数学试卷（文科）
一．选择题：（12*5=60分）
1．如图所示四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ） A．a平行于α内的所有直线 B．α内有无数条直线与a平行 C．直线a上的点到平面α的距离相等 D．α内存在无数条直线与a成90°角
3．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的有（ ） A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内的无数条直线垂直 C．l与平面α内的任意一条直线垂直 D．l与平面α内的某一条直线垂直
4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b C．若ac＞bc，则a＞b D．若
＜
，则a＜b
6．若直线l与平面α内的一条直线平行，则l和α的位置关系是（A．l⊂α B．l∥α C．l⊂α或l∥α D．l和α相交 7．在等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10的值是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48
8．等比数列{an}中，a5=4，则a2•a8=（ ） A．4
B．8
C．16 D．32
） 9．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD（如图2），则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（ ）
A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直
10．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（ ） A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3]
C．[﹣3，1]
D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
11．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ） A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0
12．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD ③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC． A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
二．填空题：（4*5=20分）
13．直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为 ． 14．已知x＞，则函数y=4x+
的最小值为 ．
15．过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条．
16．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面， 有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号） ．
三．解答题：（本大题6个小题，共70分）
17．已知，一圆经过坐标原点和点P（1，1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上，求圆的方程．
18．已知如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE．
19．如图所示在四棱锥A﹣BCDM中，BD⊥平面ABC，AC=BC，N是棱AB的中点． 求证：CN⊥AD．
20．已知{an}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． （1）求通项an及Sn；
（2）设{bn﹣an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
21．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点 （1）求证：AE⊥BF； （2）求证：AB1⊥BF；
（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．
b．
江西省赣州市2018-2019学年高二上学期第一次月考
数学试卷（文科）参考答案与试题解析
一．选择题：（12*5=60分）
1．如图所示四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】分别根据四个几何体的三视图进行判断．
【解答】解：①正方体的正视图，侧视图和俯视图都是正方形，不满足条件． ②圆锥的正视图为三角形，侧视图为三角形，俯视图为圆，满足条件．
③三棱台的正视图为等腰梯形，侧视图为梯形，但正视图和侧视图不相同，不满足条件． ④正四棱锥的正视图和侧视图为相同的三角形，俯视图为正方形，满足条件． 故选：D．
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ） A．a平行于α内的所有直线 B．α内有无数条直线与a平行 C．直线a上的点到平面α的距离相等 D．α内存在无数条直线与a成90°角 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【解答】解：∵直线a平行于平面α，
∴a与平面α内的直线平行或异面，故A错误； α内有无数条直线与a平行，故B正确； 直线a上的点到平面α的距离相等，故C正确； α内存在无数条直线与a成90°角，故D正确． 故选：A．
3．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的有（ ） A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内的无数条直线垂直 C．l与平面α内的任意一条直线垂直 D．l与平面α内的某一条直线垂直 【考点】直线与平面垂直的判定．
【分析】利用直线与平面的位置关系进行判断，注意直线与平面垂直的判定定理的应用． 【解答】解：l与平面α内的两条直线垂直，如果平面中的两条直线是平行线， 则无法判定直线l⊥平面α，故A不正确；
l与平面α内的无数条直线垂直，如果平面中的无数条直线是平行线， 则无法判定直线l⊥平面α，故B不正确； l与平面α内的任意一条直线垂直，
则由直线与平面垂直的判定定理知直线l⊥平面α，故C正确； l与平面α内的某一条直线垂直，
则l与平面相交、平行或直线在平面内，故D不正确． 故选：C．
4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3A．
B．
C．
D．
，则AC=（ ）
【考点】正弦定理．
【分析】结合已知，根据正弦定理，【解答】解：根据正弦定理，
，
可求AC
则
故选B
5．下列命题正确的是（ ）
A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b C．若ac＞bc，则a＞b D．若【考点】不等关系与不等式．
