(完整word版)二次函数知识点总结及相关典型题目(良心出品必属精品)

第一部分 二次函数基础知识  相关概念及定义

b，c是常数， 二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的

最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是⑵ a，常数项．

 二次函数各种形式之间的变换

 二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形

b4acb2式，其中h，k.

2a4a 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；

②yax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc.

 二次函数解析式的表示方法

 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；  顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.  二次函数yax2的性质

a的符号 a0 开口方向 向上 顶点坐标 0，0 对称轴 y轴 性质 y随x的增大而增大；x0时，x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． 1

a0 向下 0，0 y轴 x0时，y随x的增大增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．  二次函数yax2c的性质

 二次函数yaxh2的性质：

a的a的符开口开口顶点顶点对称对称符号方向 号 方向坐标 轴轴 坐标 性质 性质性质x的增大而增大；时，随xx的增大而增大；时，随x0hyya0 0 a向上 向上h，，0 y0 X=h c轴 x的增大而减小；xh时，y随x的增大而减小；x0时，y随时，有最小值．xc0时，有最小值． x0hyyx的增大而减小；时，随xx的增大而减小；时，随x0hyya0 0 a向下 向下h，，0 y0 X=h c轴 x的增大而增大；xh时，y随x的增大而增大；x0时，y随时，有最大值．xc0时，有最大值． x0hyy

 二次函数yaxh2k的性质

2

开口方顶点坐对称a的符号 性质 向 标 轴 xh时，y随x的增大而增大；xha0 向上 h，k X=h 时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xha0 向下 h，k X=h 时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．

 抛物线yax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

 a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作xy轴记作直线x0.

b4acb2（，） 顶点坐标坐标：

2a4ab.特别地，2a 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

 抛物线yax2bxc中，a,b,c与函数图像的关系  二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大

3

小．

 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结：

 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．  求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb22 公式法：yaxbxcax，∴顶点是

2a4ab4acb2b（，），对称轴是直线x.

2a4a2a2 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

2yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做

到万无一失.

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 用待定系数法求二次函数的解析式

 一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

 顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

yaxx1xx2.

 直线与抛物线的交点

 y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0, c).

 与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).

 抛物线与x轴的交点:二次函数yax2bxc的图像与x轴的

x2，两个交点的横坐标x1、是对应一元二次方程ax2bxc0的

两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离.  平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交

点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

 一次函数ykxnk0的图像l与二次函数

ykxnyaxbxca0的图像G的交点，由方程组 2yaxbxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x20，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的轴两交点为Ax1，两个根，故

bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x224cb24acb4x1x2aaaa2

 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以

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用一般式或顶点式表达  关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；  关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；  关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxh2k关于原点对称后，得到的解析式是yaxh2k；  关于顶点对称

b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22关于顶点对称后，得到的解析式是yaxh2k．

 关于点m，n对称

2yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是

2yaxh2m2nk

 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．  二次函数图象的平移  平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k，确定其顶点坐标h，k；

⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

yaxhk2y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律

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在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。  三点式。

1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。

 顶点式。

1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

 交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。  定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线yx2125ax2a2212经过x 轴上一定点Q，直线y(a2)x2经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。

 平移式。

1， 把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。

2， 抛物线yx2x3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.  距离式。

1，抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。  对称轴式。

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1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。 2、 已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。  对称式。

1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。

2， 求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。  切点式。

1，已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。  判别式式。

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。

2、 已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。

3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果特yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，特别注意a不为零

那么y叫做x 的二次函数。

yax2bxc(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式。

342、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x线。

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b对称的曲线，这条曲线叫抛物2a抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：yax2bxc(a,b,c是常数，a0) （2）两根 当抛物线yax2bxc与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2bxc0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2bxca(xx1)(xx2)，二次函数yax2bxc可转化为两根式ya(xx1)(xx2)。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小,a 的绝对值越大，抛物线的

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开口越小.

