1997全国高考理科数学试题

1997全国高考理科数学试题

1997年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共

65分）

一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1．设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0

)

(A) x0x1 (C) x0x1 行 )

,

那

么

(B) x0x2 (D) x0x2 系

数

a=(

｝

,

集

合

M

∩

N= (

2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平

(A) －3 (B) －6

(C)

32

(D) 2 313．函数y=tg(1x)在一个周期内的图像是23 )

(

4．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3,BC=2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ) (A)

(B)

arccos33 arccos13(C)  2(D)

23(

5．函数y=sin(2x)+cos2x的最小正周期是3 ) (A)  2围是

(B) 

(C)

2(

(D)

4

6．满足arccos(1－x)arccosx的x的取值范

它 )

(A) (x－1)(y－1)=1 (C)

y1121x的普通方程是(

2

x2 (B) y=x1x2

(D)

yx11x2

10．函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 ) (A) 2

(B) 0

(C)

9(

14

4(D) 6

111．椭圆Cx+y=0 ) (A) (C)

x22y324922x3y2与椭圆

关于直线

对称,椭圆C的方程是

(

1

(B) (D)

x22y32941

x22y32941x22y32491

12．圆台上、下底面积分别为、4,侧面积为 )

6,这个圆台的体积是(

(A)

233

(B)

23

(C)

736 (D)

733

13．定义在区间,的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,）的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式： ①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)； ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a)； ④f(a)－f(－b)(A) ①与(B) ②与(C) ①与(D) ②与④

③

③

x03x2x3x2x中成立的是(

④ 的解集是

(

14．不等式组

)

(A) x0x2 (C) x0x6

(B) x0x2.5 (D) x0x3

15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

(

)

(A) 150种 (B) 147种 (C) 144种 (D) 141种

第Ⅱ卷

(非选择题共85分)

二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．

16．已知(axx9)2的展开式中x的系数为9,常43数a的值为________

17．已知直线的极坐标方程为sin()=4

则极点到该直线的距离是_____ 22,

7cos15sin818．sin的值为_______ cos7sin15sin819．已知m,l是直线，、是平面，给出下列命题：

①若l垂直于内的两条相交直线，则l； ②若l平行于,则l平行于内的所有直线； ③若m,l,且lm,则； ④若l,且l,则； ⑤若m,l,且∥,则m∥l．

其中正确的命题的序号是_______ (注:把你

认为正确的命题的序号都填上) ．

三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．(本小题满分10分) 已知复数z3122ii2222,．复数z,z在复

23数平面上所对应的点分别为P,Q．证明OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．

21．(本小题满分11分)

已知数列a,b都是由正数组成的等比数

nn列，公比分别为p、q,其中p> q,且p1，q1．设

cnanbn,Sn为数列c的前n项和．求limSS．

nnnn122．（本小题满分12分）

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已 知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变．．．．．．．．

部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．

I．把全程运输成本（元）表示为速度v（千．．．．．．y米/时）的函数，并指出这个函数的定

义域；

II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多．．．．．．大速度行驶？

23．（本小题满分12分）

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．

I．证明ADD1F； II．求AE与D1F所成的角；

III．证明面AED面A1FD1；

IV．设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积V24．(本小题满分12分)

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0(25)（本小题满分12分）

设足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．

1997年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．

1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D 13．C 14．C 15．D

二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．

16．4 17．19．①，④

注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．

三．解答题

20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

22 18．23

解法一：

z31icos()isin(),2266

22icosisin2244

于是

zcosisin,1212

12),zcos(12)isin(

33z23[cos()isin()](cosisin)334455isin1212cos

因为OP与OQ的夹角为5()，所以12122OP⊥OQ． 因为OPz1.OQz231，所以OPOQ

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．

解法二: 因为z因为31icos()isin()226622icosisin2244，所以z43i．

，所以1

于是

z23z23zz3422izzzz

由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│． 由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．

(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．

解:

a1(pn1)b1(qn1)Sn,p1q1

．

Sna1(q1)(pn1)b1(p1)(qn1)Sn1a1(q1)(pn11)b1(p1)(qn11)分两种情况讨论． (Ⅰ)p>1．

1, ∵pq0,0qpSnnSn1lim

n1qn1p[a1(q1)(1n)b1(p1)(nn)]ppplimn1qn11n1p[a1(q1)(1n1)b1(p1)(n1n1)]ppp1qn1)b(p1)[()n]1pnppplimn1q1a1(q1)(1n1)b1(p1)[()n1n1]pppa1(q1)(1

=

pa1(q1)a1(q1)

=p． (Ⅱ)p<1． ∵ 0SnnSn1lim

a1(q1)(pn1)b1(p1)(qn1)limna(q1)(pn11)b(p1)(qn11)11a1(q1)b1(p1)1a1(q1)b1(p1)

(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．

解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

yaSSabv2S(bv)vvvsv，全程运输成本为

故所求函数及其定义域为

ayS(bv),v(0,c] v(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有 aS(bv)2Sab vbv,．即v当且仅当avab时上式中等号成立

若小，

若

acb，则当vab时，全程运输成本y最

acb，则当v(0,c]时，有

=

aaS(bv)S(bc)vcaaS[()(bvbc)]vcS(cv)(abcv)vc

因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，

a所以S(a且仅当v=c时等号成立， bv)S(bc)，vc也即当v=c时，全程运输成本y最小． 综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为vv=c．

(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．

解:(Ⅰ)∵AC1是正方体， ∴AD⊥面DC1．

abbabcb；当

abcb时行驶速度应为

又D1F面DC1， ∴AD⊥D1F．

(Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．

设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．

(Ⅳ)连结GE，GD1．

∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1， ∴V∴SFA1ED1VGA1ED1VD1A1GE

∵AA1=2，

A1GES正方形ABBA2SA1AGSGBE1

1

32

113VFA1ED1VD1A1GEA1D1SA1GE21332

(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．

证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x1，x2是方程f(x)－x=0的根，所以

F(x)=a(x－x1)(x－x2)．

当x∈(0，x1)时，由于x10，又a>0，得

F(x)=a(x－x1)(x－x2)>0， 即xx1f(x)x1[xF(x)]x1xa(x1 x)(xx)2(x1x)[1a(xx2)]因为0xx1x21a

所以x1－x>0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2>1－ax2>0．

得 x1－f(x)>0． 由此得f(x)bx 2a0因为x1，x2是方程f(x)－x=0的根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0的根．

∴x1x2b1a，

．

x0a(x1x2)1ax1ax21b2a2a2a因为ax2<1，所以x0ax1x12a2(25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．

解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│， │a│．

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为r2=2b2，

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 r2=a2+1．

从而得2b2－a2=1．

又点P(a，b)到直线x－2y=0的距离为

da2b52r，故

，

所以5d2=│a－2b│2 =a2+4b2－4ab ≥a2+4b2－2(a2+b2)

=2b2－a2=1，

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．

由此有

ab,222ba1

解此方程组得

a1,b1;a1,或 b1.由于r2=2b2知r2． 于是，所求圆的方程是

(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 解法二:同解法一，得da2b

5∴a2b得a25d

①

4b245bd5d2将a2=2b2－1代入①式，整理得

2b245db5d210 ②

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

△=8(5d2－1)≥0，

得 5d2≥1．

∴5d2有最小值1，从而d有最小值

55．

将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．

将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．

综上a=±1，b=±1，r2=2． 由a2b=1知a，b同号． 于是，所求圆的方程是

(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2．