高中微积分基本知识

高中微积分基本知识

第一章、 极限与连续

一、 数列的极限 1． 数列 定义：

按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 x1,,xn, 叫数列，记作xn，并把每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列

的第n项或通项 界的概念：

一个数列xn，若M0，s..t对nN*，都有xnM，则称xn是有界的： 若不论M有多大，总mN*，s..txmM，则称xn是无界的 若axnb，则a称为xn的下界，b称为xn的上界

xn有界的充要条件：xn既有上界，又有下界

2． 数列极限的概念 定义：

设xn为一个数列，a为一个常数，若对0，总N,s..t当nN时，有

xna 则称a是数列xn的极限，记作limxna或xna(n)

n数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义：

从第N1项开始，xn的所有项全部落在点a的邻域(a,a)

3． 数列极限的性质

①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系数列大小关系（nN时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形

①xx0：设f(x)在点x0处的某去心邻域内有定义，A为常数，若对0，

0，s..t当0xx0时，恒有f(x)A成立， 则称f(x)在xx0时有

极限A

记作limf(x)A或f(x)A(xx0)

xx0几何意义：对0，0，s..t当0xx0时，f(x)介于两直线yA 单侧极限：设f(x)在点x0处的右侧某邻域内有定义，A为常数，若对0，恒有f(x)A成立，称f(x)在x0处有右极限A， 0，s..t当0xx0时，

)A 记作limf(x)A或f(x0xx0xx0)f(x0)=A limf(x)A的充要条件为：f(x0垂直渐近线：当limf(x)时，xx0为f(x)在x0处的渐近线

xx0②x：设函数f(x)在xb0上有定义，A为常数，若对0，Xb,s..t当xX时，有f(x)A成立，则称f(x)在x时有极限A，记作

limf(x)A或f(x)A(x)

xlimf(x)A的充要条件为：limf(x)limf(x)A

xxx水平渐进线： 若limf(x)A或limf(x)A，则yA是f(x)的水平渐近线

xx2.函数极限的性质：

①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当0xx0时成立） 三、 极限的运算法则

1． 四则运算法则

设f(x)、g(x)的极限存在，limf(x)A,limg(x)B则 ①limf(x)g(x)AB ②lim[f(x)g(x)]AB ③limf(x)A （当B0时） g(x)B④limcf(x)cA （c为常数） ⑤lim[f(x)]kAk （k为正整数） 2． 复合运算法则

设yf[(x)]，若lim(x)a，则limf[(x)]f(a)

xx0xx0可以写成limf[(x)]f[lim(x)] （换元法基础）

xx0xx0四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则

设有三个数列xn，yn，zn，满足

ynxnzn ， limynlimzna 则limxna

nnn②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限

1sinx1①lim1 ②lim1e 或lim1xxe x0x0xxxx五、无穷大与无穷小 1．无穷小：

在自变量某个变化过程中limf(x)0，则称f(x)为x在该变化过程中的无穷小 ※ 若f(x)0，则f(x)为x在所有变化过程中的无穷小

若f(x)，则f(x)不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小

4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小

定理：limf(x)A的充要条件是f(x)A(x)，其中(x)为x在该变化中过程中的无穷小

无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)

(x),(x)，为同一变化过程中的无穷小

若limc（c0常数） 则是的同阶无穷小 （当c1时为等价无穷小） c（c0常数） 则是的k阶无穷小 k若lim若lim0 则是的高阶无穷小 sinxtanxarcsinxarctanxln(1x)ex1；

常用等价无穷小：(x0)x1cosxx2；(1x)1x；ax1xlna 22．无穷大：

设函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义。若对于M0，0s..t当

0xx0时，恒有f(x)M

称f(x)当xx0时为无穷大，记作limf(x)

xx01无穷大为无穷小limf(x)定理：limf(x)  （下：趋于某点，去心邻域不为0）

1无穷小为无穷大limf(x)※ 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定

六、连续函数 1．定义

设函数yf(x)在x0某邻域有定义，若对0，0s..t当0xx0时，恒有： f(x)f(x0)

也可记作 limf(x)f(x0) 或 limy0

xx0x0f(x0)f(x0)（或f(x0)f(x0)）为左（或右）连续

2．函数的间断点

左右极限相等，该处无定义可去间断点第一类间断点：左右极限存在

左右极限不等跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等

3.连续函数的运算

若函数f(x)与g(x)都在x处连续，则函数

f(x)g(x)，f(x)g(x)，

f(x) （g(x)0） g(x)定理：yf[g(x)]，g(x0)u0，若g(x)在x0处连续，f(g)在u0处连续，则

yf[g(x)]在x0处连续

4． 闭区间连续函数的性质

① 最值定理：f(x)在[a,b]上连续， 则x1,x2，对一切x[a,b]有 f(x1)f(x)f(x2)

