rt△ECF中，

即EF的长为5cm。

中考题萃 一、填空题

1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____________．

2.（江西省）如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图

像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5-x(0≤x≤5),则结论： ①AF=2； ②BF=5； ③OA=5； ④OB=3中，正确结论的序号是______________.

3.（永州）一棵树因雪灾于A处折断，，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干

AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为____________米（答案可保留根号）．

4.（湖州市）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的

定理，这个定理称为____________，该定理的结论其数学表达式是____________．

8）

5.（荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有

一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，

设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝.（精确到个位，参考数据：

）

二、选择题

1.（荆门大纲）园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，

米，且

，这块草坪的面积是（ ）

米，米，

A．

2.（山西吕梁课改）如图，分别以直角

的三边

米 B．

米 C．

米 D．

米

为直径向外作半

9）

圆．设直线左

，右边阴影部分的面积和为

，则（ ）

边阴影部分的面积为

A．

三、解答题

B．

C．

D．无法确定

（白银课改）一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．

学习成果测评 基础达标 一、选择题

1．已知△ABC中，∠A= A．1：1：

∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）． ：2 C．1：

：

D．1：4：1

B．1：

2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．

A．

B．3 C． D．

3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．

A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5 4．下列各命题的逆命题成立的是（ ） A．全等三角形的对应角相等

10）

B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等

5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．

cm B．2

2

A．cm C．3

2

cm D．4cm

22

6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（ ）． A．2 B．4 C．2

D．

7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（ ）．

A． B． C．1 D．

8．下面四组数中是勾股数的有（ ）． （1）1.5，2.5，2 （2）

，

，2

（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

9．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）． A．182 B．183 C．184 D．185

10．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•则CN的长为（ ）．

A． B． C． D．

11）

(第10题) (第12题)

二、填空题

11．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为_____． 12．你听说过亡羊补牢的故事吗？如图,为了防止羊的再次丢失，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏

门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需_____m长．

13．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若 在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为_______米．

(第13题)

三、解答题

14．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，•其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

15．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

12）

16．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，•已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

13）