湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期九月调研考试数学试题

研考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题2AIB=B={-2,-1,0,1,2}1．已知集合A=xx-2x-8<0，，则（ ）{}A．{-2,-1,0,1,2}B．{-1,0,1,2}C．{-1,0,1}D．{-2,-1,0,1}2．复数z=2-i，则z-z=（ ）2+iA．-65B．658C．-i58D．i5uruururuururuuruur3．两个单位向量e与e满足e×e=0，则向量e-3e与e的夹角为（ ）1121222A．30°B．60°C．120°D．150°πöpöæ4．要得到函数f(x)=sinæ的图象，可以将函数2x+gx=sin2x+()ç÷ç÷的图象3ø12øèè（ ）A．向左平移π个单位4B．向左平移个单位8πC．向右平移π个单位4D．向右平移个单位8π5．某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：cm3）为（ ）试卷第11页，共33页

A．43π6B．47π6C．51p6D．55π66．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为N=N0e-kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ）A．49%B．51%C．65.7%D．72.9%222227．过双曲线E:x-y=1(a>0,b>0)的左焦点F作x+y=a的一条切线，设切点a2b2uuuruuur为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若FA=3FT，则双曲线E的离心率为（ ）A．3B．5C．132D．1528．已知A,B,C,D是半径为5的球体表面上的四点，AB=2，ÐACB=90°，ÐADB=30°，则平面CAB与平面DAB的夹角的余弦值为（ ）A．6-24B．21C．13D．33二、多选题

9．四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有

-1试卷第21页，共33页

（ ）A．-18B．-2C．-16D．-3210．直线y=kx-k过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）A．p=1C．以MN为直径的圆与定直线相切B．抛物线E的准线方程是x=-1D．ÐMON的大小为定值11．已知实数a，b满足aea=blnb=3，则（ ）A．B．C．D．a=lnbab=eb-a16．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点

试卷第31页，共33页

数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（nÎN*），记球在甲手中的概率为pn，则p3= ；pn= ． 五、解答题17．记数列{a}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2S=(n+2)(a-1)．nnnan+1ü(1)证明：数列ìíý为常数列；n+1îþT(2)求数列ì1ü的前n项和n．íýîanan+1þ18．设VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2acosB=2c-b．(1)求角A；(2)若a=7，且VABC的内切圆半径r=3，求VABC的面积S．19．近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间[50,100]范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图． (1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值；(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联试卷第41页，共33页

表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？性别测试成绩优秀男生女生合计2n(ad-bc)参考公式与数据：c=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2合计不优秀45a0.1xa2.7060.053.8410.016.63520．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD满足AB=CB=2，°AD=CD=5，ÐABC=90，棱PD上的点E满足PE=2DE． (1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)若PB=5，PD=22，且PA=PC，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．22BA|AB|=4xy21．椭圆E:+的左顶点为，右顶点为，满足，且椭圆=1(a>b>0)22abE的离心率为3．2试卷第51页，共33页

(1)求椭圆E的标准方程；ATEEBTC1ö(2)已知点Tæ在椭圆的内部，直线和直线分别与椭圆交于另外的点t,ç÷è2ø和点D，若VCDTt1的面积为，求的值．1722．已知函数f(x)=x2+mx+nex．()(1)若m=n=0，求f(x)的单调区间；(2)若m=a+b+2，n=a2+b2+2，且f(x)有两个极值点，分别为x和x(x参考答案：1．B【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式x2-2x-8<0，得-2uruuruur设e-3e与e的夹角为q，0°£q£180°，122uruuruururuuruure1-3e2×e2e×e-3e232,=-uuruur=12则cosq=ur2´12e1-3e2e2()所以q=150°.故选；D.4．Bπππéæù，根据三角函数图象的平移变换即可求解.öö【分析】f(x)=sinæ2x+=sin2x++ç÷÷êç3ø8ø12úèëèûπππéæù,öö【详解】因为f(x)=sinæç2x+÷=sinê2çx+÷+ú3ø8ø12ûèëèπpöπöæ所以将函数g(x)=sinæ的图象向左平移个单位可得到函数fx=sin2x+2x+()ç÷ç÷的83ø12øèè图象.故选:B.5．A【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式、台体体积公式计算作答.31323【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为π(´)26π[(´-)´1´1+]´4+2322故选：A6．C【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为70%N0，于是70%N=Ne-2k，解0043π.62´=得e-2k=0.7，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为N=Ne-6k=N(e-2k)3=N´0.73=0.343N，0000答案第21页，共22页