②介值定理：f(x)在[a,b]上连续，对于f(a)与f(b)之间的任何数u，至少一点，

s..tf()u

第二章、 导数

一、导数的概念

定义：设函数yf(x)在点x0的某邻域有定义，如果极限 limx0f(x0x)f(x0) 存在，则称函数yf(x)在点

xx0可导，极限值为函数yf(x)在点x0处的导数，记为f'(x0)

单侧导数：设函数yf(x)在点x0处的左侧(x0,x0]有定义，若极限 limx0f(x0x)f(x0) 存在，则称此极限为函数

xyf(x)在点x0处的左导数，记为f'(x0)，类似有右导数f'(x0)

导函数：函数yf(x)在某区间上可导，则 f'(x)limx0f(xx)f(x)

x性质：①函数yf(x)在点x0处可导的充要条件f'(x0)f'(x0) ②可导连续

导数的几何意义： 函数点处的切线斜率 二、求导法则

1．函数的和、差、积、商的求导法则

定理：若uu(x),vv(x)都在x处可导，则函数u(x)v(x)在x处也可导，且 [u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)

定理：若uu(x),vv(x)都在x处可导，则函数u(x)v(x)在x处也可导，且 [u(x)v(x)]'u'vuv'

推论：若u1,,un都在x处可导，则函数u1u2un]'u1'u2un在x处也可导，且 unu1u2'un

[u1u2'unu1u2定理：若uu(x),vv(x)都在x处可导，则函数

u(x)在x处也可导，且 v(x)u(x)u'vuv'  v2v(x)2．反函数的求导法则

定理：设函数xg(y)在Iy上单调可导，它的值域为Ix，而g'(y)0，则其反函数

'yg1(x)f(x)在区间Ix上可导，并且有

f'(x)4． 复合函数的求导法则

定理：若函数u(x)在x0可导，函数yf(u)在点u0(x0)可导，则复合函数

1 g'(x)yf((x))在x0处可导

[f((x))]'f'((x))'(x) 或 三、高阶导数

定义：若函数yf(x)的导数y'f'(x)仍可导，则y'f'(x)导数为yf(x)的二

dydydu （连锁规则） dxdudxd2ydny(n)(n)阶导数，记作y,f(x),2， 类似的，有n阶导数y,f(x),n

dxdx\"\"四、隐函数求导

对于F[x,y(x)]0,或F[x,y(x)]G[x,y(x)]，若求求导法：方程两侧对x求导

微分法：方程两侧求微分

dy dxFx'dy公式法：' ，将方程化成F[x,y]=0，将F看成关于x,y的二元函数，分

dxFy别对x,y求偏导Fx',Fy' 五、参数方程所确定的函数求导

x(t)dydydtdydx'(t)yt' ，/'' dxdtdxdtdt(t)xty(t)导数公式 基本函数： C'0 (x)'x1 x'(a)axlna

1

(logax)' xlna (sinx)'cosx

(cosx)'sinx

(cotx)'csc2x (secx)'secxtanx

导数运算法则:

(cscx)'cscxcotx(arcsinx)'11x211x2(arccosx)'(arctanx)'11x211x2(arccotx)'(uv)'u'v' (Cu)'Cu'

u'u'vuv'(uv)uvuv () 2vv'''(uv)(n)u(n)v(n) (uv)(n)k(nk)(k)Cnuv k0n高阶导数

[Cf(axb)](n)Canf(n)(axb) (xn)(m)1mnmAnx,(nN*)若mn,则0 x(n)(1)nn! n1x(ax)(n)axlnna (logax)(n)(1)n1(sinx)(n)sin(xn) (cosx)(n)2(n1)! nxlnancos(x)

2※1.o(xn1)o(x)xn 2.lim

f(x)f(x0)f'(x0)，需补充条件f(x)在x0处可导或该极限存在

xx0x0第三章、微分

一、微分的概念

定义：设函数yf(x)在某区间I上有定义，x0,x0xI，若

yf(x0x)f(x0)可表示为

yAxo(x) （其中A与x无关） ，则称Ax为y在x0处的微分，记作dyAx ※dy与y的区别： 当y为自变量时，dyy

当y为因变量时，dyy，ydyo(x)，dy为y的线性主部 定理：对于一元函数yf(x)，可导可微

性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分dnyf(n)(x)(dx)n 二、微分的几何意义 “以直代曲” 三、微分中值定理 中值定理 条件 ①[a,b]上连续,②(a,b)上可 Rolle 导,③f(a)f(b) ①[a,b]上连续, ②(a,b)上Lagrange 可导 ①[a,b]上连续, ②(a,b)上 Cauchy 可导，③g'(x)0 ①有限增量定理：yf'(xx)x (01) ②L,Hospital法则：