（3）三顶点 顶点式：ya(xh)2k(a,h,k是常数，a0) 知识点三、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大

4acb2b值（或最小值），即当x时，y最值。

4a2a如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看自变量取值范围x1xx2内，若在此范围内，则当x=y最值b是否在2ab时，2a4acb2；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内

4a的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，

2y最大ax2bx2c，当xx1时，y最小ax12bx1c；如果在此范围内，y

随x的增大而减小，则当xx1时，y最大ax12bx1c，当xx2时，

2y最小ax2bx2c。

☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 yax2 yax2k yaxh 2开口方向 当a0时 开口向上 对称轴 x0（y轴） x0（y轴） 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) b4acb2(，2a4axh xh xb 2a2yaxhk 当a0时 yax2bxc 开口向下 ) 10

知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 二次函数 yax2bxc(a,b,c是常数，a0) a>0 y 图 a<0 y 0 x （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； b，顶点坐标是2a像 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限性延伸； 质 （2）对称轴是x=（2）对称轴是x=b，顶点坐标是2a11

4acb2b（，）； 4a2a4acb2b（，）； 4a2a（3）在对称轴的左侧，即当x<b2a（3）在对称轴的左侧，即当x<b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>b时，y2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>b时，2a随x的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=y有最小值，y最小值y随x的增大而减小，简记左增右减； bb时，（4）抛物线有最高点，当x=时，2a2a4acb2 4ay有最大值，y最大值4acb2 4a2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上

a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=c表示抛物线与

b 2ay轴的交点坐标：（0，c）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的b24ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。

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知识点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆） 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

y

如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为x1x22y1y22 A

0 x

B

2yaxbxc图象的画法

知识点五 二次函数

 五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式

ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. ☆、已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A、a0，b0，c0 B、a0，b0，c0 C、a0，b0，c0 D、a0，b0，c0

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☆、函数yax2a与y(a0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）

特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆)

说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右

②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 3、直线斜率：线方程：

4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:

yy1kxb(tan)xby2y1x(xx1) 此公式有多种变形 牢记 x2x1y O x y O x y O x y axO x A B C D ktany2y1 b为直线在y轴上的截距4、直x2x1 ②点斜 yy1kx(xx1)

③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0) ④截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xay1 b牢记 口诀 ---两点斜截距--两点 点斜 斜截 截距

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yk1xb1 l2：yk2xb2 若l1l1：5、设两条直线分别为，//l2，

则有l1//l2k1k2且b1b2。 若l1l2k1k21

6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:

dkx0y0bk(1)22kx0y0bk12

7、抛物线yax2bxc中， a b c,的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

bb，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）

a2ab时，对称轴在y轴左侧；③0（即a、b异号）时，对称轴在yax轴右侧. 口诀 --- 同左 异右

（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置. 当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴； ③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称

ba 二次函数yax2、yax2k、yaxh2、yaxh2k的性

轴在y轴右侧，则 0.

质 函数yax2 yax2kyaxhyaxhk 22 15

解析式 开口 当a0时,开口向上;当a0时,开口向下. 方向 顶 （0,0） （0,k） （h,0） （h,k） 点 对称x0（y轴） x0（y轴） xh xh 轴 当x=0时, 当x=0时, 当x=h时, 当x=h时, 最 最小最小值最小值最小值为值 值为0. 为k 为k. k a0 a0 a0 a0 a0 a0 a0 a0 增 在对在对在对在对在对在对在对在对减 称轴称轴称轴称轴称轴称轴称轴称轴性 的左的左的左的左的左的左的左的左对 侧,y侧,y侧,y侧,y侧,y侧,y侧,y侧,y称 随着随着随着随着随着随着随着随着轴 x的x的x的x的x的x的x的x的左 增大增大增大增大增大增大增大增大右 而减而减而减而减而减而减而减而减侧 小. 小. 小. 小. 小. 小. 小. 小. 在对在对在对在对在对在对在对在对16

称轴称轴称轴称轴称轴称轴称轴的右的右的右的右的右的右的右称轴的右侧, 侧,y侧,y侧,y侧, 侧, 侧, y侧, yy随着x随着随着随着y随x的x的x的着xy随着x随着x的随着x的增大而增大. 的增增大增大增大的增的增增大大而而增而增而增大而大而而增增大 大. 大. 大. 增 增大. 大. 大. 注：图形呈上升状态→拍马屁→y随着x的增大而增大 图形呈下降状态→拍马屁→y随着x的增大而减小

第26章二次函数 同步学习检测（一） 一、选择题（每小题2分，共102分）

1、抛物线y=x2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）

A. y=(x+8)2-9 B. y=(x-8)2+9 C. y=(x-8)2-9 D. y=(x+8)2+9

2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数y2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）

