一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．二次根式有意义x的取值范围是（ ） A．x≥﹣5 B．x≤5 C．x≤﹣5 D．x＜﹣5
2．一元二次方程x﹣x=0的根为（ ） A．0或1 B．±1 C．0或﹣1 D．1
3．将x+4x﹣5=0进行配方变形，下列正确的是（ ）
2222
A．（x+2）=9 B．（x﹣2）=9 C．（x+2）=1 D．（x﹣2）=1
4．顶点为（﹣5，﹣1），且开口方向，形状与函数y=﹣x的图象相同的抛物线是（ ） A．y=（x﹣5）+1 B．y=﹣x﹣5 C．y=﹣（x+5）﹣1 D．y=（x+5）﹣1
5．一元二次方程x﹣3x﹣9=0根的情况是（ ） A．有两个相等实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定
6．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=3米，则树高为（ ）
22
2
2
2
2
2
2
A．
米 B．
米
2
C．4 米 D．（+1）米
7．把二次函数y=﹣x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新
图象所表示的二次函数的解析式是（ ）
A．y=﹣（x﹣1）+2 B．y=﹣（x+1）+2 C．y=﹣（x﹣1）﹣2 D．y=﹣（x+1）﹣2
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ）
2
2
2
2
A．2
B．
C．2
D．
9．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
10．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： = ．
12．2019年南京青奥会为了更好地传播奥运知识，倡导运动精神，鼓励广大民众到现场观看精彩的比赛，小万一家积极响应，上网查得部分项目的门票价格如下：这些门票价格的中位数和众数分别是 ． 项目 开幕篮球 足球 乒乓球 排球 跳水 体操 田径 射击 举重 羽毛球 闭幕式 式 40 50 50 60 100 50 30 30 50 100 价格 200 50 13．如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子：观察图形的变化规律，写出第8个小房子用了 块石子．
14．已知x1，x2是方程x﹣（2k﹣1）x+（k+3k+5）=0的两个实数根，且x1+x2=39，则k的值为 ．
15．如图，EF是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，则AB的长为 米．
2
2
2
2
16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题（共9小题，共72分）
2
17．解下列方程：5x﹣3x=x+1．
18．已知抛物线y=ax+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点． （1）求出抛物线解析式；
（2）判断点（﹣2，﹣40）是否在该抛物线上？说明理由．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF，求证：△ABE≌△CDF．
2
20．周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
21．已知关于x的一元二次方程x﹣（3m+1）x+2m+m=0． （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
22．按要求作图并回答问题：
2
（1）①画出抛物线y=﹣x+4x﹣3；②当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；
2
2
（2）在同一坐标系内画出直线y=2x﹣3；
（3）不等式﹣x+4x﹣3≥2x﹣3的解集为 ．
2
23．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元． （1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式； （2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式； （3）问如何定价才能使利润最大？
24．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）在图1中，求证：DE=DF；
（2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，点E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
25．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），连接AC，AO=2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）①若D（﹣4，m）为抛物线y=x+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d=DO时，求t的值；
2
2
②若为抛物线y=x+bx+c上一动点，点D到①中的直线l的距离与OD的长是否恒相等，说明理由；
（3）如图2，若E，F为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标2
的最小值．
2018-2019学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）开学数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．二次根式有意义x的取值范围是（ ） A．x≥﹣5 B．x≤5 C．x≤﹣5 D．x＜﹣5 【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴x+5≥0，解得x≥﹣5． 故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
2．一元二次方程x﹣x=0的根为（ ） A．0或1 B．±1 C．0或﹣1 D．1
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程． 【专题】计算题．
【分析】分解因式得出x（x﹣1）=0，推出方程x=0，x﹣1=0，求出方程的解即可．
【解答】解：x﹣x=0， x（x﹣1）=0， 即x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1， 故选A．