至少存在一点结论 f'()0  f(b)f(a)f'() ba ，使得f(b)f(a)f'() g(b)g(a)g'() 0型未定式定值法：f(x),g(x)在x0的某去心邻域有定义，且0xx0xx0limf(x)limg(x)0，f(x),g(x)在x0的某去心邻域可导，且g'(x)0

f'(x)f(x)f'(x)limA，则有limlim' xx0g'(x)xx0g(x)xx0g(x)，0，1，，00，0类似 

四、函数的单调性与极值 1.单调性：

定理：设函数yf(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则

导数符号 原函数单调性 f'(x)0 f'(x)0 2.极值

定义：设函数yf(x)在点x0某邻域有定义，若对该邻域内一切x都有 f(x0)f(x)

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0为函数f(x)的一个极大值点。（极小值类似） 函数取得极值的一阶充分条件

函数yf(x)在点x0去心邻域可导，且在x0处可导或导数不存在，则： ①当xx0时，f'(x)0，xx0时，f'(x)0，则f(x0)是极大值 ②当xx0时，f'(x)0，xx0时，f'(x)0，则f(x0)是极小值 ③无论xx0还是xx0，总有f'(x)0（或f'(x)0），则f(x0)不是极值 函数取得极值的二阶充分条件

函数yf(x)在点x0处具有二阶导数，且f'(x0)0，f\"(x0)0，则

\"①若f(x0)0，则f(x0)是极小值

②若f\"(x0)0，则f(x0)是极大值

第四章、不定积分

一、不定积分的概念和性质 1.原函数与不定积分

原函数：设f(x)在I上有定义，若对xI，都有

F'(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx

则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数

原函数存在定理：若函数f(x)在I上连续，则在I上可导函数F(x)，s..t对xI，

都有F'(x)f(x)。即连续函数一定有原函数

不定积分：设F(x)使f(x)的一个原函数，C为任意常数，称F(x)C为f(x)的不

定积分，记作

f(x)dxF(x)C

几何意义：积分曲线族 2.不定积分的性质：

①积分运算与微分运算为互逆运算 ②[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx ③kf(x)dxkf(x)dx k0 二、换元积分法

1.第一类换元积分法

定理：设f(u)有原函数，且u(x)具有连续导数，则f[(x)]'(x)有原函数

2.第二类换元积分法

f[(x)]'(x)dxf(u)du

定理：设f(x)连续，x(t)具有连续导数，且'(t)0，则

f(x)dxf[(t)](t)dt，其中t三、分部积分法

''uvdxuvuvdx

'1(x)

四、有理函数的积分 1.简单有理函数的积分 ①将真分式

P(x)分解为部分分式之和 Q(x)对于Q(x)(xa)k形式：应分解成k个部分分式对

于

A1A2,xa(xa)2成

Ak k(xa)部

分

分

式

Q(x)(x2pxq)l：应分解l个

C1xD1C2xD2,x2pxq(x2pxq)2②求4种积分

ClxDl 2l(xpxq)1CxDCxD1dxdx，，，dxx2pxq(x2pxq)ldx (xa)kxa4qp2CxDpdxa其中，对于2，可令， tx(xpxq)l442则CxD1dx(t2a2)ldt，再利用递推法 (x2pxq)l2.三角函数有理式的积分

2usinxx21u2万能变换：tanu， ，dxdu 2221ucosx1u1u2其他方法：

一、

形式 换元 f(sinx,cosx)f(sinx,cosx) f(sinx,cosx)f(sinx,cosx) tcosx tsinx f(sinx,cosx)f(sinx,cosx) ttanx 二、tannxdx与cotnxdx nN* 对于tannxdx令ttanx 对于cotnxdx令tcotx

三、secnxdx与cscnxdx n为偶数 对于secnxdx令ttanx

对于cscnxdx令tcotx 四、sinmxcosnxdx

当n,m至少有一个为奇数时，可利用sin2xcos2x1将其转化 当n,m均为偶数时，利用2倍角转化

a1sinxb1cosxdx

asinxbcosx令(a1sinxb1cosx)A(asinxbcosx)B(acosxbsinx) 解出A,B

五、分子分母原函数为AxBln|asinxbcosx|C

分母积分表

n xkdxkxCdx1n11xC (n1) dxlnxC n1xaxadxlnaC sinxdxcosxC cosxdxsinxC

xtanxdxlncosxC cotxdxlnsinxC secxdxlnsecxtanxC

22 cscxdxlncscxcotxCsecxtanxCcscxdxcotxC secxtanxdxsecxC cscxcotxdxcotxC 111x dxarctanxCdxarctanC1x2x2a2aa11x2dxarcsinxC

