2015年高考新课标全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1z（1）【2015年新课标全国Ⅰ，理1】设复数z满足i，则（ ）

1z（A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】A

1z1i1i1i【解析】由i，故z1，故选A． i得z1i1z1i1i（2）【2015年新课标全国Ⅰ，理2】sin20cos10cos160sin10（ ）

（A）【答案】D

1【解析】原式sin20cos10cos20sin10sin30，故选D．

2（3）【2015年新课标全国Ⅰ，理3】设命题P：nN，n22n，则P为（ ）

（A）nN，n22n （B）nN，n22n （C）nN，n22n （D）nN，n22n 【答案】C

【解析】P：nN，n22n，故选C． （4）【2015年新课标全国Ⅰ，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投

篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互，则该同学通过测试的概率为（ ） （A）0.8 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【答案】A

【解析】根据重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C320.620.40.630.8，故选A．

3311 （B） （C） （D）

2222x2（5）【2015年新课标全国Ⅰ，理5】已知Mx0,y0是双曲线C：y21上的一点，F1、F2是C上的两个焦

2点，若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是（ ） 222223233333,,, （A） （B） （C） （D）33663,3 33【答案】A

x02y021，所以MF1•MF23x0,y0•3x0,y0 【解析】由题知F13,0，F23,0且233222x0y033y010，解得，故选A． y033（6）【2015年新课标全国Ⅰ，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书

中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 【答案】B

21161132016【解析】设圆锥底面半径为r，则23r8，得r．所以米堆的体积为35，故堆

4394331

3201.6222，故选B． 9（7）【2015年新课标全国Ⅰ，理7】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（ ）

14144141（A）ADABAC（B）ADABAC（C）ADABAC （D）ADABAC

33333333

【答案】A

1114【解析】由题知ADACCDACBCACACABABAC，故选A．

3333（8）【2015年新课标全国Ⅰ，理8】函数f(x)cos(x)的部分图像

如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）

1313（A）(k,k),kZ （B）(2k,2k),kZ

44441313（C）(k,k),kZ （D）(2k,2k),kZ

4444【答案】D

12 ，取得，所以【解析】由五点作图知4fxcosx，

45342放的米约为

令2kx442k,kZ，解得2kx2k,kZ，故单调减区

4143413间为2k,2k，kZ，故选D．

（9）【2015年新课标全国Ⅰ，理9】执行右面的程序框图，如果输入的t0.01，

则输出的n（ ）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【答案】C

【解析】执行第1次，t0.01,S1,n0,m0.5,SSm0.5,

mm20.25,n1,S0.5t0.01，是，循环；

执行第2次，SSm0.25,mm20.125,n2, S0.25t0.01，是，循环；

执行第3次，SSm0.125,mm20.0625,n3, S0.125t0.01，是，循环；

执行第4次，SSm0.0625,mm20.03125,n4,S0.0625t0.01，是，循环； 执行第5次，SSm0.03125,mm20.015625,n5,S0.03125t0.01，是，循环； 执行第6次，SSm0.015625,mm20.0078125,n6,S0.015625t0.01，是，循环；

SSm0.0078125,mm20.00390625,n7,S0.0078125t0.01，执行第7次，否，输出n7，

故选C．

（10）【2015年新课标全国Ⅰ，理10】(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为（ ） （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 【答案】C

【解析】在x2xy的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x，其余因

512C230，故选C． 式取y，故x5y2的系数为C52C3（11）【2015年新课标全国Ⅰ，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组

成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 1620，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】B

2

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高

1为2r，其表面积为4r2r2rr22r2r5r24r21620，解得r2故选B．

2（12）【2015年新课标全国Ⅰ，理12】设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是（ ）

333333（A）[,1) （B）[,) （C）[,) （D）[,1)

2e2e42e42e【答案】D

【解析】设g(x)ex(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使

得g(x0)在直线yaxa的下方．因为g(x)ex(2x1)，所以

1111当x时，g(x)0，当x时，g(x)0；当x时，g(x)max2e2．当x0时，

222g(0)1，g(1)3e0，直线yaxa恒过点1,0且斜率为a，故ag(0)1，且

g(1)3e1aa，解得

3a1，故选D． 2e第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）【2015年新课标全国Ⅰ，理13】若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a ． 【答案】1

