2021-2022学年福建省三明市大田县八年级(上)期中数学试卷(解析版)

卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.

1．下列各数中为无理数的是（ ） A．0

B．0.2

C．

D．

2．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）的位置在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．下列各点中，在函数y＝﹣3x+3图象上的是（ ） A．（﹣2，9）

B．（2，9）

C．（0，﹣3）

D．（﹣3，0）

4．在下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．1、2、3

B．2、3、4

C．3、4、5

D．4、5、6

5．下列运算正确的是（ ） A．C．（

+

＝

B．D．

×

＝

﹣1）2＝3﹣1 ＝5﹣3

6．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣2，﹣3）

B．（2，﹣3）

C．（﹣2，3）

D．（2，3）

7．对于一次函数y＝﹣x+b（b为常数），下列说法中正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．其图象一定过第一、三象限

C．当b＝2时，其图象与坐标轴围成的图形的面积为2 D．其图象与直线y＝3﹣x的交点在第四象限

8．关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（ ） A．（3，0）

B．（7，0）

C．（3，7）

D．（7，3）

9．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2ABCD的面积为（ ）

，CD＝2，BC＝3，AB＝5，则四边形

A．12 B．4+12 C．2+6 D．2+10

10．已知两直线y＝kx+k（k≠0）与y＝3x﹣6相交于第四象限，则k的取值范围是（ ） A．−6＜k＜0

B．﹣3＜k＜0

C．k＜−3

D．k＜−6

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11．小明从家出发向正东方向走了240m，接着向正北方向走了320m，此时小明离家 m．

12．一次函数y＝（k2+1）x﹣3中，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 13．估计与

最接近的整数是 ．

14．边长为6的等边三角形AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点B的坐标为 ．

15．已知a满足|8﹣a|+＝a，则a的值是 ．

16．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）计算：（（2）计算：（

+1）（

）×

；

．

﹣1）﹣

18．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴） （1）该植物从观察时起，多少天以后停止生长？

（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长到多少厘米？

19．一次函数y＝kx+3的图象经过点（4，﹣3）． （1）求k的值；

（2）求图象与x轴的交点坐标，并写出当y＜0时，x的取值范围．

20．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题． （1）求△ABC的周长；

（2）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．

21．已知二次根式．

＝3，求a的值．

能够合并，求a的值，并求出这两个次根式的

（1）如果该二次根式（2）已知积．

为最简二次根式，且与

22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点（横、纵坐标都为整数的点）上．

（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）直线l过点D（1，0），且平行于y轴，作出△ABC关于直线l对称的△A2B2C2； （3）若△ABC关于直线y＝x的对称图形是△A3B3C3，直接写出点C3的坐标．

23．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）请利用一次函数的知识说明：该商店购进A型多少台才能使销售利润最大，最大利润是多少？

（3）若限定该商店购进B型电脑数量不少于50台，则这100台电脑的销售总利润能否为12800元？若能，求出购进A型的数量，若不能，请说明理由． 24．观察下列各式及其验证过程 ①②

，验证：，验证：

；

．

的变形结果并进行验证．

（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想

（2）针对上述各式反映的规律，写出用m（m为自然数，且m≥2）表示的等式并证明．（3）模仿上述验算过程的方法，对

进行验证；并针对等式反映的规律，直

接写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式．

25．如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（10，8），动点D的坐标为（a﹣1，2a﹣6），E是线段AB上的一动点．

（1）若点D恰好落在BC边上，求点D的坐标．

（2）点C，D，E能否构成以点D为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出此时a的值；若不能，请说明理由．

（3）连接OD，求线段OD的最小值．

参

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.

1．下列各数中为无理数的是（ ） A．0

B．0.2

C．

D．

【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案． 解：0，0.2，是有理数，故选：D．

2．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）的位置在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

是无理数．

【分析】应先判断出所求点P的横坐标、纵坐标的符号，进而判断其所在的象限． 解：∵点P（﹣1，2）的横坐标﹣1＜0，纵坐标2＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B．

