盐城市2020届高三年级第一学期期中考试

数学试题

(总分160分，考试时间120分钟)

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题

卡上．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题

纸的指定位置上. 1.已知集合Axx10，B[0,)，则A2B ▲ ．

2.已知角的始边为x轴的正半轴，点P(1,22)是其终边上一点，则cos的值为 ▲ ． 3.“m1”是“m2”的 ▲ 条件. （选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）

4.若向量a(1,m)，b(3,2)，a//b，则实数m的值为 ▲ ． 5.函数y1log2x的定义域为 ▲ ．

6.若函数yf(x)为奇函数，当x0时，f(x)log2(1x)，则f(7)的值为 ▲ ． 7.设Sn为等差数列an的前n项和，若S3S5且公差d0，则8.若sin()a1的值为 ▲ ． d4，则cos2的值为 ▲ ． 59.若函数f(x)sinx3cosx的图象关于直线xa对称，则|a|的最小值是 ▲ ．

2ax2x1a, x0,10.若函数f(x)x在(1,)上是增函数，则实数a的取值范围

e, x0是 ▲ ．

11.若数列an满足a1a21，a32，且数列anan1是等比数列，则数列an的前19项和的值为 ▲ ．

高三数学试卷 第 1 页 共 12 页

12.如图，在ABC中，AB3 ，AC2，AD2AB，3AE1若MNBC，则cosAAC，DMME，BNNC，

3

的值为 ▲ ．

13.在ABC中，AC1，AB2，D为BC的中点，

第12题图

CAD2BAD，则BC边的长为 ▲ ．

14.设函数f(x)2x33x2a，若对任意的实数a，总存在x0[0,2]，使得f(x0)m，则实数m的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)

若函数f(x)2sin(x)(0,0点差的绝对值为6.

（1）求函数f(x)的解析式；

求g(x)的值域.

16. (本小题满分14分)

设p:“xR,sinxa2”；q:“f(x)xxa在区间[1,1]上有零点”．

（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若pq为真命题，且pq为假命题，求实数a的取值范围．

22)的图象经过点(0,3)，且相邻的两个零

（2）若将函数f(x)的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象，当x[1,5]时，

高三数学试卷 第 2 页 共 12 页

17. (本小题满分14分)

如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB200米，BC100米，为了

便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE,DE,EF,BF,CF，道路的宽度忽略不计.考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值.

第17题图

18. (本小题满分16分)

如图，在ABC中，AB5，AC4，点D为ABC内一点，满足BDCD2，

且ABAC5DBDC0.

sinABC的值；

sinBCD （2）求边BC的长.

（1）求

第18题图

高三数学试卷 第 3 页 共 12 页

19. (本小题满分16分)

在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成一个新数列，这样的操作叫做该数列的

一次拓展. 如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，

4，3，5，2. 设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn.

（1）求P1，P2，P3；

（2）若Pn2019，求n的最小值；

（3）是否存在实数a，b，c，使得数列Sn为等比数列？若存在，求a，b，c满足

的条件；若不存在，请说明理由.

20. (本小题满分16分)

设函数f(x)e(x1)xa,a为常数.

（1）当a0时，求函数f(x)的图象在点P(0,f(0))处的切线方程； （2）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2. ① 当aZ时，求a的最小值； ② 当a1时，求x1x2的值.

高三数学试卷 第 4 页 共 12 页

x盐城市2020届高三年级第一学期期中考试

数学参

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. 1 2.

12 3. 必要不充分 4. 5. [2,) 6. 3 7. 337 2678.  9. 10.0,1 11. 1534 12. 13.

62565(,]

25 14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解：(1)

f(x)相邻的两个零点差的绝对值为6，

记f(x)2sin(x)(0,0又

2)的周期为T，则T2T6, 2，

6. ...............................................................................2分

f(x)2sin(x)(0);

62f(x)的图象经过点(0,3)，

f(0)2sin3(02)，

3， ..................................................4分 函

数

f(x)的解析式为

f(x)2sin(x). ..................................................6分 63(2)

将函数f(x)的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象,

由(1)得，f(x)2sin(x)，

63高三数学试卷 第 5 页 共 12 页

函数

g(x)的解析式为

g(x)2sin[(x3)]2sin(x)； ..............10分

6366当x[1,5]时，综

上

，

6x当

2,，则2sin(x)[3,2]. 63366x[1,5]时

，

g(x)的值域为

[3,2]. ..................................14分

16.解：(1) 则2a(sinx)max,a1； ........................... p为真命题，

4分

(2) \"pq\"为真命题，\"pq\"为假命题, 则

p,q2一真一

假. ......................................6分 若q为真命题，则axx在x[1,1]在有解， 又

yx2x,x[1,1]的值域为

1,24，

1a2 ......................................8分

4a1,① p真q假,1a或a24则

1.....................................a2或1a.4

.10分 ②

p假

q真,

a1,1a24

则

a无

解 .......................................12分

综上，实数a的取值

范围是

1[1,)(2,). ......................................14分

417.解：（法一）设ADE((0,2))，过E作EHAD于H，

EF垂直平分AD，DHDE1BC50(米)， 250(米)，EH50tan(米)， cos高三数学试卷 第 6 页 共 12 页

又

EF的中点是矩形ABCD的中心，

EF2002EH200100tan(米)，

记这5条路总长度为f()(米)， 则

f()4.........6分

50200100tan((0,))， .........................cos2即f()2001002sin((0,))，

cos2(2sin)cos(2sin)(cos)， .....................f()100cos2简

得

.............8分 化

f()1002sin1cos2，由

f()0，可得

6， ..................................10分

列表如下：  f'() f() (0,) 6 60 2001003 (，) 62 ↗  ↘ 122001003 由上表可知，当时，f()取最小值f()20010066322(米) ..................13分 答：5条

道

路

的

总

长

度

的

最

小

值

为

2001003(米). ..................................14分

（法二）过E作EHAD于H，设EHx(米)( 0x100)

1BC50(米)， 2又EF的中点是矩形ABCD的中心，EF2002x(米)；

因EF垂直平分AD，故AH在RtAEH中，AE2500x2(米)，

由对称性可得，AEDECFBF2500x2(米)；

高三数学试卷 第 7 页 共 12 页

记这5条路总长度为f(x)(米)，

f(x)42500x22002x,(0x100). ...................

