四川省专升本（高等数学）模拟试卷12 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 设f(x)=e—x2一1，g(x)=x2，则当x→0时 ( ) A．f(x)是比g(x)高阶的无穷小 B．f(x)是比g(x)低阶的无穷小
C．f(x)与g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小 D．f(x)与g(x)是等价无穷小
正确答案：C 解析：C．
2． 设函数f(x)可导，则A．0 B．2f(x)
C．2f(x)f′(x) D．2f′(x)
正确答案：C
= ( )
=－1．故选
解析：∵函数f(x)可导，∴=2f(x)f′(x)．
3． 函数y=ln(1+x2)的单调递增区间是 ( ) A．(－5，5) B．(－∞，0) C．(0，+∞) D．(－∞，+∞)
正确答案：C 解析：y′=调递增．
，由y′＞0得x＞0，所以函数y=ln(1+x2)在(0，+∞)上单
4． 设函数z=x2y+x+1，则等于 ( )
A．2x+1 B．2xy+1 C．x2+1 D．x2
正确答案：B
解析：用二元函数求偏导公式计算即可．
5． 不定积分
A．ln｜3x－1｜+C B．ln(3x－1)+C C．ln｜3x－1｜+C
D．ln(3x－1)+C
正确答案：C
解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．
d(3x一1)=ln｜3x一1｜+C dx= ( )
(x2y+x+1)=2xy+1．
6． 在空间直角坐标系中，方程1=A．椭圆 B．椭圆面 C．抛物面 D．椭圆柱面
正确答案：D
解析：因为在平面直角坐标系中，1=在空间直角坐标系中，方程1=
所表示的图形是 ( )
表示的平面图形为椭圆，所以
所表示的图形为以xOy平面上椭圆
=1为准线，母线为平行z轴的直线所形成的椭圆柱面，故D项正确．
7． 下列命题中正确的有 ( ) A．设级数
un收敛，
vn发散，则级数
(un+vn)可能收敛
B．设级数un收敛，vn发散，则级数(un+vn)必定发散
C．设级数un收敛，且un≥vn(n=k，k+1，…)，则级数vn必定收敛
D．设级数(un+vn)收敛，则有(un+vn)=vn
正确答案：B
解析：本题考查的知识点为级数的性质．由级数的性质：若
vn
收敛，则(un+vn)必定收敛．利用反证法可知，若
(un+vn)必定发散．可知应选
B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．
8． 向量组α1=(1，1+a，0)，α2=(1，2，0)，α3=(0，0，a2+1)线性相关，则a= ( )
A．一1 B．0 C．1 D．2
正确答案：C
解析：∵向量α1，α2，α3线性相关，∴它们构成的行列式的值为0，即
=2a2+2一(1+a)(a2+1)=(a2+1)(1一a)=0，故a=1．
9． 方程y″+3y′=x2的待定特解y*应取 ( ) A．Ax
B．Ax2+Bx+C C．Ax2
D．x(Ax2+Bx+C)
正确答案：D
解析：本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法．由于
相应齐次方程为y″+3y′=0，其特征方程为r2+3r=0，特征根为r1=0，r2=－3， 而x2，λ=0为单一特征根，因此应设y*=x(Ax2+Bx+C)，故应选
D．
10． 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则 ( )
A．交换A*的第1列与第2列得B* B．交换A*的第1行与第2行得B* C．交换A*的第1列与第2列得－B* D．交换A*的第1行与第2行得－B*
正确答案：C
解析：设A变为B的初等矩阵为E12，则B=E12A，｜B｜=｜E12｜｜A｜=－｜A｜
B－1=A－1
=A－1E12，｜A｜B－1=｜A｜A－1E12
－｜B｜B
－1=A*E12，即－B*=A*E12．
填空题
11． 由方程xy—ex+ey=0确定的隐函数的导数y′=____________．
正确答案：
解析：两边对x求导y+xy′一ex+ey.y′=0， 12．
dx=____________．
正确答案：ln｜x｜+C 解析：原式=C．
ln｜x｜+
13． 直线k=____________．
正确答案：一1
解析：因为直线
垂直，则
的方向向量s1=(2k，k+2，5)，直线
=的方向向量s2=(3，1，k+2)，又两条直线垂直，所以6k+k+2+5(k+2)=0，解得k=－1．
14．
正确答案：[f(3b)一f(3a)]
f′(3x)dx=____________．
解析：
15． 设A=
，且有AX+I=A2+X，则X=____________．
正确答案：
解析：化简矩阵方程得(A－I)X=A2一I，由A2一I=(A－I)(A+I)，且A—
I==－1≠0．知A—I可逆，所以(A—I)－1(A—I)X=(A—I)－1(A—
I)(A+I)，又因为(A－1)－1(A—I)=I，故矩阵方程化为X=A+I，即
X=A+I=
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
