2020_2021学年新教材高中数学模块综合测评一课时分层作业含解析新人教B版选择性必修第一册

模块综合测评(一)

(满分：150分 时间：120分钟)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )

A．1 3C．5

1B．5 7D．5

D [因为ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂7

直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0⇒k＝5．]

2．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E、F分别是AD、DC的中点，→→则EF·BA＝( )

A．1 C．3

B．－1 D．－3

1→1→→→1→→

B [如图所示，EF＝2AC，所以EF·BA＝2AC·(－AB)＝－2×2×2cos 60°＝－1，故选B．]

1

3．若A(－2,3)，B(3，－2)，C2，m三点共线，则m的值为( )

11

A．2 B．－2 C．－2 D．2 m＋21

A [由＝1，得m＝2．]

3－－2

2－3

4．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程

- 6 -

－2－3

是( )

A．2x－y－5＝0 C．x＋y－1＝0

B．2x＋y－3＝0 D．x－y－3＝0

0－－1

D [圆心C(1,0)，kPC＝＝－1，

1－2则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2， 即x－y－3＝0，故选D．]

x2y2

5．双曲线m－n＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )

3A．16 16C．3

3B．8 8D．3

A [抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)， 故双曲线的一个焦点是(1,0)， 所以m＋n＝1，且1

＝2， m

13

解得m＝4，n＝4， 3

故mn＝16．]

6．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( )

A．y2＝±4x C．y2＝4x

B．y2＝±8x D．y2＝8x

aB [由题可知抛物线的焦点坐标为4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方

a1|a||a|a

程为y＝2x－4，令x＝0，可得点A的坐标为0，－2，所以S△OAF＝2×4×2＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x．]

- 6 -

7．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )

A．6 B．622

4 3 C．6 D．3 A [如图所示：

∵B1B⊥平面ABCD，

∴∠BCB1是B1C与底面所成角， ∴∠BCB1＝60°． ∵C1C⊥底面ABCD，

∴∠CDC1是C1D与底面所成的角， ∴∠CDC1＝45°．

连接A1D，A1C1，则A1D∥B1C．

∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角． 不妨设BC＝1，则CB1＝DA1＝2， BB1＝CC1＝3＝CD， ∴C1D＝6，A1C1＝2．

1

2C1D在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝6

A1

D＝4．]

- 6 -

为

8．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ( )

6aA．6 3aC．4

3aB．6 6aD．3

a

A [建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，Ma，0，2，



B(a，a,0)，A1(a,0，a)， a→

∴DM＝a，0，2，



→→

DB＝(a，a,0)，DA1＝(a,0，a)． 设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，

ax＋a

2z＝0，

则

ax＋ay＝0，

令x＝1，则可得n＝(1，－1，－2)．

→|DA1·n||a－2a|6∴d＝|n|＝＝6a．]

6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，下面结论中正确的是( ) A．AB∥CD C．|AC|＝|BD|

B．AB⊥AD D．AC⊥BD

- 6 -

ABCD [kAB＝

12－62－12

－4－26＋4

3＝－5，

kCD＝

3＝－5．

12－22＋4

5＝3，∴kAB·kAD

且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确；又因为kAD＝＝－1，∴AB⊥AD，故B正确；

∵|AC|＝|BD|＝

6－22＋12＋42＝417， 2－62＋12＋42＝417，

∴|AC|＝|BD|．故C正确；

12＋41

又kAC＝＝4，kBD＝＝－4．

12＋42－6∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD，故D正确．]

10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )

A．1 C．3

B．2 D．4

6－2

AB [圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2,0)，半径R＝2． 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝2R＝22，

∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC＝22， |2k－0＋k|

k2＋1

≤22，解得k2≤8，可得－22≤k≤22，

即

∴结合选项，实数k的取值可以是1,2．

- 6 -

]

11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则( )

A．|BF|＝3

B．△ABF是等边三角形 C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x

BCD [因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以FA＝FB，若∠ABD＝90°可得FA＝AB，所以可得△ABF为等边三角形，所以B正确；过F作FC⊥AB交于pp3pC，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为－，所以A的横坐标为，222代入抛物线可得y2＝3p2，|yA|＝3p，