A．y2x22 B．y2x22 C．y2(x2)2 D．y2(x2)2

17

12121212123、 (2009年四川省内江市)抛物线y(x2)23的顶点坐标是（ ） A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）

4、（2009年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（ ）

5、（2009年桂林市、百色市）二次函数y(x1)22的最小值是（ ）．

23

6、(2009年上海市)抛物线y2(xm)2n（m，n是常数）的顶点坐标

A．2 B．1 C．－3 D．

是（ ）

A．(m，n) B．(m，n) C．(m， D．(m，n) n) 7、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数yax2bxc的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 【 】

A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点

8、（2009威海）二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是（ ） A．(18)2) D．(1，4) ， B．(18)， C．(1，9、（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的

18

图象可能是（ ）

y1y1y1y1o xo xo xo xA． B． C． D．

10、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） ．．

A、y=x2-x-2 B、y=x21 C、y=x2x1 D、y=x2x2

11、（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论：①ac0；②方程ax2bxc0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④abc0，其中正确的个数（ ） A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

1212121212、（2009年深圳市）二次函数yax2bxc的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1y2

B．y1y2

C．y1y2

D．不能确定

13、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( )

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．由b2-4ac的值确定

14、（2009丽水市）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：

①a＞0. ②该函数的图象关于直线x1对称.③当x1或x3时，函

19

数y的值都等于0.

其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0

15、（2009年甘肃庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A．y2x2 B．y2x2 C．yx212

D．yx212

16、（2009年广西南宁）已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b0②c0③b24ac0④abc0，其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

17、(2009年鄂州)已知=次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（ ）

A．2 B 3 C、4 D、5

18、（2009年甘肃庆阳）将抛物线y2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A．y2(x1)2 B．y2(x1)2 C．y2x21 D．y2x21

20

19、（2009年孝感）将函数yx2x的图象向右平移a(a0)个单位，得到函数

yx23x2的图象，则a的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 20、（2010年湖里区二次适应性考试）二次函数yx21的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ） ．．

A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x>0时，y随x增大而增大 21、（2009年烟台市）二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一次函数ybxb24ac与反比例函数y图象大致为（ ）

abc在同一坐标系内的x

22、（2009年嘉兴市）已知a0，在同一直角坐标系中，函数yax与

yax2的图象有可 能是（ ）

23、（2009年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）A．hm B．kn ．．．

C．kn D．h0，k0

24、（2010年广州市中考六模）若二次函数y＝2 x2－2 mx＋2 m2－2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ） A.0 B.±1 C.±2 D.±2

25、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a0；（2） c1；（3）b0；

21

（4） abc0； （5）abc0. 你认为其中正确信息的个数有 （ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

26、（2009年衢州）二次函数y(x1)22的图象上最低点的坐标是( )

A．(-1，-2) B．(1，-2) C．(-1，2) D．(1，2) 27、（2009年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数yx22x2的图象，需将yx2的图象（ ）．

A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位

C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 28、（2009年广州市）二次函数y(x1)22的最小值是（ ）

A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2 29、（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线yx2x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）

A．yx2x2 B．yx2x2 C．yx2x2 D．yx2x2 30、（2009年广西钦州）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）

A．y＝2x2＋3 B．y＝2x2－3 C．y＝2（x＋3） D．y＝2（x－3）2

31、(2009年南充)抛物线ya(x1)(x3)(a0)的对称轴是直线（ ） A．x1 B．x1 C．x3 D．x3

32、(2009宁夏)二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，对称轴是直线x1，则下列四个结论错误的是（ ） ．．

22

A．c0 B．2ab0 C．b24ac0 D．abc0 33、(2009年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ）A．6 B．7 C．8 D．9

34、（2009年兰州）二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列关系式不正确的是

A．a＜0 B.abc＞0 C.abc＞0 D.b24ac＞0 35、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a0；（2） c1；（3）b0；（4） abc0； （5）abc0. 你认为其中正确信息的个数有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

36、（2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数

ymx22x2（m是常数，且m0）的图象可能是（ ） ．．

37、（2009年遂宁）把二次函数y1x2x3用配方法化成yaxh2k4的形式

23

A.y1x222 B. y1x22444C.y1x224 D.