3．下列各点中，在函数y＝﹣3x+3图象上的是（ ） A．（﹣2，9）

B．（2，9）

C．（0，﹣3）

D．（﹣3，0）

【分析】将各选项的点的坐标分别代入函数解析式计算可求解．

解：将x＝﹣2代入y＝﹣3x+3可得y＝9＝9，所以（﹣2，9）在函数y＝﹣3x+3的图象上，故A选项符合题意；

将x＝2代入y＝﹣3x+3可得y＝﹣3≠9，所以（2，9）不在函数y＝﹣3x+3的图象上，故B选项不符合题意；

将x＝0代入y＝﹣3x+3可得y＝3≠﹣3，所以（0，﹣3）不在函数y＝﹣3x+3的图象上，故C选项不符合题意；

将x＝﹣3代入y＝﹣3x+3可得y＝12≠0，所以（﹣3，0）不在函数y＝﹣3x+3的图象上，故D选项不符合题意． 故选：A．

4．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）

A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6

【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．

D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C．

5．下列运算正确的是（ ） A．C．（

+

＝

B．D．

×

＝

﹣1）2＝3﹣1 ＝5﹣3

【分析】A、B、C、D利用根式的运算顺序及运算法则、公式等计算即可求解． 解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误； B、

×

＝

，故选项正确；

，故选项错误；

C、是完全平方公式，应等于4﹣2D、应该等于故选：B．

，故选项错误；

6．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣2，﹣3）

B．（2，﹣3）

C．（﹣2，3）

D．（2，3）

【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3）． 故选：C．

7．对于一次函数y＝﹣x+b（b为常数），下列说法中正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．其图象一定过第一、三象限

C．当b＝2时，其图象与坐标轴围成的图形的面积为2 D．其图象与直线y＝3﹣x的交点在第四象限

【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否

正确，从而可以解答本题．

解：∵一次函数y＝﹣x+b（b为常数），k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意； 其图象一定过第二、四象限，故选项B错误，不符合题意；

当b＝2时，y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，故其图象与坐标轴围成的图形的面积为：×2×2＝2，故选项C正确，符合题意；

当b≠﹣3时，其图象与直线y＝3﹣x的图象互相平行，没有交点；当b＝﹣3时，其图象与直线y＝3﹣x的图象完全重合，故选项D错误，不符合题意； 故选：C．

8．关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（ ） A．（3，0）

B．（7，0）

C．（3，7）

D．（7，3）

【分析】关于x的方程kx+b＝3的解其实就是求当函数值为3时x的值，据此可以直接得到答案．

解：∵关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7， ∴x＝7时，y＝kx+b＝3，

∴直线y＝kx+b的图象一定过点（7，3）． 故选：D．

9．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2ABCD的面积为（ ）

，CD＝2，BC＝3，AB＝5，则四边形

A．12 B．4+12 C．2+6 D．2+10

【分析】连接AC，依据勾股定理即可得到AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可得到∠ACB＝90°，最后根据四边形ABCD的面积等于△ACD和△ABC的面积之和进行计算即可．

解：如图所示，连接AC， ∵∠D＝90°，AD＝2

，CD＝2，

∴AC＝＝＝4，

又∵BC＝3，AB＝5， ∴AC2+BC2＝25＝AB2，

∴△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝AD•CD+AC•CB＝故选：C．

+×4×3＝2

+6．

10．已知两直线y＝kx+k（k≠0）与y＝3x﹣6相交于第四象限，则k的取值范围是（ ） A．−6＜k＜0

B．﹣3＜k＜0

C．k＜−3

D．k＜−6

【分析】由题意求出y＝3x﹣6与x，y轴的交点坐标，代入y＝kx+k即可． 解：y＝3x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6， 当y＝0时，x＝2，

两直线y＝kx+k（k≠0）与y＝3x﹣6相交于第四象限， 则﹣6＝0×k+k，解得k＝﹣6， 0＝2k+k，解得k＝0， 6＜k＜0， ∴−故选：A．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11．小明从家出发向正东方向走了240m，接着向正北方向走了320m，此时小明离家 400 m．

【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出答案． 解：如图所示：由题意可得，AO＝240m，BO＝320m， 故在Rt△OAB中， AB＝

＝

＝400（m），

故此时小明离家400m． 故答案为：400．

12．一次函数y＝（k2+1）x﹣3中，y随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）． 【分析】根据题目中的函数解析式和k2+1＞0，可以得到y随x的增大如何变化． 解：一次函数y＝（k2+1）x﹣3，k2+1＞0， ∴该函数图象中，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 13．估计与

最接近的整数是 5 ．

的近似值，进而得出答案．

【分析】估算

解：因为52＝25，5.52＝30.25，而25＜30＜30.25， 所以5＜所以

＜5.5， 最接近的整数是5，

故答案为：5．

14．边长为6的等边三角形AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点B的坐标为 （3，3

） ．

【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据等边三角形三线合一定理即可求出BD与OD的长度，根据坐标特征可得点B的坐标． 解：过点A作AD⊥x轴于点D，