【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程等知识点，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程，题型较好，难度适中．
3．将x+4x﹣5=0进行配方变形，下列正确的是（ ）
2222
A．（x+2）=9 B．（x﹣2）=9 C．（x+2）=1 D．（x﹣2）=1 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：移项，得：x+4x=5，
2
配方：x+4x+4=5+4，
2
即（x+2）=9． 故选A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
2
2
2
2
4．顶点为（﹣5，﹣1），且开口方向，形状与函数y=﹣x的图象相同的抛物线是（ ） A．y=（x﹣5）+1 B．y=﹣x﹣5 C．y=﹣（x+5）﹣1 D．y=（x+5）﹣1
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与a值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【解答】解：∵抛物线的顶点为（﹣5，﹣1），且开口方向，形状与函数y=﹣x的图象相同， ∴这个二次函数的解析式为y=﹣（x+5）﹣1．
故选C．
2
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线y=ax+bx+c中，a值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．
5．一元二次方程x﹣3x﹣9=0根的情况是（ ） A．有两个相等实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式．
2
【分析】把a=1，b=﹣3，c=﹣9代入△=b﹣4ac进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣9，
22
∴△=b﹣4ac=（﹣3）﹣4×1×（﹣9）=45＞0， 所以原方程有两个不相等的实数． 故选：C．
22
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=3米，则树高为（ ）
2
2
2
2
2
2
2
2
A．米 B．米 C．4 米 D．（+1）米 【考点】勾股定理的应用．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
【解答】解：Rt△ABC中，AC=1米，AB=3米； 由勾股定理，得：BC=
=
米；
∴树的高度为：AC+BC=（+1）米； 故选D．
【点评】考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
7．把二次函数y=﹣x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ）
2222
A．y=﹣（x﹣1）+2 B．y=﹣（x+1）+2 C．y=﹣（x﹣1）﹣2 D．y=﹣（x+1）﹣2 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），先向右平移1个单位，再向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为（1，2）．
22
可设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）+k代入2得：y=﹣（x﹣1）+2． 故选A．
【点评】抛物线平移不改变a的值，利用平移规律解答．
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ）
2
A．2 B． C．2 D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 【专题】几何图形问题．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得
∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°， 又∵点G为AF的中点， ∴DG=AG，
∴∠GAD=∠GDA， ∴∠CGD=2∠CAD，
∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD， ∴∠ACD=∠CGD， ∴CD=DG=3， 在Rt△CED中，DE=
=2
．
故选：C．
【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．
9．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 【考点】二次函数的应用． 【专题】应用题；压轴题．
【分析】建立如图所示的直角坐标系，根据题意得到A点坐标为（﹣1，0）、B点坐标为（（1，0），C点坐标为（0，0.5），D点坐标为（0.2，0），F点坐标为（0.6，0），然后利用待定系数法求出二次函数的解析式：设二次函数的交点式y=a（x﹣1）（x+1），把C（0，0.5）代入得a=﹣0.5，则抛物线
2
解析式为y=﹣0.5x+0.5，然后分别把x=0.2，x=0.6代入可得到DE=0.48，FP=0.32，于是可计算出每段护栏需要不锈钢支柱的长度，再把结果乘以100即可得到答案． 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A点坐标为（﹣1，0）、B点坐标为（（1，0），C点坐标为（0，0.5），D点坐标为（0.2，0），F点坐标为（0.6，0）， 设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x+1），把C（0，0.5）代入得a=﹣0.5，
2
所以抛物线解析式为y=﹣0.5x+0.5，
2
当x=0.2时，y=﹣0.5×0.2+0.5=0.48，
2
当x=0.6时，y=﹣0.5×0.6+0.5=0.32， 所以DE=0.48，FP=0.32，
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2（DE+FP）=2×（0.48+0.32）=1.6（m）， 所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度=100×1.6m=160m． 故选C．
【点评】本题考查了二次函数的应用：先建立适当的平面直角坐标系，然后把实际问题中的数据转化坐标系中的线段长或点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解决实际问题．