4

11yx3

22238、（2010年西湖区月考）关于二次函数y =ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0时且函数的图象开口向下时，ax2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是4acb；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称.其中正确

4a2的个数是（ ） A.1个 B、2个 C、3个 D. 4个

39、（2009年兰州）把抛物线yx2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移 后抛物线的解析式为（ ） y(x1)23 y(x1)23 C．y(x1)23 D．A．y(x1)23 B．

40、（2009年湖北荆州）抛物线y3(x1)22的对称轴是（ ） A．x1 B．x1 C．x2 D．x2

41、(2009年河北)某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数

y12，若该车某次的刹车距离为x（x＞0）

205 m，则开始刹车时的速

度为（ ）

A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s 42、（2009年黄石市）已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，有以下结论：①abc0；②abc1；③abc0；④4a2bc0；⑤ca1其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 43、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，

24

下列判断错误的是（ ） A．a0 B．b0 C．c0 D．b24ac0 44、（2009年枣庄市）二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ） A．a＜0 B．c＞0 C．b24ac．．

＞0 D．abc＞0

45、（2009烟台市）二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一次函数ybxb24ac与反比例函数y致为（ ）

abc在同一坐标系内的图象大x

46.(2010三亚市月考). 下列关于二次函数的说法错误的是（ ） A.抛物线y=-2x2＋3x＋1的对称轴是直线x=； B.点A(3,0)不在抛物线y=x2 -2x-3的图象上； C.二次函数y=(x＋2）2－2的顶点坐标是（-2，-2）；

D.函数y=2x2＋4x-3的图象的最低点在（-1，-5）

47.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列结论正确的是( )

A.ac＜0 B.当x=1时,y＞0 C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根

D.存在一个大于1的实数x0,使得当x＜x0时,y随x的增大而减小; 当

25

34x＞x0时,y随x的增大而增大.

48.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则△ABC的面积为（ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 1

49．（2010年河南中考模拟题4）二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，则正确的是( )A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．以答案上都不正确

50．（2010年杭州月考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc0 ②当x1时，函数有最大值。③当x1或x3时，函数y的值都等于0. ④4a2bc0其中正确结论的个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、解答题

1． 已知一次函ym2x2m3xm2的图象过点（0，5） ⑴ 求m的值，并写出二次函数的关系式；⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．

2． (2010年厦门湖里模拟)一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B．

26

（1）求点A，B的坐标；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．

3．(2009年营口市)面对国际金融危机，某铁路旅行社为吸引市民组

团去某风景区旅游，推出如下标准：

不超过25人数 人 人均旅游1500元 费 20元 某单位组织员工去该风景区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元．

(1)请写出y与x的函数关系式；

(2)若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位最多应付旅游费多少元？

4、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与

27

超过50超过25人但不超过50人 人 每增加1人，人均旅游费降低1000元 x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

第26章二次函数 同步学习检测（一）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B A 题号 18 19 20 21 22 23 24 25 26 答案 D B D D C B 题号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 答案 C D D A C D A C 2. 答案：解：（1）令y0，得x3，点A的坐标是(3，0)

令x0，得y3，点B的坐标是(0，3)

（2）二次函数yx2bxc的图象经过点A，B，

28

10 11 12 13 14 15 16 17 D C C A B B A C 27 28 29 30 31 32 33 34 D A C A A D C C B 44 45 46 47 48 49 50 51 C B C C A A C B D D B D C A C 093bcb2，解得：． 3cc3二次函数yx2bxc的解析式是yx22x3，

yx22x3(x1)24，∴函数yx22x3的最小值为4．

3．解：（1）由题意可知：

当0≤x≤25时，y1500x． ················ 1分 当25x≤50时，yx[150020(x25)] ············ 2分 即y20x22000x ···················· 3分 当x50时，y1000x． ················· 4分 （2）由题意，得26≤x≤45，

所以选择函数关系式为：y20x22000x． ········· 5分 配方，得y20x50250000． ············· 7分 因为a200，所以抛物线开口向下．又因为对称轴是直线x50． 所以当26≤x≤45时，此函数y随x的增大而增大． ······ 8分 所以当x45时，y有最大值，

y最大值20(4550)25000049500（元）

因此，该单位最多应付旅游费49500元． 4.（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-20x2100x6000,0≤x≤20； （2）y=-20(x2.5)26135,∴当x==2.5元,每星期