由等边三角形的三线合一定理可知： OD＝OA＝3，

由勾股定理可知：BD＝∴A（3，3

）．

）．

＝3，

故答案为：（3，315．已知a满足|8﹣a|+

＝a，则a的值是 73 ．

【分析】根据绝对值和算术平方根可知a≥9，从而计算得a的值． 解：∵|8﹣a|+

＝a，

∴a﹣9≥0，a≥0， ∴a≥9， ∴a﹣8+∴

＝a， ＝8，

∴a﹣9＝， ∴a＝73． 故答案为：73．

16．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为 84

【分析】过点A作AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．

解：如图，过点A作AD⊥BC于D，

设BD＝x，则CD＝14﹣x， 在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，

在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2， ∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，

132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2， 解得x＝5，

在Rt△ACD中，AD＝

＝12，

∴△ABC的面积＝BC•AD＝×14×12＝84， 故答案为：84．

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）计算：（（2）计算：（

+1）（

）×

；

．

﹣1）﹣

【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则合并，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；

（2）直接利用乘法公式以及立方根的性质化简，进而得出答案． 解：（1）原式＝（2＝＝15；

（2）原式＝5﹣1+2 ＝6．

18．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴） （1）该植物从观察时起，多少天以后停止生长？

（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长到多少厘米？

×3

﹣

）×3

【分析】（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x＝50代入进行计算即可得解． 解：（1）∵CD∥x轴，

∴从第50天开始植物的高度不变，

答：该植物从观察时起，50天以后停止长高； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵经过点A（0，6），B（30，12）， ∴

，

解得．

所以，直线AC的解析式为y＝x+6， 当x＝50时，y＝×50+6＝16cm．

答：直线AC的解析式为y＝x+6，该植物最高长16cm． 19．一次函数y＝kx+3的图象经过点（4，﹣3）． （1）求k的值；

（2）求图象与x轴的交点坐标，并写出当y＜0时，x的取值范围．

【分析】（1）根据一次函数y＝kx+3的图象经过点（4，﹣3），即可求得k的值； （2）根据（1）中k的值，可以写出该函数的解析式，然后即可得到y随x的增大如何变化，然后将y＝0代入函数解析式即可得到相应的x值，然后即可写出图象与x轴的交点坐标，并写出当y＜0时，x的取值范围．

解：（1）∵一次函数y＝kx+3的图象经过点（4，﹣3）， ∴﹣3＝4k+3， 解得k＝﹣1.5；

（2）由（1）知：k＝﹣1.5， ∴y＝﹣1.5x+3，

∴该函数图象y随x的增大而减小， ∵当y＝0时，0＝﹣1.5x+3，解得x＝2， ∴当y＜0时，x的取值范围是x＞2，

由上可得，图象与x轴的交点坐标是（2，0），当y＜0时，x的取值范围是x＞2． 20．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题． （1）求△ABC的周长；

（2）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．

【分析】（1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；

（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 解：（1）AB＝∴△ABC的周长＝

＝+8+3

，AC＝8，BC＝；

＝3

，

（2）△ABC为直角三角形， 理由：∵小方格边长为1，

∴AB2＝22+32＝13，AC2＝12+82＝65，BC2＝62+42＝62， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形． 21．已知二次根式

．

＝3，求a的值．

能够合并，求a的值，并求出这两个次根式的

（1）如果该二次根式（2）已知积．

为最简二次根式，且与

【分析】（1）根据二次根式的定义列方程求出解； （2）先化简解：（1）∵∴a+2＝9， ∴a＝7；

，根据同类二次根式定义列方程求a，再把两个二次根式相乘得出结果．＝3，

（2）∵＝，为最简二次根式与能够合并，

∴a+2＝10， ∴a＝8， ∴

×

＝5，

∴这两个次根式的积为5．

22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点（横、纵坐标都为整数的点）上．

（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）直线l过点D（1，0），且平行于y轴，作出△ABC关于直线l对称的△A2B2C2； （3）若△ABC关于直线y＝x的对称图形是△A3B3C3，直接写出点C3的坐标．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可； （3）根据轴对称变换的性质解决问题即可． 解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求； （2）如图，△A2B2C2；即为所求；