11xadxlnC x2a22axa1a2x2dxarcsinx1C dxln22axax2a2xC

第五章、定积分

一、定积分的定义

定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]内任意插入n-1个分点

ax0x1xn1xnb

把[a,b]分成n个小区间，[xi1,xi](i1,2,,n).记xixixi1，在第i个区间上

任取一点i，用f(i)乘上区间长度xi，即f(i)xi，并作和f(i)xi.

i1n记maxx1,x2,n,xn，无论怎么分割，无论怎么取i，若0时，

bf()x趋于同一极限，则称此极限为f(x)在[a,b]上的定积分.记作iii1af(x)dx

可积定理：

①函数f(x)在[a,b]上连续

baf(x)dxlimf(i)xi

0i1n②函数f(x)在[a,b]上有界，且仅有有限个第一类间断点 ③函数f(x)在[a,b]上单调有界 二、定积分的性质

①kf(x)dxkf(x)dx ②[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

aaaaabbbbb③区间可加性f(x)dxf(x)dxf(x)dx

aacbcb④Cdx(ba)C ⑤单调性:若[a,b]上f(x)g(x)则f(x)dxg(x)dx

aaabbb⑥

baf(x)dxf(x)dx

ab⑦估值性质：设M，m分别为f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，则

m(ba)f(x)dxM(ba)

ab⑧定积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点,s..t

⑨f(x)在[a,b]上的平均值为⑩若f(x)为奇函数，0abaf(x)dxf()(ba)

1bf(x)dx abaaaa0af(x)dx0；若为偶函数f(x)dx2f(x)dx

0⑾2f(sinx)dx2f(cosx)dx xf(sinx)dx020f(sinx)dx

nTTf(x)为周期函数，Taaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx 0f(x)dxnf(x)dx

0三、微积分学基本定理 1.变上限函数

(x)f(t)dt x[a,b]

ax定理：若f(x)在[a,b]上连续，则变上限函数可导，'(x)f(x)

2.原函数存在定理

若f(x)在[a,b]上连续，则函数(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数 3.Newton-Leibniz公式

（微积分基本定理）f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上一个原函数

则f(x)dxF(b)F(a)

ab※若不满足连续条件，可分段积分 四、定积分换元法

定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，函数x(t)满足： ①(t)在[,]上单调，值域为[a,b]，()a,()b ②(t)在[,]上具有连续导数

则有:f(x)dx'(t)f[(t)]dt

ab五、定积分的分部积分法 类似不定积分 六、广义积分

1.无穷区间上的广义积分

设函数f(x)在[a,]上连续，任取ba，若极限

balimbf(x)dx 存在

则称此极限为函数在无穷区间[a,]上的广义积分，记作af(x)dx

af(x)dxlimbabf(x)dx

类似定义f(x)在[,a]上的广义积分

对于

f(x)dx，令f(x)dxcf(x)dxcf(x)dx，c为常数

2．无界函数的广义积分

设函数f(x)在(a,b]上连续，而limf(x)，取0，如果极限 xa0limbaf(x)dx 存在

b则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，记作f(x)dx

abaf(x)dxlim0baf(x)dx

类似可定义b为无穷间断点时的广义积分 3.函数

含参变量s(s0)的广义积分

(s)称为函数 性质：

①(s1)s(s) (n1)n! ②当x0，(s) ③余元公式：(s)(1s)20xs1exdx

 (0s1) sins2④令xu，令2s1t 得 uteudu011t() (t1) 22七、定积分的应用

1.求面积 2.求体积

①旋转体：旋转轴为yy1，V[f(x)y1]dx

ab2②平行截面面积为已知的立体体积：平行截面是x的函数A(x)，VA(x)dx

ab3.求弧长

①对于yf(x)，sba1y'2dx

x(t)②参数方程 t ，sxt'2yt'2dt

y(t)xr()cos③极坐标  ，sr2()r'2()d

yr()sin※f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数；f(x)为偶函数，则F(x)中仅f(t)dt为奇函

0x数

F(x)为周期函数，则f(x)为周期函数；f(x)为周期函数，且f(x)dx0则F(x)0T为周期函数