所以前6小时共能过滤掉污染物的N0-0.343N0=65.7%.N0故选：C7．C【分析】取线段AT中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线E的右焦点为F¢，半焦距为c，取线段AT中点M，连接OT,AF¢,F¢M， 因为FA切圆x2+y2=a2于T，则OT^FA，有，|FT|=|OF|2-|OT|2=c2-a2=buuuruuur因为FA=3FT，则有|AM|=|MT|=|FT|=b，|AF¢|=|AF|-2a=3b-2a，而O为FF¢的中点，于是F¢M//OT，即F¢M^AF，|F¢M|=2|OT|=2a，在RtVAF¢M222b3(2a)+b=(3b-2a)中，，整理得=，a22所以双曲线E的离心率e=c=1+b=13.aa22故选：C8．B【分析】设球心为O，分别取VABC，△ABD的外接圆圆心为E,F，连接OE,EF,OF，证答案第31页，共22页

得E为AB中点，平面CAB与平面DAB的夹角即为ÐOEF的余角，解Rt△OEF，即可得解.【详解】设球心为O，分别取VABC，△ABD的外接圆圆心为E,F，连接OE,EF,OF， ∵ÐACB=90°，∴点E为AB中点，则EA=EB=1，由F为△ABD外心，故FA=FB，则FE^AB，由题意可得OE^平面ABC，故平面CAB与平面DAB的夹角，即为ÐOEF的余角.在△ABD中，AB=2，ÐADB=30°，2=2，2sin30°则由正弦定理可得FA=FB=FD=,由球O的半径为5，故OF=5-22=1，OE=5-12=2由OF^平面DAB，EFÌ平面DAB，可得OF^EF，则Rt△OEF中，sinÐOEF=ÐOEF=30°OF1，=,即OE2故平面CAB与平面DAB的夹角为60°，故其余弦值为2.1故选:B.9．ABD答案第41页，共22页

【分析】根据题意，结合等比数列的性质，分情况讨论，即可得到结果.【详解】因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，当-1,2对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为-4,8，此时xy=-32，当-1,2对应等比数列的第一项与第四项时，此时xy=-2，当-1,2111对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为-,，此时xy=-，428当-1,2对应等比数列的第三项与第二项时，此时xy=-2，当-1,2对应等比数列的第二项与第三项时，此时xy=-2，当-1,2111对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为,-，此时xy=-，248当-1,2对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为8,-4，此时xy=-32，当-1,2对应等比数列的第四项与第一项时，此时xy=-2，故选：ABD10．BCMN(1,0)【分析】由直线过定点，得到p=1，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，2可得判定B正确；过M,N,D点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到MN=MM1+NN1=2DD1，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到x1x2=1，求得y1y2-4，可判定D错误.=x1x2x1x2【详解】对于A中，由直线y=kx-k，可化为y=k(x-1)，可得直线MN过定点(1,0)，答案第51页，共22页

2p=2E:y=2px的焦点F在直线MN上，可得p因为抛物线，所以A错误；=1，则2对于B中，由抛物线E:y2=4x的准线方程为x=-1，所以B正确；对于C中，过M,N点作准线的垂线，垂足分别为M1,N1，MN的中点为D点，过D点作准线的垂线，垂足为D1，可得MN=MM+NN=2DD，故以MN为直径的圆111与准线相切，所以C正确；y=kx-k对于D中，设M(x1,y1),N(x2,y2)，联立方程组ì，í2y=4xî2222kx-4+2kx+k=0，k¹0，D=4+2k2整理得()()2-4k4=16+16k2>0，可得x1x2=1，则y1y2=-4x1x2=-4=-4，x1x2x1x2x1x2则kOM×kON=-4，但ÐMON的大小不是定值，设ÐMOx=a,ÐNOx=b，而tana=kOM,-tanb=kON，则-tanatanb=kOM×kON=-4，则tanatanb=4，而tanÐMON=tan(a+b)=故选：BC.tana+tanbtana+tanb，并不是定值，所以D错误.=-1-tanatanb3答案第61页，共22页

