高考数学三垂线定理专题(附答案)

高考数学三垂线定理专题（附答案）

一、单选题

1.如图， 𝑁 分别是 𝐵𝐷 和 𝐴𝐸 的中点，两个正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 和 𝐴𝐷𝐸𝐹 所在平面互相垂直，设 𝑀 、那么：① 𝐴𝐷⊥𝑀𝑁 ；② 𝑀𝑁// 平面 𝐶𝐷𝐸 ；③ 𝑀𝑁//𝐶𝐸 ；④ 𝑀𝑁 、 𝐶𝐸 异面.其中不正确的序号是（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2.在正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中，E为棱CD的中点，则（ ） A. 𝐴1𝐸⊥𝐷𝐶1 B. 𝐴1𝐸⊥𝐵𝐷 C. 𝐴1𝐸⊥𝐵𝐶1 D. 𝐴1𝐸⊥𝐴𝐶

3.若一条直线a与平面α内的一条直线b所成的角为30°，则下列说法正确的是( ) A. 直线a与平面α所成的角为30° B. 直线a与平面α所成的角大于30° C. 直线a与平面α所成的角小于30° D. 直线a与平面α所成的角不超过30°

二、填空题

4.如图， 𝐴𝐵=1,𝐵𝐶=𝑎 ， 𝑃𝐴 ⊥平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，若在 𝐵𝐶 上只有一个点 𝑄 满足 𝑃𝑄⊥𝐷𝑄 ，则 𝑎 的值等于________.

5.一个几何体的正视图、侧视图都是腰长为√35 ， 底边长为4的等腰三角形，俯视图是边长为4的正方形，则其侧面积为________ ，体积为________ ．

6.P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC=a，则P到平面ABC的距离为________ 7.如图，AO⊥平面α，点O为垂足，BC⊂平面α，BC⊥OB，若∠𝐴𝐵𝑂=π ， ∠𝐶𝑂𝐵=π ， 则

4

6

cos∠BAC=________

三、解答题

8.如图，正三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 的底面边长为a，点 𝑀 在边 𝐵𝐶 上， △𝐴𝑀𝐶1 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．

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（1）求证：点M为 𝐵𝐶 边的中点； （2）求点 𝐶 到平面 𝐴𝑀𝐶1 的距离．

9.如图，在正三棱柱中，AB＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱 𝐴𝐴1 到顶点C1的最短路线与棱 𝐴𝐴1 的交点记为M，求： （Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长. （Ⅱ）该最短路线的长及

𝐴1𝑀𝐴𝑀

的值.

（Ⅲ）平面 𝐶1𝑀𝐵 与平面ABC所成二面角（锐二面角）

10.已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E为AB的中点，过E作EF∥AD，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF．

（1）若G为DF的中点，求证：EG∥面BCD； （2）若AD=2，试求多面体AD﹣BCFE体积．

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答 一、单选题

1. D 2. C 3. D 二、填空题

4. 2 5. 8√35 ；3√31 6. √6𝑎 7. √42

3

7

16

案

三、解答题

8. （1）证： ∵△𝐴𝑀𝐶1 为以点 𝑀 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴𝐴𝑀⊥𝐶1𝑀 且 𝐴𝑀=𝐶1𝑀 ，

∵ 三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 ， ∴𝐶𝐶1⊥ 底面 𝐴𝐵𝐶 ， ∴𝐶1𝑀 在底面内射影为 𝐶𝑀 ， 𝐴𝑀⊥𝐶𝑀 ， ∵ 底面 𝐴𝐵𝐶 为边长为 𝑎 的正三角形， ∴ 点 𝑀 为 𝐵𝐶 边的中点；

（2）解：由（1）知 𝐴𝑀⊥ 平面 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 ，则平面 𝐴𝑀𝐶1⊥ 平面 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 ． 在平面 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 内过点 𝐶 作 𝐶𝐻⊥𝐶1𝑀 于 𝐻 ， 且平面 𝐴𝑀𝐶1∩ 平面 𝐵𝐶𝐶1𝐵1=𝐶1𝑀 ， ∴ 𝐶𝐻⊥ 平面 𝐴𝑀𝐶1 ，

∴ 𝐶𝐻 即为 𝐶 到平面 𝐴𝑀𝐶1 的距离， 在正三角形 𝐴𝐵𝐶 内，∵ 𝐴𝐵=𝑎 ， ∴ 𝐴𝑀=√𝑎 ，则 𝐶1𝑀=√𝑎 ，

22在 𝑅𝑡△𝐶1𝐶𝑀 中， 𝐶𝑀=2 ， 则 𝐶𝐶1=√𝑎 ， 2∴ 𝐶𝐻=

𝐶𝑀·𝐶𝐶1𝐶1𝑀2

𝑎

3

3

=

√6𝑎 6

，

6

∴ 𝐶 到平面 𝐴𝑀𝐶1 的距离为 √𝑎 ．

6

9. 解： 宽为2的矩形，（Ⅰ）正三棱柱 ABC−𝐴1𝐵1𝐶1 的侧面展开图是长为6，其对角线长为 √62+22=2√10（Ⅱ）如图，将侧面 A𝐴1𝐵1𝐵 绕棱AA1, , 旋转120°使其与侧面 A𝐴1𝐶1𝐶 在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为 √𝐷𝐶2+𝐶𝐶1

2

𝐴1𝑀𝐴𝑀

=√42+22=2√5∵△DMA≅△𝐶1𝑀𝐴1 , ∴AM=𝐴1𝑀故

=1 ；（Ⅲ）连接

DB，C1B，则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线，在△DCB中，∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90° ,∴CB⊥DB ,又 𝐶1𝐶⊥ 平面 CBD由三垂线定理得 𝐶1𝐵⊥𝐷𝐵 ，∴∠𝐶1𝐵𝐶 就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），∵侧面 C𝐴1𝐵1𝐶 是正方形， ∴∠𝐶1𝐵𝐶=45° ，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°

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10. （1）证明：取DC的中点H，连接GH，BH， ∵GH∥FC，GH= 2𝐹𝐶 ，且FC=2， ∴GH=EB，且GH∥EB，

∴四边形EGHB为平行四边形，EG∥BH，BH⊂面BDC，故EG∥面BCD （2）解：∵面ADEF⊥面BEFC，

∴BE，EF，DF两两垂直，连接BF，所求的几何体分为两部分，四棱锥B﹣EFDA与三棱锥B﹣DFC，

𝑉𝐵−𝐸𝐹𝐷𝐴=3𝐵𝐸⋅𝑆𝐸𝐹𝐷𝐴=3×1×2×1=3 ， 𝑉𝐵−𝐷𝐹𝐶=3𝐴𝐷⋅𝑆△𝐷𝐹𝐶=3×2×2×1×2=3 ， ∴多面体AD﹣BCFE体积为2× 3=3 ．

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