【分析】本题利用排除法．对于A，若a＜0，b＞0时不成立；对于B，若a＞0，b＜0时不成立；对于C，若c＜0时不成立；
【解答】解：对于选项A，考虑a、b为负值或一正一负的情况时，不能得到a＞b，故错； 对于选项B，同样考虑a、b一正一负的情况，不能得到a＜b，故错；
对于选项C，要考虑c取正、负值的两种情况，当c取负值时，不能得到a＞b，故错； ∴选项A、B、C均有不成立的情况．故A、B、C错； 对于C，隐含a≥0，b≥0，平方后即可得a＜b．故对． 故选D．
6．若直线l与平面α内的一条直线平行，则l和α的位置关系是（ ） A．l⊂α B．l∥α C．l⊂α或l∥α D．l和α相交 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由题设条件知：直线l在平面α内，则l⊂α，若直线l不在平面α内，则l∥α，由此能求出结果．
【解答】解：一条直线l与平面α内的一条直线m平行， 若直线l在平面α内，则l⊂α， 若直线l不在平面α内，则l∥α，
∴直线l与平面α的位置关系为l⊂α，或l∥α． 故选：C．
7．在等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10的值是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的求和公式，即可求出a1+a10的值． 【解答】解：S10=×10（a1+a10）=120， 所以a1+a10=24
＜
，则a＜b
故选B
8．等比数列{an}中，a5=4，则a2•a8=（ ） A．4
B．8
C．16 D．32
【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．
【分析】在等比数列中利用等比数列的性质进行求解即可． 【解答】解：在等比数列{an}中，若m+n=k+p，则am⋅an=ak⋅ap． ∵a5=4， ∴a2•a8=故选：C．
9．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD（如图2），则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（ ）
．
A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】对于原图：由于AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，可得AD⊥BC．在四面体ABCD中，由于AD⊥BD，AD⊥DC，AD∩DC=D，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCD．进而得到AD⊥BC．利用异面直线的定义即可判断：AD与BC是异面直线． 【解答】解：在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面垂直． 对于原图：∵AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线， ∴AD⊥BC． 在四面体ABCD中，
∵AD⊥BD，AD⊥DC，AD∩DC=D， ∴AD⊥平面BCD． ∴AD⊥BC．
又AD与BC是异面直线．
综上可知：在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面垂直． 故选C．
10．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（ ） A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3]
C．[﹣3，1]
D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围． 【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点 ∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2 ∴﹣3≤a≤1 故选C．
11．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ） A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式． 【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为
y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．
12．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD ③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【考点】平面与平面垂直的判定．
【分析】由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直， 又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直， 进而可以判定面面垂直．
【解答】证明：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA， 易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB， 则平面PAD⊥平面PAB． 故选A．
二．填空题：（4*5=20分）
13．直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为 【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．
【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2 ∵圆心到直线y=x的距离为
．
∴直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2故答案为：
14．已知x＞，则函数y=4x+
=
的最小值为 7 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】先把函数整理成基本不等式的形式，进而求得函数的最小值． 【解答】解：y=4x+
=4x﹣5+
+5≥2
+5=7
∴函数y=4x+故答案为7
的最小值为7
15．过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 6 条．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC﹣A1B1C1，结合图象分析即可得到答案． 【解答】解：如下图示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线， 其中与平面ABB1A1平行的直线有： DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条． 故答案为：6
16．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面， 有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号） ①④ ． 【考点】平面与平面之间的位置关系．