11．AD

【分析】先由题意可知a>0,b>1，由aea=blnb=3，得aea=lnb×elnb=3，构造函数

f(x)=xex(x>0)，得a=lnb，再对四个选项逐一分析即可.【详解】由题意可得a>0,b>1，则由aea=blnb=3，得aea=lnb×elnb=3.对于A：设f(x)=xex(x>0)，f¢(x)=(x+1)ex，则在区间(0,+¥)上，f¢(x)>0，f(x)为增函数，所以由题意可得f(a)=f(lnb)，所以a=lnb，故A正确；对于B：由a=lnb，得ab=blnb=3,故B错误；对于C：由A可知f(x)=xex在区间(0,+¥)上为增函数，且aea=3，则f(1)答案第71页，共22页

由a=lnb,得b-a=b-lnb,21x-1hx=x-lnx,e0,xx所以h(x)在e,e2上单调递增,()所以h(x)>h(e)=e-1,所以b-a=b-lnb>e-1,故C错误；对于D：又a+b=a+ea,令g(x)=x+ex,x>1,则g¢(x)=1+ex>0,所以g(x)在(1,+¥)上单调递增,所以g(x)>g(1)=1+e，所以a+b=a+ea>1+e,1综上可得e+10)，利用导数求其单调性，从而可得a=lnb.12．ACD【分析】利用函数零点的定义分离参数，构造函数并求出函数值域确定k的范围，再逐项分析并结合等差数列的意义判断作答.f(x)=0【详解】由19，得k=-cos2x+cosx=-2cos2x+cosx+1=-2(cosx-)2+，482π19g(x)令g(x)=-2(cosx-)2+，显然函数是偶函数，是周期为的周期函数，48而-1£cosx£1，则当cosx=19cosx=-1g(x)min=-2时，g(x)max=，当时，，因此48-2£k£9，8当k=-2时，cosx=-1,x=(2n-1)π,nÎZ，于是函数f(x)的所有零点从小到大排成一列构成公差为2π的等差数列，A正确；y=cosx91时，cosx=，显然此方程在余弦函数的周期长的区间内只有两个根，84当k=取xÎ(-2π,2π)，则方程cosx=1(-2π,2π)x,x,x,x在内有4个根1234，4显然有-2π,0π【分析】求得二项式(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=(-2)r×C5rxr，根据题意，进而求得x3项的系数，得到答案.【详解】由二项式(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(-2x)r=(-2)r×C5rxr，3所以(x+1)(1-2x)5的展开式中含x3项的系数为(-2)2×C52+(-2)3×C5=-40.故答案为：-40.14．(x+1)2+(y-2)2=5【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.【详解】依题意，过切点(1,1)x+2y-3=01的圆的半径所在直线方程为y-1=-(x-1)，即，2x+y-1=0ìx=-1，因此所求圆的圆心为(-1,2)，半径由ì解得ííîx+2y-3=0îy=2r=(-1-1)2+(2-1)2=5，所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.故答案为：(x+1)2+(y-2)2=515．4-2ln21¢0,+¥)【分析】确定函数定义域，问题转化为f(x)³0在(上恒成立，即a£2lnx++2，x设h(x)=2lnx+1+2，求得函数h(x)的最值，从而可得实数a的最值.x【详解】f(x)=(2x+1)lnx-ax的定义域为(0,+¥)，若f(x)在(0,+¥)上单调递增，答案第111页，共22页

