(完整word版)勾股定理知识点梳理(良心出品必属精品)

第17章 勾股定理知识梳理

——汇森中学 刘明 17.1勾股定理 知识点一：勾股定理

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，已知a，b，c，（c为斜边长）中的任意两条边的长度，利用此定理可以求出第三条边的长度.

运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边

勾股定理的变形公式：a2c2b2，b2c2a2，ca2b2，ac2b2，bc2a2.

例1. 在RtABC中，C90°，AB10cm，BC8cm，求AC的长.

知识点二：勾股定理的探索与证明

1

勾股定理的证明方法有许多种，现在给出集中常见的证明方法：

证明一：著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中，给出了一个很好的证明.做三个边长分别为a，b，c的

正方

G形，把他们拼成如图所示的形状，使H、三点在一条直线上，连接BF、CD.过C作

HaFaAcDLcECbMbBC、BKCLDE，交AB于点M，交DE于点L.

AFAC,ABAD,FABCAD,

FABCAD.

1FAB的面积等于a2，CAD的面积等

2于长

方形

ADLM的面积的一半，

长方形ADLM的面积=a2.同理可证，长方形MLEB的面积=b2.

正方形ADEB的面积=长方形ADLM的面积+长方形MLEB的面积，

c2a2b2，即a2b2c2.

证明二:用拼图的方法验证勾股定理 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

2

方法一：4SS正方形EFGHDHEFbAcGaBC1S正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

2

方法二：

bacabcbccbaa

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41abc22abc2

2大正方形面积为S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

方法三：S梯形1(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21ab1c2，化简得证

222AaDbccBbEaC

3

ARPCQB

例2：如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到： 正方形P的面积= 平方厘米； 正方形Q的面积= 平方厘米； 正方形R的面积= 平方厘米；

正方形P、Q、R的面积之间的关系是 ；

由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系 .

知识点三：利用勾股定理作长为n（n为大于

1的正整数）的线段

将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 例3：请在数轴上作出

4

10指定的点

知识点四：勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

例4. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.

（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

5

类型一：利用勾股定理计算线段的长

例1：如图所示，在四边形ABCD中，BAD90，DBC90，AD3，AB4，

BC12，求CD.

6

变式训练1：在ABC中，AB20,AC15,BC边上的高AD为12，求ABC的周长.

类型二：勾股定理解决三角形中的折叠问题

例2：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6cm,BC8cm，将ACD折叠，使点C与点E重合，折痕为AD，则CD等于 .

7

ACDEB

变式训练2：如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C’的位置上，已知AB3，BC7，重合部分△EBD的面积为 ．

类型三：勾股定理在空间图形中的应用

例3：有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是30cm，40cm，120cm的木箱中，露在外边的长度至少为 cm．

A8

DBC

变式训练3：一根筷子长度为17cm，斜放在半径为3cm的圆柱形水杯内，露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯高AC= cm．

类型四：勾股定理的规律探索题

例4:张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n 2 3 4 5 … a 22-1 32-1 42-1 52-1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1） 分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：

a = ，b = ，c =

（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.

9

变式训练4：若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2 ，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：

根据以上规律，回答以下问题：

（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？ （2） 写出各数都大于30的两组商高数．

用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．

10

类型五：勾股定理中整体思想的运用

例5：如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C

到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是 .

11

变式训练5：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．

类型六：勾股定理的实际应用

例6：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为

A B

每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，

C D L

使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

12

变式训练6：一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？

13

O

B

AA A

类型七：用勾股定理巧求最短距离

例7：如图，一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .

变式训练7：如图，长方体的长为15，宽10，高为20，

B C B

A 

点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .

14

A

17.2勾股定理的逆定理

知识点一：互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.

注：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题； （3）原命题成立，它的逆命题不一定成立. 2.互逆定理

有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆

15

定理，其中一个叫做另一个的逆定理.

例1：写出下列命题的逆命题：

（1）对顶角相等； （2）两个锐角的和是钝角.

知识点二：勾股定理的逆定理

如果三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理，即如果直角三角形的三边长a,b,c满足

a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.