【分析】①∵若m⊥α，m⊥n，∴n⊂α或n∥α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，再由面面平行的判定定理判
断．④若m⊥α，α∥β，由面面平行的性质定理可得m⊥β，再由n∥β得到结论． 【解答】解：①∵若m⊥α，m⊥n， ∴n⊂α或n∥α 又∵n⊥β， ∴α⊥β；故正确．
②若m∥α，n∥β，由面面平行的判定定理可知，若m与n相交才平行，故不正确． ③若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，由面面平行的判定定理可知，只有n∥β，两平面不一定平行，故不正确．
④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又∵n∥β，则m⊥n．故正确． 故答案为：①④
三．解答题：（本大题6个小题，共70分）
17．已知，一圆经过坐标原点和点P（1，1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上，求圆的方程． 【考点】圆的标准方程．
【分析】由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点P（1，1）的中垂线上，再根据圆心在直线2x+3y+1=0上，可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值，从而得到所求的圆的方程．
【解答】解：由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点P（1，1）的中垂线x+y﹣1=0上，
再根据圆心在直线2x+3y+1=0上，可得圆心C的坐标为（4，﹣3），故半径r=|OC|=5， 故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y+3）2=25．
18．已知如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE．
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】取PC的中点M，连接ME、MF，推导出四边形AFME是平行四边形．从而AF∥ME，由此能证明AF∥平面PCE．
【解答】证明：取PC的中点M，连接ME、MF， 则FM∥CD，且FM=CD． 又∵AE∥CD，且AE=CD， ∴FM∥AE，且FM=AE，
即四边形AFME是平行四边形．
∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE， ∴AF∥平面PCE．
19．如图所示在四棱锥A﹣BCDM中，BD⊥平面ABC，AC=BC，N是棱AB的中点． 求证：CN⊥AD．
【考点】直线与平面垂直的性质．
【分析】证明BD⊥CN，CN⊥AB，可得CN⊥平面ABD，即可证明CN⊥AD． 【解答】证明：∵BD⊥平面ABC，CN⊆平面ABC， ∴BD⊥CN．
又∵AC=BC，N是AB的中点． ∴CN⊥AB． 又∵BD∩AB=B，
∴CN⊥平面ABD． 而AD⊂平面ABD， ∴CN⊥AD．
20．已知{an}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． （1）求通项an及Sn；
（2）设{bn﹣an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn． 【考点】等差数列的前n项和；数列的求和．
【分析】（1）直接代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求an及Sn
（2））利用等比数列的通项公式可求bn﹣an，结合（1）中的an代入可求bn，利用分组求和及等比数列的前n项和公式可求
【解答】解：（1）因为an是首项为a1=19，公差d=﹣2的等差数列， 所以an=19﹣2（n﹣1）=﹣2n+21，
．
（2）由题意bn﹣an=3n﹣1，所以bn=an+3n﹣1，=21﹣2n+3n﹣1 Tn=Sn+（1+3+32+…+3n﹣1） =
21．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积． 【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=
b，利用正弦定理得：2sinAsinB=
sinB，
b．
．
∵sinB≠0，∴sinA=又A为锐角， 则A=
；
，
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc， ∴bc=
，又sinA=
， ．
则S△ABC=bcsinA=
22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点 （1）求证：AE⊥BF； （2）求证：AB1⊥BF；
（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）取AD中点G，连接FG、BG，通过证明FG⊥AE，AE⊥BG，BG∩FG=G，证明AE⊥平面BFG，说明AE⊥BF．
（2）连A1B，证明AB1⊥A1B，AB1⊥BF，AE∩AB1=A，证明BF⊥平面AB1E．
（3）存在，取CC1中点P，连接EP、C1D说明AP⊂平面AB1E，由（2）知BF⊥平面AB1E，推出AP⊥BF．
方法2：（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a，证明
，得到AE⊥BF．
（2）利用
=0，
，∴BF⊥AB1，且AB1∩AE=A，说明BF⊥平面AB1E．
=（2a，2a，z），若AP⊥BF，
+2az=0，
+0=0，
（3）设点P（2a，2a，z），0≤z≤2a，则
求出z得到P（2a，2a，c），即点P在CC1中点处．
【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG、BG， 则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG=∠DAE， ∴AE⊥BG，又∵BG∩FG=G， ∴AE⊥平面BFG， ∴AE⊥BF．
（2）证明：连A1B，则AB1⊥A1B， 又AB1⊥A1F，∴AB1⊥平面A1BF， ∴AB1⊥BF， 又AE∩AB1=A， ∴BF⊥平面AB1E． ∴AB1⊥BF
（3）存在，取CC1中点P，即为所求， 连接EP、C1D
∵EP∥C1D，C1D∥AB1， ∴EP∥AB1，∴AP⊂平面AB1E， 由（2）知BF⊥平面AB1E，∴AP⊥BF． CC1中点P． 方法2：
（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a，则 A（0，0，0），B（2a，0，0），B1（2a，0，2a），E（a，2a，0）， F（0，a，2a）， ∴
，
∴∴（2）∵∴
，∴AE⊥BF．
，
=﹣4a2+0+4a2=0， ，∴BF⊥AB1，且AB1∩AE=A，
∴BF⊥平面AB1E． ∴AB1⊥BF
（3）设点P（2a，2a，z），0≤z≤2a，则若
，
，
∴z=a，∴P（2a，2a，c），即点P在CC1中点处．
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