（3）若△ABC关于直线y＝x的对称图形是△A3B3C3， ∵C（﹣3，2）， ∴C3（2，﹣3）．

23．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）请利用一次函数的知识说明：该商店购进A型多少台才能使销售利润最大，最大利润是多少？

（3）若限定该商店购进B型电脑数量不少于50台，则这100台电脑的销售总利润能否为12800元？若能，求出购进A型的数量，若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；

（2）根据该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．可以求得x的取值范围，再根据（1）中的结果，一次函数的性质，即可解答本题；

（3）根据一次函数的性质和x的取值范围，可以解答本题． 解：（1）由题意可得，

y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000， 即y与x的函数关系是y＝﹣20x+14000；

（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍， ∴100﹣x≤3x， 解得，x≥25， ∵y＝﹣20x+14000， ∴y随x的增大而减小，

∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝13500，100﹣x＝75，

答：该商店购进A型、B型电脑分别为25台、75台时，才能使销售利润最大，最大利润是13500元；

（3）由（2）知，x≥25，

∵该商店购进B型电脑数量不少于50台， ∴100﹣x≥50， ∴x≤50， ∴25≤x≤50，

∵y＝﹣20x+14000，限定该商店最多购进A型电脑50台， ∴当x＝50时，y取得最小值，此时y＝﹣20×50+14000＝13000， ∵13000＞12800，

∴限定该商店购进B型电脑数量不少于50台，则这100台电脑的销售总利润能为12800元．

∵12800＝﹣20x+14000， ∴x＝60，

则购进A型的数量为60台． 24．观察下列各式及其验证过程 ①②

，验证：，验证：

；

．

的变形结果并进行验证．

（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想

（2）针对上述各式反映的规律，写出用m（m为自然数，且m≥2）表示的等式并证明．（3）模仿上述验算过程的方法，对

进行验证；并针对等式反映的规律，直

接写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式． 【分析】（1）仿照所给的例子进行求解即可； （2）对所给的例子进行分析，并总结出规律即可； （3）仿照所给的例子进行求解，不难得出结果． 解：（1）

，

验证：

（2）∵5＝22+1，10＝32+1，26＝52+1， ∴

，

；

证明：；

（3）∵8＝32﹣1， ∴

．

，

25．如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（10，8），动点D的坐标为（a﹣1，2a﹣6），E是线段AB上的一动点．

（1）若点D恰好落在BC边上，求点D的坐标．

（2）点C，D，E能否构成以点D为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出此时a的值；若不能，请说明理由．

（3）连接OD，求线段OD的最小值．

【分析】（1）利用矩形的性质判断出点D的纵坐标为8，构建方程求出a即可； （2）分两种情形：如图，当点D在CE下方时，过点D作PQ⊥y轴，分别交y轴和直P．线BC于点Q、证明△PDE≌△QCD（AAS），推出PD＝QC，构建方程求出a即可．当点Q在线段CE上方时，同法可求；

（3）求出点D的运动轨迹，利用垂线段最短，解决问题． 解：（1）∵B（10，8），点D（a﹣1，2a﹣6）在BC边上，

∴2a﹣6＝8， ∴a＝7， ∴D（6，8）；

（2）如图，当点D在CE下方时，

过点D作PQ⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点Q、P． ∵∠DPE＝∠CQD＝∠CDE＝90°，

∴∠CDQ+∠PDE＝90°，∠CDQ+∠QCD＝90°， ∴∠PDE＝∠QCD， 在△PDE和△QCD中，

，

∴△PDE≌△QCD（AAS），

∴PD＝QC，即10﹣（a﹣1）＝8﹣（2a﹣6）， 解得a＝3；

当点Q在线段CE上方时，

过点D′作P′Q′⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点Q′、P′， 同法可证，P′D′＝CQ′＝QF，即10﹣（a﹣1）＝2a﹣6﹣8， 解得a＝

；

；

综上可知，C、D、E可以构成以点D为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为3或

（3）∵动点D的坐标为（a﹣1，2a﹣6）， ∴点D在直线y＝2x﹣4上运动，

∴直线y＝2x﹣4交x轴于M（2，0），交y轴于点N（0，﹣4），如图，

当OD⊥MN时，OD的值最小， ∵OM＝2，ON＝4， ∴MN＝

＝

＝2

，

∵S△OMN＝•OM•ON＝•MN•OD， ∴OD＝

＝

， ．

∴OD的最小值为