函数的基本性质知识点归纳与题型总结

一、知识归纳

1．函数的奇偶性

奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内偶函数 任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内奇函数 任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

2．函数的周期性 (1)周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

解题提醒：

①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)

关于原点对称 图象特点 关于y轴对称 1 / 8

＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．

③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．

题型一 函数奇偶性的判断

典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1)

1－x

； 1＋x

2－x＋2x＋1，x＞0，

(2)f(x)＝2

x＋2x－1，x＜0；

4－x2

(3)f(x)＝x2；

(4)f(x)＝loga(x＋x2＋1)(a＞0且a≠1)． 1－x

解：(1)因为f(x)有意义，则满足≥0，

1＋x所以－1＜x≤1，

所以f(x)的定义域不关于原点对称， 所以f(x)为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)

当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，

－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，

－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．

2 / 8

所以f(x)为奇函数． 法二：(图象法)

作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．

4－x2≥0，

(3)因为

x2≠0，

所以－2≤x≤2且x≠0，

所以定义域关于原点对称． 又f(－x)＝4－－x2－x

2

＝4－x2x2，

所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数． (4)函数的定义域为R， 因为f(－x)＋f(x) ＝loga[－x＋

－x2＋1]＋loga(x＋x2＋1)

＝loga(x2＋1－x)＋loga(＝loga[(x2＋1－x)(x2＋1＋x)

x2＋1＋x)]

＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0， 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

3 / 8

通性通法：

判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法

(2)图象法

(3)性质法

①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．

[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

题型二 函数的周期性

21－x，0≤x≤1，典型例题(1)已知函数f(x)＝若对任意的n∈N*，

x－1，1＜x≤2，

定义fn(x)＝f{f[f…f(x)]}，则f2 019(2)的值为( ) n个

4 / 8

A．0 B．1 C．2

D．3

(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.

解析：(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2， ∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C. (2)∵f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)的周期T＝2， ∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2， ∴f(0)＝0，f(1)＝1，

∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1. 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010. 答案：(1)C (2)1 010

通性通法：

1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．

2．周期性3个常用结论 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.

5 / 8

1

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a.

fx

1

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．

fx

题型三 函数性质的综合应用

函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．

角度一：奇偶性的应用

1．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝( )

A．－2x B．2－x C．－2－x

D．2x

解析：选C x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.

角度二：单调性与奇偶性结合

2．已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为( )

A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2} C．{x|x＜0或x＞3}

D．{x|x＜－1或x＞1}

－函

解析：选A 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出

6 / 8

数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.

角度三：周期性与奇偶性结合

3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，－3) C．(－∞，－1)

B．(3，＋∞) D．(1，＋∞)

解析：选D ∵f(x＋3)＝f(x)，

∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数， ∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)． 又∵函数f(x)是偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1， ∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．

角度四：单调性、奇偶性与周期性结合

4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )

A．0＜f(1)＜f(3) C．f(1)＜0＜f(3)

B．f(3)＜0＜f(1) D．f(3)＜f(1)＜0

解析：选C 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0. 由f(x＋2)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

故函数f(x)是以4为周期的周期函数，

7 / 8

所以f(3)＝f(－1)． 又f(x)在[0,2)上单调递减， 所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减， 所以f(－1)＞f(0)＞f(1)， 即f(1)＜0＜f(3)．故选C.

通性通法：

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

8 / 8