维普资讯 http://www.cqvip.com 水利水电技术第３８卷２００７年第９期 论土石坝稳定分析的瑞典圆弧法与 毕肖普简化法之差异 郭诚谦 ，宋敬街 （１，水电水利规划设计总院，北京 １０００１ｌ；２．河海大学水电学院，江苏南京２１００９８） 【摘要】瑞典圆弧法与毕肖普简化法是当前采用在土石坝稳定分析的两种流行和常用方法，且国外 多采用后者，究竟两种方法有什么样的差别，很少见到理论上的论述。笔者经研究认为，两种计算方 法的成果，有时会有很大的差异，需要引起设计者的注意。 【关键词】瑞典圆弧法；毕肖普简化法；竖向力 中图分类号：ＴＶ６４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—０８６０（２００７）０９—００２５—０３ Ｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｓｗｅｄｅｎ Ａｒｃ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｂｉｓｈｏｐ’Ｓ Ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｅａｒｔｈ・ｒｏｃｋｆｉｌｌ ｄａｍ ＧＵＯ Ｃｈｅｎｇ—ｑｉａｎ ，ＳＯＮＧ Ｊｉｎｇ—ｘｉａｎｇ （１．Ｃｈｉｎａ Ｈｙｄｒｏｐｏｗｅｒ Ｃｏｎｓｕｂａｎｔｓ，ＬＴＤ．，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００１ １，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＷａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ ａｎｄ Ｈｙｄｒｏｐｏｗｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｏｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９８，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｏｔｈ Ｓｗｅｄｅｎ Ａｒｃ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｂｉｓｈｏｐ’Ｓ Ｓｉｍｐｌｉｉｅｄ Ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｔｆｗｏ ｃｕｒｒｅｎｔ ａｎｄ ｃｏｍｍｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｅａｒｔｈ—ｒｏｃｋｆｉｌｌ ｄａｍ，ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｔｅｒ ｉｓ ｆ￣ｑｕｅｎｔｌｙ ｕｓｅｄ ａｂｒｏａｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｄｉｓｃｏｕｒｓｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅ ，ｔｗｅｅｎ ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｙｅｔ．Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｍａｄｅ ｈｅｒｅｉｎ ｂｙ ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｅｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｒｏｍ ｂｏｔｈ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｓ ｌａｒｇｅｒ ｏｃｃａｓｉｏｎａｌｌｙ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ａｔｔｅｈｔＪｏｎ ｍｕｓｔ ｂｅ ｐａｉｄ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｅｅ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔ ｄｅｓｉｇｎｅｒ ｃｏｎ— ｃｅｒｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｓｗｅｄｅｎ Ａｒｃ Ｍｅｔｈｏｄ．