①一般式:f(x)axbxc(a0) ②顶点式:f(x)a(xh)k(a0) ③两根式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0)
(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f(x)更方便. (3)二次函数图象的性质 22fxax2bxca0 a0 a0 图像 x定义域 对称轴 顶点坐标 b 2ax b 2a , xb 2ab4acb2 ,4a2a4acb2, 4ab递减 ,2ab递增 ,2a值域 4acb2 ,4a单调区间 b递增 ,2ab,递减 2a 1
①.二次函数f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x2b,顶点坐标2ab4acb2是(,)
2a4a②当a0时,抛物线开口向上,函数在(,bbb]上递减,在[,)上递增,当x2a2a2abb4acb2时,fmin(x);当a0时,抛物线开口向下,函数在(,在[]上递增,,)4a2a2ab4acb2上递减,当x时,fmax(x).
4a2a
二、幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数yx叫做幂函数,其中x为自变量,是常数. (2)幂函数的图象 过定点:所有的幂函数在(0,)都有定义,并且图象都通过点(1,1).
2
三、指数函数
(1)根式的概念:如果xa,aR,xR,n1,且nN,那么x叫做a的n次方根. (2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:a等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是:a分数指数幂没有意义. (3)运算性质
①aaarrsrsmnnnam(a0,m,nN,且n1).0的正分数指数幂
mn 1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1).0的负aa(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR)
③(ab)ab(a0,b0,rR) (4)指数函数 函数名称 定义 xrr指数函数 函数ya(a0且a1)叫做指数函数 a1 y yax (0,1)0a1 yaxy图象 y1y1 (0,1) O 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在R上是增函数 xR (0,) Ox图象过定点(0,1),即当x0时,y1. 非奇非偶 在R上是减函数 ax1(x0)函数值的 变化情况 ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)a变化对图象的影响
在第一象限内,a越大图象越高;在第二象限内,a越大图象越低. 3
四、对数函数
xaN(a0,且a1),(1)对数的定义: ①若则x叫做以a为底N的对数,记作xlogaN,
其中a叫做底数,N叫做真数. ②负数和零没有对数.
x③对数式与指数式的互化: xlogaNaN(a0,a1,N0). b(2)几个重要的对数恒等式: loga10,logaa1,logaab.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:lgN,即log10N;自然对数:lnN,即logeN(其中e2.71828…). (4)对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0,那么
①加法:logaMlogaNloga(MN) ②减法:logaMlogaNlogalogNn③数乘:nlogaMlogaM(nR) ④aaN
M N⑤logabMnlogbNn(b0,且b1) ⑥换底公式:logaNlogaM(b0,nR)logab b对数函数 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 (5)对数函数
函数名称 定义 a1 y图象 O(1,0)0a1 yx1 ylogaxx1 ylogaxx(0,) O (1,0) x定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 定义域 上是增函数 R 图象过定点(1,0),即当x1时,y0. 非奇非偶 在 定义域 上是减函数 logax0(x1)函数值的 变化情况 logax0(x1) logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1) a变化对 图象的影响
在第一象限内,a越大图象越靠低;在第四象限内,a越大图象越靠高. 4
五、反函数
(1)反函数的概念
设函数yf(x)的定义域为A,值域为C,从式子yf(x)中解出x,得式子x(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x(y)表示x是y的函数,函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数,记作xf习惯上改写成yf11(y),
(x).
(2)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域; ②从原函数式yf(x)中反解出xf③将xf11(y);
(y)改写成yf1(x),并注明反函数的定义域.
(3)反函数的性质
1yf(x)的图象关于直线yx对称. yf(x)①原函数与反函数
②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf'1(x)的值域、定义域.
1③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上,则P(b,a)在反函数yf④一般地,函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数.
六、三角函数的图像和性质
(一)正弦与余函数的图像与性质 函数 图像 (x)的图象上.
ysinx ycosx 定域义 值域 最值 R R 1,1 x1,1 x2k时, y最大1, kZ 22k时,y最大1, kZx单调性 22k时,y最小1, kZ22k,x2k时,y最小1,kZ 在每个[2k,2k]上递增在每个[2k,2k] 上递减 kZ5
在每个[在每个[22k]上递增3 2k]上递减22 kZ2k,
奇偶性 周期性 对称性 奇函数 是周期函数,2为最小正周期 对称中心(k,0), 偶函数 是周期函数,2为最小正周期 对称中心(2k,0), 对称轴:x2k,(kZ) 对称轴:xk,(kZ)
2. 正切与余切函数的图像与性质 ytanx 函数 图像 ycotx 定域义 值域 单调性 {x|xR且xR 2 k,kZ} {x|xR且xk,kZ} R 在每个(奇函数 k)上递增 22 kZk,在每个(k,k)上递减 kZ奇函数 是周期函数,为最小正周期 对称中心(奇偶性 周期性 对称性 是周期函数,为最小正周期 对称中心(k,0) 2k,0) 2
6
七、反三角函数的图像与性质
1. 反正弦与反余函数的图像与性质 反正弦函数yarcsinx 函数 是ysinx,x,22的反函数 反余弦函数yarccosx 是ycosx,x0,的反函数 图像 定域义 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性 1,1 ,221,1 0, 在[1,1]上递减 非奇非偶 无 对称中心(0,在[1,1]上递增 奇函数 无 对称中心(0,0) 2) 2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数 反正切函数yarctanx 是ytanx,x(,)的反函数 22反余切函数yarccotx 是ycotx,x0,的反函数 图像 定域义 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性
7
(,,) ,22 (,,) 0, 在(,,)上递增 奇函数 无 对称中心(0,0) 在(,,)上递减 非奇非偶 无 对称中心(0,π/2)
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