【解析】由题知ylnxax2是奇函数，所以lnxax2lnxax2lnax2x lna0，解得a1．



x2y2（14）【2015年新课标全国Ⅰ，理14】一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准

1方程为 ． 【答案】x3252y 2422223325【解析】设圆心为a,0，则半径为4a，则4aa2，解得a，故圆的方程为xy2．

242x10,y（15）【2015年新课标全国Ⅰ，理15】若x,y满足约束条件xy0,则的最大值

xxy40,2为 ． 【答案】3

y是可行域内一点与原点连 xy线的斜率，由图可知，点A1,3与原点连线的斜率最大，故的最大值为3．

x（16）【2015年新课标全国Ⅰ，理16】在平面四边形ABCD中，ABC75，

BC2，则AB的取值范围是 ．

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，【答案】

62,62

【解析】如图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在ADE中，DAE105，

1262ADE45，E30，所以设AD，AEx，DEx，

2423

CDm，因为BC2，所以所以0x4，而AB所以AB的取值范围是

62xmsin151462xm62， 4622622xmxxm62x， 424262,62．

 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）【2015年新课标全国Ⅰ，理17】（本小题满分12分）Sn为数列an的前n项和，已知an0，

an2an4Sn3

（Ⅰ）求an的通项公式， （Ⅱ）设bn1 ,求数列bn的前n项和． anan1解：（Ⅰ）由an22an4Sn3，可知an122an14Sn13，

可得an12an22an1an4an1，即2an1anan12an2an1anan1an 由于an0，可得an1an2．又a122a14a13，解得a11（舍去），a13 所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1． （Ⅱ）由an2n1可知，bn11111． anan1(2n1)(2n3)22n12n3 ……6分

设数列bn的前n项和为Tn，则

1n1 2n12n33(2n3)（18）【2015年新课标全国Ⅰ，理18】（本小题满分12分）如图， 四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧

的两点，AEEC． BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，（Ⅰ）证明：平面ACE平面AFC．

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值． 解：（Ⅰ）连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF．

在菱形ABCD中，不妨设GB1，

Tnb1b2bn1111123557……12分

由ABC120，可得AGGC3．

由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC． 又AEEC，所以EG3，且EGAC．

2在RtEBG中，可得BE2，故DF．

26在RtFDG中，可得FG．

2232，可得EF． 22从而EG2FG2EF2，所以EGFG，又ACFGG，可得EG平面AFC． 因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC． ……6分

在直角梯形BDFE中，由BD2，BE2，DF（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB， GC方向为x轴，y轴正方向，GB为单位长，建立空间直角

2F1,0,坐标系Gxyz．由（Ⅰ）可得A0,3,0，E1,0,2， ，C0,3,0． 221,3,所以AE1,3,2，CF ……10分 ． 24

故cosAE,CFAE•CFAECF33，所以直线AE与直线CF所成角余弦值为． ……12分 33（19）【2015年新课标全国Ⅰ，理19】（本小题满分12分）某公司为确定下一

年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传

费x1和年销售量y1i1,2,一些统计量的值．

x ,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及

y w xx111x 2ww1x112 xx111xyy 1469 wwyy 1x1146．6 56．3 6．8 表中w1x1，w2．8 1．6 108．8 11w1． 8x1（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类

型?（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据u1,v1，u2,v2……．． un,vn，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分

ˆ别为：ui1nniuviviui1u2ˆu． ˆv，解：（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．……2分 （Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程．由于dwwyii18iy2i18wiw108.868， 1.6cydw563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为y100.668w，

因此y关于w的线性回归方程为y100.668x． 年利润z的预报值z0.2576.64966.32．

……6分 ……9分

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x49时，年销售量y的预报值y100.66849576.6，

（ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值z0.2100.668xxx13.6x20.12． 13.66.8，即x46.24时，z取得最大值． 2故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．