则f¢(x)=2lnx+2x+11-a³0恒成立，即a£2lnx++2xx设h(x)=2lnx+1212x-1+2，则h¢(x)=-2=2，xxxx1öh¢(x)<0，函数h(x)在æ1ö当xÎæxÎç0,÷上单调递减;ç0,÷时，è2øè2øh¢x>0，函数h(x)在æ1öæ1öxÎç,+¥÷时，()xÎç,+¥÷上单调递增，è2øè2øa£4-2ln21ö1故h(x)min=hæ，所以，=2ln+4=4-2ln2ç÷2è2ø故实数a的最大值为4-2ln2.故答案为：4-2ln2.112416． ìæ11ökïç÷,n=3k,kÎNïè24øï111kïæö pn=í×ç÷,n=3k+1,kÎNï2è24øï511köï×æç÷,n=3k+2,kÎN12ïè24øî【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，结合题意，利用列举法和分类讨论，即可求解.【详解】由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：①：甲®甲®甲®1111甲，其概率为´´= 22281111甲，其概率为´´=22312②：甲®甲®乙®答案第121页，共22页

③：甲®乙®甲®1111甲，其概率为´´=23212④：甲®乙®丙®1211甲，其概率为´´=2326111111.所以投掷3次后，球在甲手中的概率为p3=+++=81212624记当投掷n-3次骰子后，球在甲手中的概率为pn-3，再三次投掷后，即投掷n次，球仍在甲手中的概率为pn，则pn=()3pn-3+1211121111111pn-3´´2+pn-3´´´=pn-3+pn-3+pn-3+pn-3=pn-3，6223281212624即pn=p1111pn-3，即n=24pn-3241111511又因为p0=1,p1=,p2=()2+´=,p3=，22231224当n=3k,kÎN时，pn=(n=3k+1,kÎN11n111)；当时，pn=×()k；24224当n=3k+2,kÎN时，pn=511k×()，1224ìæ11ökïç÷,n=3k,kÎNïè24øï111kïæö所以pn=í×ç÷,n=3k+1,kÎN.ï2è24øï511köï×æç÷,n=3k+2,kÎNïî12è24ø答案第131页，共22页

1124故答案为：ìæ11ökïç÷,n=3k,kÎNïè24øï111kïæö；pn=í×ç÷,n=3k+1,kÎN.ï2è24øï511köï×æç÷,n=3k+2,kÎNïî12è24ø17．(1)证明见解析；(2)Tn=n.6n+9【分析】（1）利用给定的递推公式，结合an+1=Sn+1-Sn计算推理作答.（2）由（1）求出数列{a}的通项，再利用裂项相消法求和作答.n【详解】（1）依题意，nÎN*，2S=(n+2)(a-1),2S=(n+3)(a-1)，nnn+1n+1两式相减得：2an+1=(n+3)an+1-(n+2)an-1，即(n+1)an+1=(n+2)an+1，整理得an+1aaaa+1an+1111，即n+1=n+-，因此n+1=，=n+n+2n+1n+2n+1n+1n+2n+2n+1(n+1)(n+2)an+1ü所以数列ìíý是常数列.în+1þ（2）当n=1时，2a=2S=3(a-1)，解得a1=3，111an+1a1+1a=2n+1，==2，于是nn+11+1由（1）得：则11111==(-)，anan+1(2n+1)(2n+3)22n+12n+31111111111n.(-+-+L+-)=(-)=235572n+12n+3232n+36n+9所以Tn=答案第141页，共22页

18．(1)π；3(2)103.【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换求出cosA，即可求A;(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出bc，即可求面积.【详解】（1）由正弦定理得： 2sinAcosB=2sinC-sinB，即2sinAcosB=2sin(A+B)-sinB，即2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB-sinB，即2cosAsinB=sinB.因为BÎ(0,π)，所以sinB¹0，所以cosA=1.2因为AÎ(0,π)，π3所以A=.（2）VABC11面积S=bcsinA=(a+b+c)r，22代入a=7π，r=3和A=，整理得：bc=2(b+c)+14①，3由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，得： b2+c2-bc=49，即(b+c)2-3bc=49②，答案第151页，共22页