10．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】过B作BF∥MN交AD于F，则∠AFB=∠ANM，根据正方形的性质得出∠A=∠EBC=90°，AB=BC，AD∥BC，推出四边形BFNM是平行四边形，得出BF=MN=CE，证Rt△ABF≌Rt△BCE，推出∠AFB=∠ECB即可．
【解答】解：
过B作BF∥MN交AD于F， 则∠AFB=∠ANM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠EBC=90°，AB=BC，AD∥BC， ∴FN∥BM，BF∥MN，
∴四边形BFNM是平行四边形， ∴BF=MN， ∵CE=MN， ∴CE=BF，
在Rt△ABF和Rt△BCE中
∴Rt△ABF≌Rt△BCE（HL）， ∴∠ABF=∠MCE=35°， ∴∠ANM=∠AFB=55°， 故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： = ． 【考点】二次根式的加减法．
【分析】把二次根式化为最简二次根式，把同类二次根式进行合并即可． 【解答】解：原式=+3=4．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知再进行二次根式的加减时，只有同类二次根式的能相互加减．
12．2019年南京青奥会为了更好地传播奥运知识，倡导运动精神，鼓励广大民众到现场观看精彩的比赛，小万一家积极响应，上网查得部分项目的门票价格如下：这些门票价格的中位数和众数分别是 50，50 ． 项目 开幕篮球 足球 乒乓球 排球 跳水 体操 田径 射击 举重 羽毛闭幕式 式 球 40 50 50 60 100 50 30 30 50 100 价格 200 50 【考点】众数；中位数． 【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：30，30，40，50，50，50，50，50，60，100，100，200，
门票价格为50元的最多， 则众数为50， 中位数为：
=50．
故答案为：50，50．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 13．如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子：观察图形的变化规律，写出第8个小房子用了 96 块石子．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据所给的图形，此题最好分两部分找规律．
【解答】解：该小房子用的石子数可以分两部分找规律：屋顶：第一个是1，第二个是3，第三个是5，…，以此类推，第n个是2n﹣1；下边：第一个是4，第二个是9，第三个是16，…，以此类推，第n个是（n+1）个．所以共有（n+1）+2n﹣1=n+4n．当n=8时，原式=64+32=96， 故答案为：96．
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
14．已知x1，x2是方程x﹣（2k﹣1）x+（k+3k+5）=0的两个实数根，且x1+x2=39，则k的值为 ﹣3 ．
【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】计算题．
【分析】先根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）﹣4（k+3k+5）≥0，解得k≤﹣
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，再根据根与系
数的关系得到x1+x2=2k﹣1，x1x2=k+3k+5，接着把已知条件变形得到（x1+x2）﹣2x1x2=39，则（2k
22
﹣1）﹣2（k+3k+5）=39，解得k1=﹣3，k2=8，然后根据k的范围确定k的值． 【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）﹣4（k+3k+5）≥0，解得k≤﹣∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k+3k+5，
22
而x1+x2=39，
2
∴（x1+x2）﹣2x1x2=39，
22
∴（2k﹣1）﹣2（k+3k+5）=39，
2
整理得k﹣5k﹣24=0， 解得k1=﹣3，k2=8， 而k≤﹣
，
2
2
2
，
∴k=﹣3． 故答案为﹣3．
2
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=
，x1x2=．也考查了根的判别式．
15．如图，EF是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，则AB的长为 12 米．
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．
【分析】由与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB的长；根据题意可得方程x（32﹣4x）=60，解此方程即可求得x的值，又由AB=32﹣x（米），即可求得AB的值，注意EF是一面长18米的墙，即AB＜18米．
【解答】解：∵与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形， ∴BC=MN=PQ=x米，
∴AB=32﹣AD﹣MN﹣PQ﹣BC=32﹣4x（米）， 根据题意得：x（32﹣4x）=60， 解得：x=3或x=5，
当x=3时，AB=32﹣4x=20＞18（舍去）； 当x=5时，AB=32﹣4x=12（米）， ∴AB的长为12米． 故答案为：12．
【点评】考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义． 16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD的面积为
．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】以AD为边作正△ADE，根据等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，然后求出∠CDE=90°，再利用勾股定理列式求出CD=4，过点A作AF⊥CD于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AF=AD，利用勾股定理列式求DF，再求出CF，然后利用勾股定理列式求出AC，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可得解． 【解答】解：如图，以AD为边作正△ADE， ∵△ABC也是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD， ∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE=BD=5，
