北京四中---二次函数的概念、图象、性质

撰稿：徐晓阳 审稿：郭伦 责编：张杨

学习目标：

1．通过具体实例认识、学习二次函数的概念，类比所学过的一次函数、反比例函数的学习明确需研究 的方向及待研究的内容；

2．会用描点法循序渐进地通过分别画出二次函数y=ax的图象、y=ax+k和y=a(x-h)的的图象、 y=a(x-h)+k的图象、y=ax+bx+c的图象，探索二次函数的图象和性质(开口方向，对称性，对称 轴，增减性，顶点，最值，并能从变换的角度理解它们彼此间的关系，进而掌握系数对函数图象的 影响.

学习要点：

(一)通过画y=ax的图象，掌握画一个新函数图象的方法

1.作图方法：

“列表描点法”——注意要根据函数自变量的取值范围，简单分析函数的变化情况，从数的角度认识——分析解析式y=ax的自变量与函数值，发现自变量取互为相反数的两个值时，函数值相等；

2.作图难点(曲与直、断与连、趋势等)——多描多画

抛物线在实际生产生活中很常见，初次去画图象，是直的还是弯曲的，是间断的还是连续的，图象的变化趋势等等细节的把握上，很难一下画好，必须通过多描多画加以练习；

3.由图象识性质

通过图象的形状需能看出的性质有：开口、对称性、分布区域(有无间断、自变量取值范围、最值)、变化趋势、函数增减性等，注意数形结合在此基础上，将数与形建立一种统一.

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(二)要由浅入深类比关联，掌握记忆二次函数的图象和性质

推进线索为：

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1．从最简单的二次函数y=x出发，通过描点画出它的图象，从而引出抛物线的有关概念. 2．二次函数y=ax的图象的画法，并归纳出这类抛物线的特征.

3．讨论形如y=ax+k和y=a(x-h)的函数的图象，然后讨论形如y=a(x-h)+k的函数的图象. 总结：若两个二次函数的二次项系数的绝对值相同，则在同一坐标系内，这两条抛物线全等. 4．讨论函数y=ax+bx+c的图象.

二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，

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(1)抛物线是轴对称图形，对称轴是直线.

(2)抛物线的顶点是，它是抛物线的最高(或最低)点；从函数角度看，就是当

时，y有最大(或最小)值.

(三) 结合图象深入思考二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的各项系数a、b、c对其图象的影响

(1)a决定抛物线的开口方向和开口大小：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下. |a|的越大，开口越小. |a|相等，抛物线全等.

(2)a与b决定抛物线对称轴的位置：

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a、b同号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴左侧；

a、b异号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴右侧；b=0时，抛物线的对称轴是y轴.

a，b都相同的抛物线是以顶点为动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系.

(3)c决定抛物线与y轴交点(0，c)的位置：c＞0，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0，抛物线与y轴交于负

半轴；c=0，抛物线与y轴交点是坐标原点. c相同的抛物线都过点(0，c). (四)观察对比图象间的关系，掌握图象的平移 抛物线y=ax

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抛物线y=a(x-h)+k

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当h＞0，k＞0时，把抛物线y=ax向右平移h个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线y=a(x-h)+k；

3 当h＞0，k＜0时，把抛物线y=ax向右平移h个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线y=a(x-h)+k； 当h＜0，k＞0时，把抛物线y=ax向左平移|h|个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线y=a(x-h)+k； 当h＜0，k＜0时，把抛物线y=ax向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线y=a(x-h)+k. 二次函数图象的平移

顶点的平移

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范例分析:

(一)图象平移的问题

1.(湖南长沙)把抛物线y=-2x向上平移1个单位，得到的抛物线是( ) A. y=-2(x+1) B. y=-2(x-1) C. y=-2x+1 D. y=-2x-1

解析：这个题很基本，把顶点从原点处移至(0，1)处，由对y=a(x-h)+k 图象性质的理解知只有Ｃ选项满足条件.

2.(山西省)抛物线

经过平移得到

，平移方法是( )

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A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 解析：此题要注意被移动的是抛物线故选Ｄ，因此写平移时需注意方向.

3.(湖北荆门)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x-3x+5，则( )

A.b=3，c=7 B.b=6，c=3 C.b=-9，c=-5 D.b=-9，c=21

解析：选A，此题两种方法：法一：先求出y=x-3x+5的顶点，按平移过程求出原图象顶点，从而求出解析式，确定b、c的值；

法二：先求出图象与y轴交点(0，5)按平移过程得原图象上一点(-3，7)，再求y=x-3x+5上点(3，5)，按平移过程得原图象上一点(0，7)„

4.(资阳市) 在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A．y=2(x-2)+2 B．y=2(x+2)-2 C．y=2(x-2)-2 D．y=2(x+2)+2

解析：这是移轴的问题，需将它转化为移图象的问题——把图象向下、向左平移2个单位，故选B.

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=-2(x+1)-3，即把顶点从(-1，-3)处移至原点处，

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(二)图像信息综合分析

1.(天津市)已知二次函数

所示，有下列5 ① ⑤

；②

，(

；③

个结论：

；④

；

的图象如图

的实数)其中正确的结论有( )

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

解析：选B.由图象可知，a＜0，c＞0，=１，进一步可推知b=-2a＞0，所以① 错误，

结合图象深入观察有f(-1)=a-b+c＜0，f(2)=4a+2b+c＞0，f(1)≥f(x)即f(x)的最大值为f(1) ，分析可知，②

错误；③

正确；⑤

正确；而对于④

呢？只需将

b=-2a代入a-b+c＜0中即可得到即得；

综上其中正确的结论分别是：③④⑤，共计３个.

2.(南充)如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为x=-1．给出四个结论：①b＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0； ④5a＜b．其中正确结论是( )． A.②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③

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解析：选B.由图象知抛物线与ｘ轴有两个交点，故①b＞4ac正确，由对称轴错误，由f(-1)=a-b+c＞0知③a-b+c=0错误，又由ｂ=2a＜0，可知④5a＜b正确.

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=-１知②2a+b=0

(三)理解描述掌握函数基本性质

1.(福州)已知抛物线

与轴的一个交点为

，则代数式

的值为( )

A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 解析：选D，依题设

2.(长春)在二次函数y=x+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x -2 -1 0 1 2 3 4 2

=0，=2009.

5 y 7 2 -1 -2 m 2 7 则m的值为__________. 解析：-1.

3.(四川资阳)已知二次函数正确的是( )

A. 当x＞0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x＞0时，函数值y随x的增大而减小

C. 存在一个负数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大

D. 存在一个正数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大

(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0).下列结论

解析：选Ｄ.提示：试通过给定的两点画草图，可以发现抛物线的对称轴-

＞0.

课后练习

1.(四川绵阳) 已知一次函数

的图象过点(-2，1)，则关于抛物线

的三条叙述：

①过定点(2，1)；②对称轴可以是x=1；③当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值是3. 其中所有正确叙述的个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2.(陕西)已知二次函数y=ax+bx+c(其中a＞0，b＞0，c＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧. 以上说法正确的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3.(山东日照)已知二次函数y=x-x+a (a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是( )

(A) m-1的函数值小于0 (B) m-1的函数值大于0

(C) m-1的函数值等于0 (D) m-1的函数值与0的大小关系不确定

4.(河南)二次函数

的图象可能是( )

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5.(湖北黄石)在反比例函数象大致是下图中的( )

中，当时，随的增大而减小，则二次函数的图

6.(云南双柏县)在同一坐标系中一次函数

和二次函数

的图象可能为( )

参

1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A