；Ｂｉｓｈｏｐ’Ｓ Ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ Ｍｅｔｈｏｄ；ｖｅｒｔｉｃａｌ ｆｏｒｃｅ １ 引 言 瑞典圆弧法与毕肖普简化法是当前采用在土石坝 稳定分析的两种常用方法，国外多采用后者，究竟两 种方法有什么样的差别，很少见到详尽的论述。 根据笔者的研究，瑞典圆弧法是仅根据力矩平衡 演，简单介绍如下。 ２．１瑞典圆弧法 假定土体以某一半径绕某一圆心发生转动（见图 １），因此根据力矩平衡原理，就可得到瑞典圆弧法 的稳定安全系数为 ＝抗滑力矩／滑动力矩＝∑ＳＲ／∑Ｗｘ（１） １ 原理，未考虑力平衡条件下得出的解答。而毕肖普简 化法实质也是未考虑条问作用力，但是在增加了竖向 利用图１和式（１），经简化，不难得出 Ｋ ＝—— 一 『Ｃ ｆ＋ Ｗｓｉｎ 力的平衡条件下得出的解答，因此，其稳定安全系数 有所不同，而且两者差别很大，差值变化范围亦很 大。有的情况下需要引起警惕。 （Ｗｃｏｓａ—ｕ１）ｔａｎ￣ｂ ］ （２） ２两种计算方法稳定分析式的推演 收稿日期：２００７ ０７．０２ 为了论证其差异，现将两种分析方法的计算式推 作者简介：郭诚谦（１９３７一），男，教授级高级工程师，原副总工程师． ．维普资讯 http://www.cqvip.com 郭诚谦，等∥论土石坝稳定分析的瑞典圆弧法与毕肖普简化法之差异 显然上式未满足力的平衡，即∑ ＝Ｏ，Ｚｚ＝Ｏ。 以上公式便是我国过去广泛利用求解土石坝稳定 分析的方法。 ｔ，蛐 ÷啪≯ 图１计算简图 ２．２毕肖普简化法 为了将毕肖普简化法讲得更清楚些，下面将毕肖 普法全面、简单作一介绍。 ２．２．１ 毕肖普法 （１）在土条上的作用力平衡时，按对圆心的力矩 平衡原理同样可得 ∑Ｗｘ：∑ＳＲ （、 ３） 即以上两种方法皆相同。 （２）毕肖普法的∑ 计及图２（ａ）条间作用力 ∑ 和∑Ｅ，式（３）中的 Ｓ：丁 ： ｃ ｚ＋Ｎｔａｎｃｂ ］ （４） 根据力的平衡可求得 Ｎ＝（ ＋ — ＋１）ｃ０ｓ 一（Ｅ 一Ｅ ＋１）ｓｉｎａ 将上式代人式（４），再将式（４）代人式（３），则可 得下列关系式 ： ∑Ｉ ｃ¨（ 。ｓ ）ｆａｎ咖『＋［（ 一 ＋１）ｃｏｓａｔａｎ６ 一（Ｅ 一 １）ｓｉｎａ］｝ （５） 上式满足力及力矩平衡，即毕肖普法。如忽略内 力 、 ，即令∑ ：０，∑ ＝０，取 ＝Ｒｓｉｎａ，则式 （５）成为 ∑［ｃ ＋（ ～ｆ）ｔａｎ州（６） ２６ （ａ） （ｂ） 图２毕肖普法的计算图式 即与瑞典圆弧法完全相同。 ２．２．２毕肖普简化法 比较前述的式（６）与式（２），不考虑条间作用力 时，毕肖普法与瑞典圆弧法完全相同。然而在令条间 作用力∑ ＝０、∑Ｅ：０的条件下，毕肖普简化法在 求解土条底部法向力Ⅳ时，则藉助采用了垂直方向 分力的平衡、且又令垂直向条间作用力∑ ：０的条 件下求解。即根据图２力的图解，取竖向分力的平 衡，则可得 ＋（ 一 ＋１）＝（Ⅳ＋ｕｚ）ＣＯＳＯ￣＋Ｓｓｉｎａ 将式（４）代人上式，则 ： Ｃ０Ｓ ＋ ｔ ａｎＯ ｓ ｌｎｏｔ／ （７） 将上式Ⅳ代人式（４）和利用式（３），简化后可得 ∑｛［ｃ ０ｓ ｔａｎ¨ （ 一 ＋，）］｝ ｓ ｅｃｏ ￣ （８） 如令 一Ｘｎ＋。：Ｏ，即忽略条间作用力，则 Ｋ简 志∑［ｃ ６＋（ 一 ６）ｔａｎ咖 ］ ／，ｎｎ（９） 式中 ｍ ：ＣＯＳＯ￣（１＋ｔａｎ（￣ ／ｋｔａｎａ） － （１Ｏ） 当ｍ ≤Ｏ．２时，就会使得ｋ值发生较大的误差。 ３两种方法的比较 （１）毕肖普法当全面考虑条间作用力时，与瑞典 圆弧法不相同，因为它满足了∑ ＝０、∑ ＝０、∑Ｅ ＝Ｏ，即在考虑土条间作用力的条件下，满足了力矩 和力的平衡。因其计算较为复杂，且实用较少，故不 在本文详尽讨论之内。 水利水电技术第３８卷２００７年第９期 维普资讯 http://www.cqvip.com