16． 求由方程y2+
cost2dt=0确定的y=y(x)的导函数y′．
正确答案：将方程两端关于x求导，得2yy′+cosx2=0，y′=－解析：本题考查隐函数的求导，对方程两端关于x求导即可．
17． 设f(x)=
求f(x)dx．
正确答案： 解析：本题考查分段函数的积分，利用积分区间可加性即可求解．
18． 设z=z(x，y)由方程yz+x2+z=0所确定，求dz．
正确答案：令 F(x，y，z)=yz+x2+z，则 F′x=2x，F′y=z，F′z=y+1，
当y+1≠0时，
解析：为了求全微分dz，可以先求那么由全微分的充分条件可知dz=可利用隐函数求偏导数的公式．
19． 计算∫x(1+x2)2dx．
，如果两个偏导数都是连续函数，dy．由于所给函数为隐函数形式，
为连续函数，有
正确答案：∫x(1+x2)2dx=∫(1+x2)2d(1+x2)=(1+x2)3+ C． 20． 求
(x2+y2)dxdy，其中D为(x—a)2+y2≤a2．
正确答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，那么D对应于区域D1={(r，θ)｜
，0≤r≤2acosθ}，故
解析：本题考查重积分的计算．利用二重积分的变量代换求解即可．
21． 求微分方程y″一3y′+2y=xex的通解．
正确答案：该微分方程所对应齐次线性方程y″一3y′+2y=0．的特征方程为r2－3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，所以齐次方程的通解为=C1ex+C2e2x．因为λ=1是单特征根，而α=1，所以，设特解形式为y*=x(a+bx)ex．将y*=x(a+bx)ex代入原微分方程，并求解得y*=－x(1+
x)ex故原微分方程的通解为
y=C1ex+C2e2x－x(1+x)ex
解析：本题考查的知识点为求解二阶线性微分方程． 22． 将函数f(x)=点)．
展开为x的幂级数，并指出收敛区间(不考虑端
正确答案：而(一1)nxn，且R1=1，
且R2=2，故f(x)=
R=min{R1，R2}=1，所以收敛区间为(一1，1)．
解析：将题给分式分解成两个分式和的形式，分别转化成借用
的已知展开式展开即可．
xn，则
的形式，再
23． λ取何值时，齐次线性方程组有非零解，并求其
通解．
正确答案：本题考查齐次线性方程组解的情况，先对系数矩阵化简，再进行讨论求解．解 因为系数矩阵
所以当λ=5时，方程组
有非零解，且此时通解为
解析：本题考查齐次线性方程组解的情况，先对系数矩阵化简，再进行讨论求解．
综合题
24． 要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元，问该容器的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?
正确答案：设S为材料费用函数，则S=2πrh+πr2+3πr2，且满足条件πr2h=32π．所以因令S′(r)=0，得驻点r=2．因S″(2)=24π＞0，且驻点唯一，所以r=2为S(r)的最小值点，此时所以r=2厘米，h=8厘米时，材料费用最少．
解析：本题为利用导数求最值问题．求最大值与最小值的一般方法是：(1)求出f(x)在(a，b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点：x1，…，xk．(2)求出上述各点及区间两个端点x=a，x=b处的函数值：f(x1)，…，f(xk)，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为y=f(x)在[a，b]上的最大值，相应的x的取值即为f(x)在[a，b]上的最大值点，而其中最小的数值即为f(x)在[a，b]上的最小值，相应的x的取值即为f(x)在[a，b]上的最小值点．
25． 求幂级数
正确答案：在(一1，1)内有1))
，
则
记 f(x)=f(0)=0
，
x2n(x∈(一1，
且
一1)x2n在区间(一1，1)内的和函数S(x)．
所以，对x
∈
(一
1
，
0)
∪
(0
，
1)
有
从
而
因此，
解析：幂级数求和函数一般采用逐项求导，逐项积分或凑的方法，转化为几何级数或常用函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的．本题利用初等函数
和ln(1+x)的麦克劳林展开式即可．
证明题
26． 设f(x)为[0，1]上的连续函数，试证ex2)f(x)dx．
正确答案：由于二重积分区域D可以表示为0≤y≤1，0≤x≤
，其图形
(e—
如图阴影部分所示．如果换为先对y积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y=x2，出口曲线为y=1，因此x2≤y≤1，在区域D中0≤x≤1．因此
原等式成立．
解析：本题实际上是一道交换积分次序的题，对左式可先根据x的积分限画出积分区域D的草图，再由草图所示转化为先对y积分，求出后即得右式．
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