∵∠CDE=∠ADE+∠ADC=60°+30°=90°， ∴CD=
=
=4，
2
过点A作AF⊥CD于F，∵∠ADC=30°， ∴AF=AD=， 由勾股定理得，DF=∴CF=CD﹣DF=4﹣
2
=
，
2
2
2
，
在Rt△ACF中，AC=AF+CF=（）+（4﹣所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD =×=
×（25﹣12﹣9+3
）+×4×
）=25﹣12
2
，
=
故答案为：
．
．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出等边三角形和全等三角形．
三、解答题（共9小题，共72分）
2
17．解下列方程：5x﹣3x=x+1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】首先把方程化成一般形式，然后把方程的左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解．
2
【解答】解：整理，得 5x﹣4x﹣1=0 因式分解，得（5x+1）（x﹣1）=0 于是得5x+1=0或x﹣1=0， 则
，x2=1
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．已知抛物线y=ax+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点． （1）求出抛物线解析式；
（2）判断点（﹣2，﹣40）是否在该抛物线上？说明理由．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入y=ax+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）将（﹣2，﹣40）的横坐标﹣2代入（1）中求得的解析式，求得函数值，即可判定．
2
2
【解答】解（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入抛物线，得
2
解得，
所以，抛物线解析式：y=﹣2x+12x﹣8． （2）当x=﹣2代入抛物线解析式，y=﹣40 所以点（﹣2，﹣40）在抛物线上．
【点评】本题涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征．运用方程思想是解题的关键．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF，求证：△ABE≌△CDF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定． 【专题】证明题． 【分析】首先由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠BAE=∠DCF，∠BEC=∠DFA，即可根据AAS定理判定△ABE≌△CDF． 【解答】证明：∵在平行四边形ABCD中AB=CD，AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA 又∵BE∥DF ∴∠BEF=∠DFE ∴∠BAE=∠CFD ∴在△ABE和△CDF中
，
△ABE≌△CDF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，关键是掌握①平行四边形的对边平行且相等；②全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
20．周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设要邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为x（x﹣1）场，与总场数为28场建立方程求出其解即可．
【解答】解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得 x（x﹣1）=28，
解得：x1=8，x2=﹣7（舍去）． 答：应邀请8支球队参加比赛．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时单循环形式比赛规则的总场数为等量关系建立方程是关键．
21．已知关于x的一元二次方程x﹣（3m+1）x+2m+m=0． （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
2
2
【分析】（1）先计算△=（3m+1）﹣4（2m+m），整理得到△=（m+1），根据非负数的性质得到△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求出方程的解为x1=m，x2=2m+1，然后分类讨论：AB=m，AC=2m+1，当AB=AC或AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出m的值．
2
【解答】（1）证明：∵a=1，b=﹣（3m+1），c=2m+m，
2222
∴△=（3m+1）﹣4（2m+m）=m+2m+1=（m+1）≥0 所以无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：一元二次方程x﹣（3m+1）x+2m+m=0的解为x1=m，x2=2m+1，
当AB=m，AC=2m+1，且AB=AC，即m=2m+1时，△ABC是等腰三角形，则m=﹣1，不合题意舍去；
当AB=m，AC=2m+1，且AB=BC=3时，△ABC是等腰三角形，则m=3，不合题意舍去；
当AB=m，AC=2m+1，且AC=BC=3时，△ABC是等腰三角形，则2m+1=3，解得m=1，符合题意． 所以m的值为1．
22
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
22．按要求作图并回答问题：
2
（1）①画出抛物线y=﹣x+4x﹣3；②当x ＞2 时，y随x的增大而减小；当x ＜2 时，y随x的增大而增大；
（2）在同一坐标系内画出直线y=2x﹣3；
（3）不等式﹣x+4x﹣3≥2x﹣3的解集为 0≤x≤2 ．
2
2
2
222
【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】（1）①根据二次函数图象的画法作出函数图象即可；②根据函数图象的增减性解答即可； （2）根据一次函数图象的作法，利用两点法确定出直线即可；