bc=40bc=0①②联立可得：æbc-14ö-3bc=49，解得：或（舍去），ç÷è2ø2所以S=1bcsinA=1´40´3=103.22219．(1)m=0.0175；(2)列联表见解析，男生和女生的测试成绩优秀率没有差异.【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，估计平均数及中位数即可列式作答.（2）完善列联表，求出c2的观测值，并与临界值表比对作答.【详解】（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：1-m-0.04-0.025-0.01=0.025-m，10样本平均数的估计值为：10´[(0.025-m)´55+m´65+0.04´75+0.025´85+0.01´95]=74.5+100m，显然数据落在区间[80,100]的频率为0.25+0.1=0.35，落在[70,100]的频率为0.4+0.35=0.75，(70,80)0.05-0.025=76.25，0.04因此样本中位数在区间内，其估计值为；70+10´则74.5+100m=76.25，解得m=0.0175，所以m=0.0175.（2）总的成绩优秀人数为：200´10´(0.025+0.01)=70，得到列联表为：答案第161页，共22页

性别测试成绩优秀不优秀6565130合计男生女生合计于是45257011090200c22200´(45´65-25´65)2600的观测值为c==»3.752<3.841，110´90´70´1306932所以根据小概率值a=0.05的独立性检验，认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异.20．(1)证明见解析；(2)42929【分析】（1）连接BD，过C做CF∥AB，交BD于T点，先利用三角形全等证得ÐABD=ÐCBD=45°，再根据三角形的余弦定理求得BD，再由TD=DF=DE，证明平BDADDP面CEF∥平面ABD即可得证.（2）根据三角形的余弦定理及边长关系证明PO^平面ABCD，以O为原点，OC，OD，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，后根据线面角的坐标求法代入即可求解.【详解】（1）解：由题意得：连接BD，过C做CF∥AB，交BD于T点，如图所示：答案第171页，共22页

QAB=CB=2，AD=CD=5，BD=DB\\VABD@VBCD 又QÐABC=90° \\ÐABD=ÐCBD=45°QÐABC=ÐBCF=90°\\BT=2BC=2\\在△BCD2222BC+BD-CD2+BD-52中，cosÐCBD=cos45===2BD×BC222BD°解得：BD=3QPE=2DE\\TDDFDE1===BDADDP3\\EF∥APQEFÌ平面CEF，APË平面CEF，EF∥APCFÌ平面CEF，ABË平面CEF，CF∥AB\\AP∥平面CEF，AB∥平面CEF又AP、AB相交于点A\\平面CEF∥平面ABD答案第181页，共22页

QCEÌ平面CEF\\直线CE∥平面PAB（2）连接AC交BD于O点在VPOB和VPOD中，由cosÐPOB=-cosÐPOD可得PO2+BO2-PB2PO2+DO2-PD2，即PO2+1-5PO2+4-8==2PO×BO2PO×DO2PO4PO解得：PO=2，满足PO2+BO2=PB2，所以PO^BD又QPA=PC\\PO^AC又有AC交BD于O点，所以PO^平面ABCD，满足PO，CO，DO两两垂直故以O为原点，OC，OD，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则P(0,0,2)，B(0,-1,0)，C(1,0,0)42，P(0,,)33uuuruuur于是有BP=(0,1,2)，CP=(-1,0,2)PBC设平面的法向量为rn=(x,y,z)uuurrìCPï×n=0ìy+2z=0Þírr，由íuuuïîBP×n=0î-x+2z=0r取n=(2,-2,1)uuur42又CE=(-1,,)33答案第191页，共22页

82ruuur-2-+n×CEuuurr33429=r=故所求角的正弦值为cos=ruuu2929n×CE9×9所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为429.29 2x21．(1)+y2=1；4(2)±2.b=1a=2【分析】（1）依题意AB=2a=4，则，又e=3,得，从而求得椭圆方程；2（2）先求出直线AT的方程，与椭圆方程联立，求得点C的纵坐标，同理可得点D的纵坐标，由S△CDTt1,可得的值．=(2yC-1)(2yD-1)=17【详解】（1）由题意,AB=2a=4,得a=2.22b=1离心率e=a-b=3,得，a2答案第201页，共22页