郭诚谦，等∥论土石坝稳定分析的瑞典圆弧法与毕肖普简化法之差异 （２）毕肖普简化法是在求解条块底部法向力Ⅳ 时，使用了竖向力平衡的原理（即利用力的矢量图）， 而且通过式（７）和满足力矩平衡的式（３），从而求解 限。其他大多数情况下，是Ｋ毕＞Ｋ瑞，即卢＜１， 而且Ｋ瑞／Ｋ毕＝卢的比值可以很小。如一般常用的 稳定安全系数ｋ简，即式（９）（抗剪强度先被除以稳定 安全系数），所以，它满足力矩平衡和利用竖向力平 衡，但公式推导后，又要忽略竖向力。这才是毕肖普 以ｏｔ≤４５。范围内， 值也可能达到５０％，这样大 致找到了其下限范围。从而可以得出概念，虽然 以上是粗略的探讨，但可以推论有关规范中对Ｋ瑞 ＝１．３０时，Ｋ些＝１．５，在很多情况下，毕肖普简 简化法与瑞典圆弧法区别的真谛。 （３）如进一步比较上述两种方法求解ｋ的解析 式，且皆以等宽条块ｂ考虑，则瑞典圆弧的式（２）可 简化为 ＝— —ｙｈｓｉｎ一２ｏ￣∑［（ ｃ。ｓ — ）ｔａｎ ＋ｃ］（¨） 同样毕肖普简化法的式（９）可简化为 Ｋ简 ∑［（ 一 ）ｔａｎ ＋ｃ］× １＋ｔａｎａｔａｎ￣ｂ 简 （１２）ｑ ● ● Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ从式（１１）和式（１２）可看出：两式中仅有“ＣＯＳ。Ｏ／２ ０ ８ ６ ” ４ ２和【 Ｊ是不相同的，且ｃ。ｓ ≤１・０；而 （１＋ｔａｎａｔａｎ￣ｂ ）／ｋ简＝１一∞。 如果粗略地令ｂ＝１，即仅分一条（笔者在此声 明，这仅是不得已的粗略比较分析方法），而且假设 坝体为无粘性土和位于水上，这可略出式中 和Ｃ， 因而式（１１）、式（１２）可写成下列形式 ＝ ．ｔａｎ （１３ ７ ＝ 。 （１４） 将式（１３）和式（１４）写成比例式并经简化后，可 得 卢＝ －＿Ｃ０Ｓ２Ｏ／（１＋ｙｔａｎｏｅ） （１５）＝ｔａｎ￣ｂｔ／Ｋ商 不难看出：若 ＝１．０，则Ｋ简＝ｔａｎ￣ｂ ，所以若 Ｋ简＝１．３，贝０ ＝５２。３０ 。若 ＝０．８，贝０ Ｋ简＝ １．２５ｔａｎ￣ｂ ，所以若Ｋ简＝１．３，则 ＝４６。１０ 。即使 在低应力区，压实非常密实且坚硬的堆石，其 值 大致也不会超过此值范围，所以 ＝１．０可大致定为 上限。 将式（１５）之卢值绘成卢～Ｏｔ曲线如图３所示。 从图３不难发现，大约当 ＞０．５、Ｏｔ＜３０。～４５。 时，才有卢＞１，即此条件下Ｋ毕＜Ｋ瑞，且最大不 会超过１．２０，这样大致找到了所假定情况下的上 水利水电技术第３８卷２００７年第９期 化法安全系数是不一定合适的，即较瑞典圆弧法 稳定安全系数大得多，所以有带来不稳定或出现 安全问题忧患。斯里兰卡金河堤坝稳定计算成果 充分证明了这点。 ，一 ＼●＿＿一 －、 ＿。’。● ●●＿＿、 。＼‘＼ 、、 ． ： ’ 口 ： ．ｚ－ ＼：， 、、 ・． ，／／． ， ， ’ ＼ ／．． ● ， ＼ ，６０—５０，４０，３０—２０，ｌ０ ０ ｌ０ ２０ Ｏ ａ／（。） 图３ Ｄ—ａ曲线 当在考虑“ｔｔ，、Ｃ”时，即用式（１３）、式（１４）求解 Ｋ瑞与 的差别，尚很难作出明断，只有通过很多 项工程在各种条件下进行对比计算时，才能确定。不 过一般Ｃ值较小，对 值影响甚微。所以上述结论 仍然可以警示，并从图３中吸取启示。 当Ｏｔ为负值时，由于ＣＯＳ Ｏ／值总是正值，且Ｏ／的 绝对值一般都较小，故式（１５）中，当Ｏ／≤一４５。时， 总有１＋ｙｔａｎｏｅＩ＞０。如图３所示， 值较１小的多。 此外，从式（１３）、式（１４）也不难判断，当 ＝０ 时，卢．＿１，即 ＝Ｋ简，这与以往研究结论是一致 的 ４结语 毕肖普简化法与瑞典圆弧法的区别，在于前者 求解过程中，利用了竖向力平衡条件求解。在只分 一个条块时，即ｂ＝１，对于无粘性土，当Ｏｔ≤４５。 时， 值不是一个定数，范围很大，可能达５０％～ １２０％，当ＯＬ≤一４５。时，则 值总是小于１．０，且 大多数情况下，是Ｋ毕＞Ｋ瑞。所以有关规范规定Ｋ毕 ＝１．５，是不一定合适的，甚至有的会带来很大的 危险性。对于粘性土，当在考虑“ 、Ｃ”的情况下， 两者的差别现在还很难明断，但可从本文吸取有益 的启示。 （责任编辑陈小敏）