（3）根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：（1）①如图所示；
②当x＞2时，y随x的增大而减小；当x＜2时，y随x的增大而增大； 故答案为：＞2，＜2；
（2）直线y=2x﹣3如图所示；
（3）不等式﹣x+4x﹣3≥2x﹣3的解集为0≤x≤2． 故答案为：0≤x≤2．
2
【点评】本题考查了二次函数与不等式，二次函数与一次函数的图象的画法，是基础题，准确作出图形是解题的关键．
23．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元． （1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式； （2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式； （3）问如何定价才能使利润最大？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）商场利润=每件商品的利润×（300﹣8×相对于60提高的价格），即可得到y与x的函数关系式；
（2）商场利润=每件商品的利润×（300+12×相对于60下降的价格），即可得到y与x的函数关系式； （3）把（1）（2）分别配方成顶点式，分别求出顶点坐标，从而确定获得最大利润的定价． 【解答】解：（1）y1=（60+x﹣40）（300﹣8x） =（20+x）（300﹣8x）
2
=﹣8x+140x+6000， （2）y2=（60﹣x﹣40）（300+12x） =（20﹣x）（300+12x）
2
=﹣12x﹣60x+6000， （3）配方之后，得 y1=﹣8（x﹣所以当x=
）+
2
，
，
时，y1的最大值为
2
y2=﹣12（x+）+6075， y2的最大值为6075， ∴当x=
，即售价定为68.75时，利润才能达到最大值
．
【点评】本题考查了二次函数的应用；得到每星期卖出商品的件数是解决本题的难点；得到每周获得总利润的关系式是解决本题的关键．
24．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）在图1中，求证：DE=DF；
（2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，点E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得∠C=∠DBA，根据全等三角形的判定与性质，可得DE与DF的关系；
（2）根据全等三角形的性质，可得DF=DE，∠CDE=∠BDF，再根据全等三角形的判定与性质，可得EG=FG=GB+BF；
（3）根据全等三角形的性质，可得AM=AB，CM=BC，根据直角三角形的性质，可得AD的长，根据线段的和差，可得答案． 【解答】（1）解：如图1，连接AD， 在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS） ∴∠C=∠DBA．
又∵∠CAB=60°，∠CDB=120°， ∴∠C=∠DBA=∠DBF=90°． 在△DCE和△DBF中，
，
∴△ECD≌△FBD（SAS） ∴DE=DF．
（2）由（1）知△ECD≌△FBD， ∴DF=DE，∠CDE=∠BDF．
又∵∠CDE+∠GDB=∠CDB﹣∠EDG=120°﹣60°=60° ∴∠EDG=∠FDG． 在△EGD和△FGD中，
，
∴∴△EGD≌△FGD（SAS） ∴EG=FG=GB+BF， ∴EG=CE+BG； （3）如图2：
过C作CM⊥AD交AD的延长线于M， 在△AMC和△ABC中，
，
∴△AMC≌△ABC（AAS） ∴AM=AB，CM=BC， 由以上可知DM+BE=DE．
∵AE=3，∠AED=90°∠DAB=60°， ∴AD=6．
由勾股定理得：DE=3
∴DM=AB﹣6=BE+3﹣6=BE﹣3， ∴BE﹣3+BE=3 即BE=
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质．
25．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），连接AC，AO=2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）①若D（﹣4，m）为抛物线y=x+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d=DO时，求t的值；
②若为抛物线y=x+bx+c上一动点，点D到①中的直线l的距离与OD的长是否恒相等，说明理由；
（3）如图2，若E，F为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标的最小值．
2
2
2
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据点C坐标，可得c=﹣1，然后根据AO=2CO，可得出点A坐标，将点A坐标代入求出b值，即可得出函数解析式；
（2）①设出点D坐标，分别求出OD和点D到直线l的距离，然后列出等式求出t的值；
2
②利用勾股定理得出OD的值，进而得出答案；
（3）作EN⊥直线l于点N，FH⊥直线l于点H，设出点E、F坐标，表示出点M的纵坐标，根据（2）中得出的结果，代入结果求出M纵坐标的最小值． 【解答】解（1）∵AO=2CO，C（0﹣1）， ∴OA=2，A（﹣2，0）， 将（0，﹣1），（﹣2，0）代入y=x+bx+c得：
2
，
解得：
2
故抛物线解析式为：y=x﹣1；
（2）①由抛物线得：y=×4﹣1=3， 故D（﹣4，3）
2
则OD=5， 又∵d=DO
∴t=3﹣5=﹣2，
②设D（a， a﹣1） 则OD=a+（a﹣1） =a+
22
2
2
2
2
2
a﹣a+1
2
42
=（a+1），
点D到直线l的距离： a﹣1+2=a+1， 故d=DO；
（3）作EN⊥直线l于点N，FH⊥直线l于点H， 设E（x1，y1），F（x2，y2）， 则EN=y1+2，FH=y2+2， ∵M为EF中点， ∴M纵坐标为：
=
=
﹣2，
2
2
由（2）得：EN=OE，FH=OF， ∴
=
﹣2=
﹣2， ﹣2最小，
要使M纵坐标最小，即
当EF过点O时，OE+OF最小，最小值为8， ∴M纵坐标最小值为
﹣2=﹣2=2．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到抛物线解析式的求法，点到直线的距离、两点间的距离等知识，涉及到的知识点比较多，利用数形结合表示出M点纵坐标是解题关键．
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