所以当x ……12分

x2（20）【2015年新课标全国Ⅰ，理20】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C:y与直线

4ykxaa0交与M，N两点，

（Ⅰ）当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由． 解：（Ⅰ）由题设可得M2a,a，N2a,a，或M2a,a，N2a,a．

5

xx2又y，故y在x2a处的导数值为a．

42C在点2a,a处的切线方程为yaax2a，即axya0．

故所求切线方程为axya0和axya0． ……5分

（Ⅱ）存在符合题意的点．证明如下：

设P0,b为符合题意的点，Mx1,y1，Nx2,y2，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．

将ykxa代入C的方程得x24kx4a0．故x1x24k， x1x24a．

y1by2b2kx1x2abx1x2kab．当ba时，有k1k20， x1x2x1x2a则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点P0,a符合题意．……12分

从而k1k21（21）【2015年新课标全国Ⅰ，理21】（本小题满分12分）已知函数fxx3ax,g(x)lnx．

4（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；

（Ⅱ）用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0)，讨论hx零点的个数． 解：（Ⅰ）设曲线yf(x)与x轴相切于点x0,0，则f(x0)0，f(x0)0，代入可解得x013，a． 因

423此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线． ……5分

4（Ⅱ）当x1,时，g(x)lnx0，从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0，故h(x)在1,无零点．

55当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1),g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若

4455a，则f(1)a0．h(1)minf(1),g(1)f(1)0，故x1不是h(x)的零点．

44当x0,1时，g(x)lnx0，所以只需考虑f(x)在0,1的零点个数．

2（i）若a3或a0，则f故f(x)在0,1单调．而f(0)(x)3xa在0,1无零点，

15，f(1)a，44所以当a3时，f(x)在0,1有一个零点；当a0时，f(x)在0,1无零点．

aaa0,,1x（ii）若3a0，则f(x)在单调递减，在单调递增，故在中，当 时，0,13333a2aa1af0f(x)取得最小值，最小值为f．①若，即a0，f(x)在0,133343433aa0f0f(x)无零点．②若f，即，在有唯一零点．③，即，a3a0,1334415535由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在0,1有两个零点；当3a时，

44444f(x)在0,1有一个零点．

35353综上，当a或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a

444445或a时，h(x)有三个零点． ……12分

4请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）【2015年新课标全国Ⅰ，理22】（本题满分10分）（选修4-1：几何证明选讲）如图

AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E． （Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；

（Ⅱ）若OA3CE，求ACB的大小．

6

解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AEBC，ACAB．

在RtAEC中由已知得DEDC，故DECDCE． 连接OE，则OEBOBE．又ACBABC90，

所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切线 ……5分 （Ⅱ）设CE1，AEx，由已知得AB23，BE12x2．

由射影定理，AE2CEBE，所以x212x2，解得x3，所以ACB60． ……10分

（23）【2015年新课标全国Ⅰ，理23】（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）直角坐标系xOy中．直

线C1:x2，圆C2：x1y21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；

22R，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积．

4解：（Ⅰ）因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，

（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为C2的极坐标方程为22cos4sin40． ……5分

（Ⅱ）将代入22cos4sin40，得23240，解得122，22．

41故122，即MN2．由C2半径为1，所以C2MN的面积为． ……10分

2（24）【2015年新课标全国Ⅰ，理24】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数fxx12xa，

a0．

（Ⅰ）当a1时，求不等式fx1的解集；

（Ⅱ）若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 解：（Ⅰ）当a1时，f(x)1化为x12x110．

当x1，不等式化为x40，无解；当1x1时，不等式化为3x20，解得

2x1； 32当x1时，不等式化为x20，解得1x2．所以f(x)1解集为x,2． ……5分

3x12a,x1（Ⅱ）由题设可得f(x)3x12a,1xa，所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别

x12a,xa222a1为A,0，B2a1,0，Ca,a1，ABC的面积为a1．

3322由题设得a16，故a2．所以a的取值范围为2,．

3 ……10分

7