113pp△ABF的面积为93，即2(xA－xB)|yA|＝2×2＋2×3p＝93，解得：p＝3，

所以抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确；

33

焦点坐标为：2，0，所以焦点到准线的距离为：2×2＝3，所以C正确；

993

此时A点的横坐标为2，所以BF＝AF＝AB＝2＋2＝6，所以A不正确．

- 6 -

]

5＋1x2y2

12．我们把离心率为e＝2的双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)称为黄金双曲线．如图给出以下几个说法中正确的是( )

2y2

A．双曲线x－＝1是黄金双曲线

5＋1

2

B．若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线 C．若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 D．若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 ABCD [双曲线x－

2

2y25＋1

＝1中，

∵e＝

5＋1

1＋25＋1

＝2，

1

2

∴双曲线x－

2y2

＝1是黄金双曲线，故A正确； 5＋1

a2＋ac

＝a

c

b2＝ac, 则e＝a＝2

1＋e．

5＋15－1

∴e－e－1＝0，解得e＝2，或e＝2(舍)，

- 6 -

∴该双曲线是黄金双曲线，故B正确；

如图，F1，F2为左、右焦点，A1，A2为左右顶点，

B1(0，b)，B2(0，－b)，且∠F1B1A2＝90°， ∴|B1F1|2＋|B1A2|2＝|A2F1|2，即b2＋2c2＝(a＋c)2，

整理，得b2＝ac，由B知该双曲线是黄金双曲线，故C正确； 如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON＝90°， b2

∴NF2＝OF2，∴a＝c，∴b2＝ac，

由B知该双曲线是黄金双曲线，故D正确． 故选ABCD．]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为 ．

3x＋4y－2＝0，2x＋3y－2＝0 [由方程组得交点A(－2，2)，因为所求直

2x＋y＋2＝0，2

线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－3，由点斜式得所求直线方2

程为y－2＝－3(x＋2)，即2x＋3y－2＝0．]

14．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ．

2π [(数形结合法)如图，

- 6 -

圆x2＋y2－12y＋27＝0可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3． π

在Rt△OBC中可得：∠OCB＝3， 2π

∴∠ACB＝3，∴所求劣弧长为2π．]

x2y2

15．已知点F1，F2是椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝4，→→

点Q(2，2)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则PQ·PF1的最大值为 ．

94222222

[由题意可得：c＝2，2＋2＝1，a＝b＋c，解得a＝8，b＝4， 2abx2y2

所以椭圆的方程为8＋4＝1， 可得F1(－2,0)，

x2y2

设P(x，y)，由8＋4＝1，可得：x2＝8－2y2，

→→则PQ·PF1＝(2－x，2－y)(－2－x，－y)＝x2－4＋y2－2y＝－y2－2y＋4＝221

－y＋＋2＋4，当且仅当y＝－2∈[－2,2]时，

2

9→→则PQ·PF1的最大值为2．]

16．已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC中点，则直线PE与平面BCD所成角的正弦值为 ，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为 ．(第一空2分，第二空3分)

2

- 6 -

622

3 3 [连接BE，AE，过A作AO⊥底面BCD，垂足为O，连接OD，则∠ADO是直线PE与平面BCD所成角(图略)，

因三棱锥A-BCD的所有棱长均相等，设棱长为2， 22

则DO＝BO＝3BE＝3

223

4－1＝3，

AO＝

2326

＝4－

3， 3

263AO6

∴sin∠ADO＝AD＝2＝3．

∴直线PE与平面BCD所成角的正弦值为

6． 3

当Q与A重合时，直线QE与平面BCD所成角正弦值取最大值，此时直线QE与平面BCD所成角为∠AEO，AE＝4－1＝3，

∴直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为： 263AO22

sin∠AEO＝AE＝＝3．]

