指数函数及其性质常见题型

题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域

1、 含指数函数的复合函数的定义域

（1） 由于指数函数yaa0,且a1的定义域是R，所以函数yaxfx的定义域与fx的定义域相同.

（2） 对于函数yfaa0,且a1的定义域，关键是找出taxfxx的值域哪些部分yft的定义域中.

2、 含指数函数的复合函数的定义域 （1） 在求形如yata0,且a1的函数值域时，先求得fx的值域（即tfx中t的范围），再根

fxt据ya的单调性列出指数不等式，得出a的范围，即ya的值域.

（2） 在求形如yfaa0,且a1的函数值域时，易知axx0（或根据yfax对x限定的更加具

体的范围列指数不等式，得出a的具体范围），然后再t0,上，求yft的值域即可.

x【例】求下列函数的定义域和值域.

…

1x1（1）y0.4

； （2）y35x1； （3）y1ax.

题型二：利用指数函数的单调性解指数不等式

解题步骤：（1）利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式. （2）afxagxfxgx,a1

fxgx,0a121【例】（1）解不等式2

)

3x12； （2）已知ax3x1ax6a0,a1，求x的取值范围.

题型三：指数函数的最值问题

解题思路：指数函数在定义域R上是单调函数，因此在R的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值.需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论. 【例】函数fxaa0,a1在1,2上的最大值比最小值大

xa，求a的值. 2

~

题型四：与指数函数有关的单调性

1、研究形如yafxa0,且a1的函数的单调性时，有如下结论：

fx（1）当a1时，函数ya的单调性与fx的单调性相同；

fx（2）当0a1时，函数ya2、研究形如yax的单调性与fx的单调性相反.

a0,且a1的函数的单调性时，有如下结论：

的单调性与yt的单调性相同；

x（1）当a1时，函数ya/

（2）当0a1时，函数ya的单调性与yt的单调性相反.

x2

注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域. 【例】1.已知a0,且a1，讨论fxax

3x2的单调性.

`

2.求下列函数的单调区间. （1）ya

、

x22x3； （2）y1

0.2x1

题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用

虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明.

1a为奇函数，则a的值为 . x311xR是奇函数，则实数a的值为 . 2. 已知函数fxa12x113. 已知函数fxxa0,a1，判断函数fx的奇偶性.

a12【例】1. 已知函数fx

，

题型六：图像变换的应用

1、平移变换：若已知ya的图像，

xxb（1）把ya的图像向左平移b个单位，则得到ya的图像；

xxbx（2）把ya的图像向右平移b个单位，则得到yax的图像；

（3）把ya的图像向上平移b个单位，可得到yab的图像； （4）把ya的图像向下平移b个单位，则得到yab的图像. 2、对称变换：若已知ya的图像，

@

xxxx

xx（1）函数ya的图像与ya的图像关于y轴对称；

xx（2）函数ya的图像与ya的图像关于x轴对称； （3）函数ya的图像与yaxx的图像关于坐标原点对称.

x【例】1. 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y2的图像经过怎样的变换得到的.

①y2

2. 函数yxa与yaxx1；②y21；③y2；④y2x1；⑤y2；⑥y2xxxx

a0,且a1的图像可能是（ ）

A B C D

3.若直线y2a与函数yax11a0,且a1的图像有两个公共点，则a的取值范围是 .