............6分

f'(x)4x22500x22500x22(2x2500x2)2500x2. ................

..............8分 令

f'(x)0,解得x5033(负值

舍). ................................10分 列表如下： x (0,503) 3503 3(503，100) 3 ↗ f'(x) f(x) 由上表可知，当x ↘ 0 2001003 503时，f(x)取最小值32001003. .................................13分

答

：

5

条

道

路

的

总

长

度

的

最

小

值

为

2001003米. .................................14分

（法三）同方法二得到f(x)42500x22002x,(0x100)，以下可用判别式法. 18.解：（1）设BCa，ACb，ABc， 由ABAC5DBDC0， 所又

以54cosA522cosD0cosAcosD， ..................................2分

，，

所

即以

A,D为三角形的内角

sinAsinD， ..................................4分

高三数学试卷 第 8 页 共 12 页

在

ABC中，

absinAsinABC，所以

a4， ..................................6分 sinAsinABC同

理

a2， ...........................sinDsinBCD.......8分 所

以

42sinABCsinBCD，

sinABC2 ..................................10分

sinBCD（2）在ABC中，

b2c2a25242a241a2cosA， ..................................12分

2bc25440同

理

8a2cosD， .............................

8.....14分 由

（

1

）

可

得

41a28a2408，解得

BCa

36. ..................................16分 219.解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1325； 经第2次拓展后的项数P2549； 经

第

3

次

拓

展

后

的

项

数

P39817. ..................................3分

（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n1次拓展后增加的项数为Pn1， 所

高三数学试卷 第 9 页 共 12 页

以

Pn1Pn(Pn1)2Pn1， ...........................

.......5分

所以Pn112Pn22(Pn1)， 由

（

1

）

知

P114，所以

Pn142n12n1，

Pn2n11， ..................................7分

n1n1由Pn212019，即22018，解得n10，

n所以的最小值

10. ..................................8分

（3）设第n次拓展后数列的各项为a,a1,a2,a3,所以Snaa1a2a3为

,am,c，

amc，

因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以Sn1a(aa1)a1(a1a2)a2(a2a3)即

am(amc)c，

，

所

以

Sn12a3a13a23am2cSn13Sn(ac)， ..................................10分

所以Sn1acac3(Sn)， 22acacn1Sn(S1)3， ..............................

22....12分

又S1a(ab)b(bc)c2a3b2c， 所以Sn(bacnac， )322acac0b022为使数列Sn为等比数列，则或，

acacb0022高三数学试卷 第 10 页 共 12 页

所以，

a,b,c满足的条件为

ac0b0或

2bac0. ...................................16分 b0（说明：少一种情况扣2分）

20.解：（1）当a0时，f(x)e(x1)x，f(0)1，f(x)xe1，f(0)1， 故

所

求

切

线

的

方

程

为

xxy1(x0)，即

xy10. ...................................2分

xxx（2）①f(x)xe1，令g(x)f(x)xe1，则g(x)(x1)e，

当x1时g(x)xe10恒成立，故g(x)在(,1)上递减，

x令g(x)0得x1，故g(x)在(1,)上递增，又g()1e10，g(1)e10，21g(x)的图象在[1,)上连续不间断，所以存在唯一实数x0(,1)使得

2g(x0)0， ...................................4分

12故xx0时f(x)0，xx0时f(x)0，所以f(x)在(,x0)上递减，在(x0,)上递增，

∴fmin(x)f(x0)e0(x01)x0a，由g(x0)0得exx01， x0∴fmin(x)1a(x0...............6分

1)， ..........x0因为函数f(x)有两个不同的零点x1,x2，所以fmin(x)0，得a1(x0由x0(,1)易得1(x01)， x0131)(,1)，故整数a1, x022当a1时，f(0)f(1)0，满足题意，

故整数a的最小值为1.（也可以用零点存在性定理给出证

明） ...................................10分

高三数学试卷 第 11 页 共 12 页

注：由x0(0,1)得1(x01)(,1)，不能得到a1. x0xx②法一：当a1时，f(x)e(x1)x1，由f(x1)f(x2)得e1x11x2x21，e， x11x21两式相乘得e1得

xx2(x11)(x21)(x11)(x21)2(x1x2)，

(x11)(x21)(x11)(x21)ex1x212(x1x2)(x11)(x21)性

可

知

（※） ...................................12分 不

妨

设

x1x2，由

f(1)20及

f(x)的单调

x11x2， ...................................14分

故(x11)(x21)0， 当x1x20时（※）式成立；

当x1x20时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立； 当x1x20时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立； 综.16分

法二：当a1时，f(x)e(x1)x1，

x上，

x1x20. ..................................

不妨设

x1x2x，由

f(1)20及

f(x)的单调性可知

x11x2， ...................................12分

由f(x1)0得e1(x11)x110，

x11ex1(x11)x11x110， ...................∴f(x1)e(x11)x11x1x1eex1................14分

故函数f(x)有两个不同的零点x1,x1，又由f(x)的单调性可知f(x)有且仅有两个不同的零点x1,x2，

∴x2x1，∴x1x20. ................

高三数学试卷 第 12 页 共 12 页