第26章二次函数 同步学习检测（二）

一、填空题：注意：填空题的答案请写在下面的横线上, （每小题2

29

分，共80分）

1、（2009年北京市）若把代数式x22x3化为xm2k的形式，其中m,k为常数，则m+k= __________ . 2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（1，1），

24且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 3、（2009 黑龙江大兴安岭）当x 时，二次函数yx22x2有最小值． 4、（2009年郴州市）抛物线y=-3(x-1)2+5的顶点坐标为_______________________．

5、(2009年上海市)将抛物线yx22向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ______________ ． 6、（2009年内蒙古包头）已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交

(x1，0)，于点(2，且1x12，与y轴的正半轴的交点在(0，下0)、2)的下方．

列结论：①4a2bc0；②ab0；③2ac0；④2ab10．其中正确结论的个数是 _____ 个． 7、（2009湖北省荆门市）函数y(x2)(3x)取得最大值时，x____________． 8、（2009年齐齐哈尔市）当x_____________时，二次函数yx22x2有最小值． 9、（2009年贵州省黔东南州）二次函数yx22x3的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是_________________。

10、已知二次函数yx22x， 当x______________时，y随x的增大而增大.

11、（2009襄樊市）抛物线yx2bxc的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ．

12、（2009年娄底）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=1x2的图象，

212C2是函数y=-1x2的图象，则阴影部分的面积是 .

213、（2009年甘肃庆阳）如图为二次函数yax2bxc的图象，给出下列说法：

①ab0；②方程ax2bxc0的根为x11，x23；③abc0；④当x1时，y随x值的增大而增大；⑤当y0时，1x3．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号） 14、(2009年甘肃定西)抛物线yx2bxc的部分图象如图所示，请

30

写出与其关系式、图象相关的2个正确结

论： ， ．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）

215、(2009年鄂州)把抛物线y＝ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，

再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x－3x+5，则a+b+c=__________

16、（2009年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．

17、（2009年黄石市）若抛物线yax2bx3与yx23x2的两交点关于原点对称，则a、b分别为 ．

18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40

元。为了扩大销售，增 加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现：

如果每件衬衫降价1

元，商场平均每天可多售出2件。则商场降价后每天盈利y（元）与

降价x（元）的函数关 系式为 _________ 。 19、（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出

则当x 元时，一天出售该种文具盒的总利润y6x个，

最大．

20．(2009年湖州)已知抛物线yax2bxc（a＞0）的对称轴为直线x1，且经过点1，y1，2，y2，试比较y1和y2的大小：y1 _y2（填“>”，“<”或“=”） 21．(2009年咸宁市)已知A、B是抛物线yx24x3上位置不同的两

31

点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是_____________．（写出一对即可）

22、(2009年本溪)如图所示，抛物线yax2bxc（a0）与x轴的两个交点分别为A(1，0)和B(2，0)，当y0时，x的取值范围是 ．

23、（2009年兰州）二次函数yx2的图象如图所示，点A0位于坐标原点， 点A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，

B2008在二次函数y2322x位于第一象限的图象上， 若3△A0B1A1,△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008的边长＝ 24. (2009年金华市)如图，在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30o,在射线OC上取一

点A，过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2 (x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，

O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 .

25. 已知抛物线y＝x2－3x－4，则它与x轴的交点坐标是 .

26.（10年广州市中考七模）、抛物线y2x25x+3与坐标轴的交点共有 个。

27.抛物线y2x24x3的顶点坐标是 ; 抛物线y2x28x1的顶点坐标为 。

28. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与

面积y（m2）满足函数

32

关系y＝－（x－12）2＋144（0＜x＜24），那么该矩形面积的最大值为 _____ m2。

29．(2010年山东宁阳一模)根据yax2bxc的图象，思考下面五个结论①co；

②abc0；③abc0；④2a3b0；⑤c4b0正确的结论有_____________． 30．（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ___ ． ①过点(31)，；②当x0时，y随x的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2． 31．（2010福建模拟）抛物线yx22x3的对称轴是直线 ___ ．

32. （江西南昌一模）二次函数y2x24x1的最小值是 _______

33．函数y=ax2－(a－3)x＋1的图象与x轴只有一个交点，那么a的

值和交点坐标

分别为________________．

34、二次函数yax2bxc的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴.给出四个结论：① a0；② b0；③ c0；④ abc0.其中正确结论的序号是 ； 35．将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 。