利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤： （1）确定三角形的最长边；

（2）分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；

（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，且最长边的对角就是直角. 例2：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形. （1）a7,b24,c25； （2）a0.3,b0.4,c0.5； （3）a2,b3,c4.

16

知识点三：勾股数

满足a2b2c2的三个正整数，称为勾股数.

常见的勾股数：3,4,5； 5,12，13； 6,8,10； 7,24,25； 8,15,17； 9,40,41；

11,60,61； 12，16,20； 15,20,25. 另外，勾股数的倍数也是勾股数.

例3：根据下列条件，判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形 （1）a7,b24,c25； （2） a8,b15,c19； （3） a0.6,b0.8,c1.0； （4）a3n,b4n,c5n.

17

类型一：判断三角形是否是直角三角形

例1：在ABC中，am2n2，b2mn，cm2n2，其中m、n是正整数，且

mn，试判断ABC是否是直角三角形.

变式训练1：若ABC的三边a,b,c满足条件a2b2c233810a24b26c，试判定

ABC的形状．

18

类型二：勾股定理及其逆定理的综合应用

1例2：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=4BC，

求证：EFA=90.

A

D

F

B E C

19

变式训练2：如图，是一种四边形的零件，东东通过测量，获得了如下数据：AB=4cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=3cm，东东想计算这种零件的面积，你认为东东还需测出哪些数据？请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积.

变式训练3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

20

C

D A B

类型三：利用勾股定理逆定理解决航海中问题

例3：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

21

①“远航”号航行的距离是多少海里？ ②“海天”号航行的距离是多少海里？

③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？

④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方吗？

变式训练4：如图，南北向MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50

22

向航行

分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

************勾股定理中考链接*************

1.（2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足

，则该直角三角形的斜边长为 ．

考点： 勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．245761 23

M A C

B

2.（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣

，0），B（

，0），

点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标 ． 考点： 勾股定理；坐标与图形性质．

3.（2013鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=

．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，

满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12 考勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离． 点： 24

4.（2013湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长； （2）求△ADB的面积．

考点：角平分线的性质；勾股定理

5.（2013柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（ ）

A． B． C． D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理

25

6.（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ． 考点：三角形中位线定理；勾股定理．

7.（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长 ． 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．

8．（2013绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=则点A的横坐标是 ．

考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．

26

上的点B重合，若点B的纵坐标是1，

9.（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形

A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 ． 考点：勾股定理

10.（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．

考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．

27

3718684 11.（2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若∠EOD=30°，求CE的长．

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

28

12.（2013襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是 ． 考点：图形的剪拼；勾股定理．

13．（2008年广东湛江市）如图9所示，已知AB为⊙的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、

29

C B E D O A O

图9

BC．

（1）求证：ACO=BCD．

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径． 考点：圆；勾股定理

第14章 勾股定理单元测试 一、选择题

1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )

A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8

2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m2 + n2, m2–n2, 2mn（m，n均为正

整数,mn）；④a2,a21,a22.其中能组成直角三角形的三边长的是( )

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④

30

3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）

A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2

C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为(ab)2c22ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.

5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( ) A．5 B．25 C．7 D．5或7 6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )

A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2

7．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )

A．121 B．120 C．90 D．不能确定

8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20

31

分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )

A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定

9．直角三角形的三边是ab,a,ab,并且a,b都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )

A．61 B． 71 C．81 D． 91

10. 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B

A E D 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ） A.6

C.10

二、填空题

11. 在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则AB2+AC2+BC2=_______． 12. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的

直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．

60 A 1200 B 60 C 140 第16题图

第17题图

B.8 D.12

B F

第10题图

C

32

第12题图 第15题图

13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 14．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 15． 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.

16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出

尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 ． 17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子

的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．

18.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹

33

竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 三、解答题

19.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.

图1

图2

20.已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.

21. 如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，

DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两

村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？

A 10 E B 15 34

D C

22. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边

AC沿

∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

35

DCBwww.czsx.com.cnEA

23.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？

24. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，

AC=7cm，BC=8m，求DE的长．

36

C A B

B E A

D

C

25. 如图所示的一块地ABCD，已知

AD=4m，37

CD=3m，∠ADC=90°，

AB=13m，

BC=12m，，求这块地的面积．

A

D

B

C 38