3

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．

- 6 -

(1)求AB边上的高CE所在直线的方程； (2)求△ABC的面积．

[解] (1)由题意可知，E为AB的中点， 1

∴E(3,2)，且kCE＝－k＝1，

AB

∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0． x－2y＋2＝0，(2)由得C(4,3)，

x－y－1＝0，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC， 1

∴S△ABC＝2|AC|·|BC|＝2．

18．(本小题满分12分)如图所示平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2,3)，C(2,1)．

(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；

(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长． [解] (1)AC的中点E(0,2)即为圆心， 11半径r＝2|AC|＝2

42＋－22＝5，

所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5．

- 6 -

(2)直线BC的斜率k＝

1－－2

3＝4，

2－－2

3

其方程为y－1＝4(x－2)，即3x－4y－2＝0．

|－8－2|

点E到直线BC的距离为d＝5＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2

5－22＝2．

19．(本小题满分12分)如图所示在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，23

AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝3AB，E是PC的中点．

求证：PD⊥平面ABE．

[证明] ∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，

∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，

23

．∵∠ABC＝60°D0，， 3，0

∴△ABC为正三角形．

11331

∴C，，0，E，，．

2244231→→1

∴AB＝(1,0,0)，AE＝，，，

442

- 6 -

∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)， →n·AB＝0，则→

AE＝0，n·

x＝0，

即131

x＋44y＋2z＝0，

令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．

323→→→

，显然PD＝n，∴PD∥n， ∵PD＝0，，－133→

∴PD⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE．

20．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，6

0)，离心率是3，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标． c6

[解] (1)因为a＝3，且c＝2， 所以a＝3，b＝a2－c2＝1，

x22

所以椭圆C的方程为3＋y＝1． (2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．

y＝t，由x2

2＋y3＝1

得x＝±31－t2，

所以圆P的半径为

31－t2．

当圆P与x轴相切时， |t|＝

331－t2，解得t＝±2．

3

所以点P的坐标是0，±．

2

- 6 -

21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC1

的中点，PA＝PD＝2，BC＝2AD＝1，CD＝3．

(1)求证：PQ⊥AB；

(2)求二面角P-QB-M的余弦值．

[解] (1)证明：在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD． 因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PQ⊥底面ABCD．

又AB⊂平面ABCD，所以PQ⊥AB．

1

(2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，Q为AD的中点， 所以四边形BCDQ为平行四边形． 因为AD⊥DC，所以AD⊥QB．

由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Q-xyz→如图所示，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，3)，C(－1，3，0)，B(0，3，0)，QB＝(0，3，0)．

因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，所以AQ⊥平面PQB， →

即QA为平面PQB的一个法向量，

- 6 -

→

且QA＝(1,0,0)．

133→

因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为－，，，所以QM＝

222133

－，，．

222

设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)， →m·QB＝0则→

m·QM＝0

3y＝0

，即133

－x＋y＋222z＝0

，

令z＝1，得x＝3，y＝0，所以m＝(3，0,1)， →QA·m3→

所以cos〈QA，m〉＝＝2．

→|QA||m|由题意，知二面角P-QB-M为锐角， 3

所以二面角P-QB-M的余弦值为2．

22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为17．

(1)求抛物线E的方程；

(2)不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB． ①求证直线l过定点；

②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．

[解] (1)圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，可得圆心C(－1,1)，半径r＝1， pp

抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F2，0，准线方程为x＝－2，

圆心C到抛物线焦点F的距离为17， 即有

p2

－1－＋1＝17， 2

- 6 -

2

解得p＝6，即抛物线方程为y2＝12x.

(2)①证明：设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)， B(x2，y2)，

2y＝12x，则， x＝my＋t

整理得：y2－12my－12t＝0， 所以y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t． 由于OA⊥OB．则x1x2＋y1y2＝0． 即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0． 整理得t2－12t＝0， 由于t≠0，解得t＝12． 故直线的方程为x＝my＋12， 直线经过定点P(12,0)．

②当CP⊥l且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值．

1kMP＝kCP＝－13， 1

则m＝13．

1

此时直线l的方程为：x＝13y＋12， 即13x－y－156＝0．

- 6 -