36．将抛物线y=-3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 。

37．用铝合金型材做一个形状如图（1）所示的矩形窗框，设窗框的

一边为xm，窗户的透光

面积为ym2，y与x的函数图象如图（2）所示。观察图象，当x＝

时，窗户透光面 积最大。

38．如图，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－

1，2)和(1，0)，且与y

33

轴交于负半轴．给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c=1；

④a＞1．其中正确结论的序号是_______________(少选、错选均不得分)．

39.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴。给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；⑤abc<0；⑥2a+b>0；⑦a+c=1；⑧a>1.其中正确结论的序号是 _____________________ 。 40．如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°， AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是_____.

二、解答题(共40分)

1.已知二次函数yx22x.

（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；（2）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标；

2. （09浙江）如图抛物线yax25x4a与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）．

(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标．

34

1252(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，．．并写出平移后抛物线的解析式．

3．已知抛物线y－x2bxc的部分图象如图所示.

(1)求b、c的值； (2)求y的最大值；(3)写出当y0时，x的取值范围.

4.（09贵州黔东南）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐

35

y54321-2-1O1-1-223x营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

⑴ 设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。 ⑵ 为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。

5．(09哈尔滨)张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当x＝－

4acb2（小）值＝4ab2a时，y最大

)

36

6.．（2009年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定

试销期间销售单价不低于

成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销

售单价x（元）符合

一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45． （1）求一次函数ykxb的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

第26章二次函数 同步学习检测（二）答案 1、－3；2、yx2x，y4；

yx22x3；12、7、5；8、11、1 ；9、yx22x3；10、＜2 2121x；3、-1；4、(1，5)；5、yx21；6、332π；

13、①②④；14、答案不唯一．如：①c=3；②b+c=1；③c-3b=9；④

37

b=-2；⑤抛物线的顶点为（-1，4），或二次函数的最大值为4；⑥方程-x2+bx+c=0的两个根为-3，1；⑦y>0时，-31；⑧当x>-1时，y随x的增大而减小；或当x<-1时，y随x的增大而增大．等等；15、11；16、

25或12.5；17、3,3；18、；19、223；20、＞ 21、(1,0),(3,0)； 22、x1或x2；23、2008； 24、1122

(3，3) , (3，) , (23，2) , (3，).； 25、（-1，0），

3333（4，0）；26、3；27、(－1，5)；28、 ；29、①②③⑤；30、如

21315yx2，y，yx2； 31、x1；32、yx12；

3x6233、 ；34、①④；35、-3；36、 ； 37、y=－3x2+1；38、 ；39、；40、 ；

1.（1）（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；

1251

解：∵yx2x=（x+2）2-4.5 ∴ 顶点坐标（－2，－4.5），

222

对称轴：直线x＝－2；

因为二次项系数大于0，所以函数有最小值－4.5． （2）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标；

解：令y＝0，则x22x0，解得x＝－5，x＝1． 所以抛物线与x轴的交点坐标为（－5，0），（1，0）．令x＝0，则y＝．所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，）

4)代入抛物线yax25ax4a得， 2. 解：（1）把点C(5，12525252 25a25a4a4，解得a1．∴ 该二次函数的解析式为yx25x4．

38

5959． yx25x4x ∴ 顶点坐标为P，24242（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为

5917yx34x，即yx2x2

2424223. 答案：(1)b=－2,c=3 (2) 4 (3) x＜－3或x＞1 x14. （1）y1100x，y2=. （2）y(100x)(100x) 即：

22y(x50)211250

因为提价前包房费总收入为100×100=10000。

当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。 5.

12

65kb55，6.解：（1）根据题意得解得k1，b120．

75kb45.所求一次函数的表达式为yx120． ········· （2分） （2）W(x60)(x120) x2180x7200

(x90)2900， ·············· （4分） 抛物线的开口向下，当x90时，W随x的增大而增大，

39

而60≤x≤87，

当x87时，W(8790)2900891．

当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891

元． ······················· （6分） （3）由W500，得500x2180x7200，

整理得，x2180x77000，解得，x170，x2110． ··· （7分） 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，所以，销售单价x的范围是70≤x≤87． ························ （10分）

40