2x所以椭圆的标准方程为+y2=1；4E（2）设C(x,y),D(x,y)，CCDD点A(-2,0),直线AT的方程为y=11×(x+2),即x=2(t+2)y-2.2t+2222t+2).与椭圆方程联立得:(t+4t+5)y-2(t+2)y=0,解得:yC=(t2+4t+5点B(2,0),直线BT的方程为x=2(t-2)y+2.22-2(t-2).t-4t+5y+2(t-2)y=0,解得: ():与椭圆方程联立得yD=2t-4t+5S△CDT三角形面积比S△ABT1×CT×DTsinÐCTDCTDT2==×1ATBT×AT×BTsinÐATB211yD-2×2=(2y-1)(2y-1)=CD.11-0-022yC-11又因为S△ABT=´4´=1,22所以S△CDT=(2yC-1)(2yD-1)æ4t+8öæ-4t+8ö=ç2-1÷ç2-1÷èt+4t+5øèt-4t+5ø=(t2-3)22(t2+5)-16t2，由题意, (t(t22-3)22+5)-16t2=1,17答案第211页，共22页

整理得t4-6t2+8=0,解得:t2=2或t2=4.又由点T在椭圆内部,故t2=2,即t=±2. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为(x,y),(x,y)；1122（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算D；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2,x1x2（或y1+y2,y1y2）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)f(x)在(-¥,-2)和(0,+¥)上单调递增，在(-2,0)上单调递减；-4.e2-1(2)【分析】（1）m=n=0时，f(x)=x2ex，利用导数研究单调性即可；（2）令f¢(x)=0，可得x1,x2是关于x的方程x2+(m+2)x+m+n=0的两个实根，易得f(x1)=(x2-x1+2)ex1，f(x2)=(x1-x2+2)ex2，化简f(x2)-f(x1)ex2-ex1x2-x1-2)ex-x+(x2-x1+2)①.令x2-x1=t(t>0)，①式化为(t-2)et+(t+2)，设(=--21ex2-x1-1et-1答案第221页，共22页

g(t)t-2)et+(t+2)(=-e-1t(t>0)，利用导数求其最小值即可.【详解】（1）m=n=0时，f(x)=x2ex，f¢(x)=(x2+2x)ex=x(x+2)ex，令f¢(x)=0，可得x=-2或x=0，当x<-2或x>0时，f¢(x)>0，函数f(x)单调递增；当-2x2-x1-2)ex-x+(x2-x1+2)①.(=-21ex2-x1-1令x2-x1=t(t>0)，①式化为t-2)et+(t+2)，(-et-1tt设g(t)=-(t-2)e+(t+2)(t>0)，即gt=-t(e+1)+2t>0，()()et-1et-1则g¢(t)=-e2t-2tet-1(et-1)2，记h(t)=e2t-2tet-1(t>0)，则h¢(t)=2et(et-t-1).记j(t)=et-t-1(t>0)，则j¢(t)=et-1>0，所以j(t)在(0,+¥)上单调递增，所以j(t)>j(0)=0，所以h¢(t)>0，h(t)在(0,+¥)上单调递增，所以h(t)>h(0)=0.所以g¢(t)<0，g(t)在(0,+¥)上单调递减.又t2=(x-x)2=(x+x)2-4xx=m2-4n+4211212222=(a+b+2)-4(a2+b2+2)+4=-3a-3b+2ab+4a+4b=-3a2+(2b+4)a-3b2+4bb+2ö82164æ=-3ça-÷-b+b+3ø333è816482£-b2+b+=-(b-1)+4£4，3333tb-1=0a=b=1b+24t2当且仅当a-，即时，取到最大值，即的最大值为2.=0且32答案第241页，共22页

因为g(t)在(0,+¥)上单调递减，所以g(t)min=g(2)=-4.e2-1所以f(x2)-f(x1)ex2-ex1的最小值为-4.e-12【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的最值点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y=f(x)在[a,b]内所有使f¢(x)=0的点，再计算函数y=f(x)在区间内所有使f¢(x)=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．答案第251页，共22页