海门市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（ ） A．x3+2x2

B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2

，则S2015的值是（ ）

2． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+A．

B．

C．2015 D．

3． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（ ）

A．（0，1） B．（e﹣1，1） C．（0，e﹣1） D．（1，e）

4． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A．M∪N

B．M∩N C．∁IM∪∁IN

D．∁IM∩∁IN

25． 已知角的终边经过点(sin15,cos15)，则cos的值为（ ）

31313 B． C. D．0 424243xy30y16． 若x,y满足约束条件3xy30，则当取最大值时，xy的值为（ ）

x3y0A．1 B． C．3 D．3 7． 如图，棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F

A．

是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ ） A．

13322 B． C. D． 2442 B．

C．

D．

8． 过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A．

9． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

第 1 页，共 16 页

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．

22210．在ABC中，sinAsinBsinCsinBsinC，则A的取值范围是（ ）1111]

] B．[,) C. (0,] D．[,) 6633x311．设集合Ax|0,集合Bx|x2a2x2a0,若 AB,则的取值范围

x1A．(0,（ ）

A．a1 B．1a2 C.a2 D．1a2 12．已知函数f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，则a的值等于（ ） A．8

B．1

C．5

D．﹣1

二、填空题

13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为 ． 14．已知直线5x+12y+m=0与圆x﹣2x+y=0相切，则m= ．

15．在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且abcosCcsinB，则角B 为 . 16．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线l与函数

2

2

fx2x2a2x0和gx2x3a2x0均相切（其中a为常数），切点分别为Ax1,y1和

Bx2,y2，则x1x2的值为__________．

17．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：度．

= ．

：2，则这个二面角的平面角是

18．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，则

三、解答题

第 2 页，共 16 页

19．已知函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）若

20．（文科）（本小题满分12分）

的最大值； ，求函数

，．

的单调递增区间．

我国是世界上严重缺水的国家，某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟 确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分 按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）， 将数据按照0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；

（3）若该市希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．

第 3 页，共 16 页

21．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）． （1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．

22．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

第 4 页，共 16 页

23．已知{an}为等比数列，a1=1，a6=243．Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=3，S5=35． （1）求{an}和{Bn}的通项公式； （2）设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn．

24．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上的任意一点P（x，y）变换为点P′（x﹣2y，x+y）．

1

（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣；

22

（Ⅱ）求圆x+y=1在矩阵M对应的变换作用后得到的曲线C的方程．

第 5 页，共 16 页

海门市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，

323232

因为当x＞0时，f（x）=x﹣2x所以f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=﹣x﹣2x，

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），

32

所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x+2x，故选A．

2． 【答案】D

【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想验证：2Sn==

因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．

．

．

， ． ． ．

，∴

，化为

，解得a1=1．

=0，又a2＞0，解得

，

…+

=

，

=，

【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

3． 【答案】 D

【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k． 由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1， 所以f（x）=lnx+e， f′（x）=，x＞0．

∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，

第 6 页，共 16 页

令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞） 可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增， g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0， ∴x0∈（1，e），g（x0）=0，

∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e） 故选：D．

【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．

4． 【答案】D

【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M∪N={1，2，3，6，7，8}， M∩N={3}；

∁IM∪∁IN={1，2，4，5，6，7，8}； ∁IM∩∁IN={2，7，8}， 故选：D．

5． 【答案】B 【解析】

考

点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义. 6． 【答案】D 【

解

析

】

第 7 页，共 16 页

考

点：简单线性规划． 7． 【答案】B 【解析】

试题分析：在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD12，设AFx，则2x1x2，2322，即菱形BED1F的边长为2，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边44433为，高为的平行四边形，其面积为，故选B. 44解得x考点：平面图形的投影及其作法. 8． 【答案】A

【解析】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点， 直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2， 即kx﹣y﹣2=0，

22

若过点（0，﹣2）的直线l与圆x+y=1有公共点，

则圆心到直线的距离d≤1， 即解得k≤﹣即

≤α≤

≤1，即k2﹣3≥0， 或k≥且α≠

， ，

第 8 页，共 16 页

综上所述，≤α≤，

故选：A．

9． 【答案】

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则

，

，0），B（1，0，0），C（0，

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），

，0）

，设

=0， 令

， ，

，

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则则所以

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

10．【答案】C 【

解

析

】

第 9 页，共 16 页

考点：三角形中正余弦定理的运用. 11．【答案】A 【解析】

考

点：集合的包含关系的判断与应用.

【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 12．【答案】B

【解析】解：∵函数f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，令3x+2=2，解得x=0， ∴a=2×0+1=1． 故选：B．

二、填空题

13．【答案】 平行 ．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1

第 10 页，共 16 页

由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D 故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

14．【答案】8或﹣18

【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．

22

【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）++y=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切

∴圆心到直线的距离为半径 即

=1，求得m=8或﹣18

故答案为：8或﹣18 15．【答案】【

 4解

析

】

考

点：正弦定理．

【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是180，消去多余的变量，从而解出B角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.

16．【答案】

56 27第 11 页，共 16 页

【解析】

17．【答案】 75 度．

【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部

时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，

由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：

故答案为：75． 键．

：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关

第 12 页，共 16 页

18．【答案】

．

sin（x﹣，

），

【解析】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx=则

=

sin（﹣．

）=﹣

=﹣

故答案为：﹣

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】（Ⅰ）由已知

当 （Ⅱ)即函数【解析】

当

，令

的递增区间为

，即

，时，，且注意到

时，递增

20．【答案】（1）a0.3；（2）3.6万；（3）2.9.

第 13 页，共 16 页

（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：

0.50.080.160.30.40.520.7385%；

月均用水量低于3吨的频率为：

0.50.080.160.30.40.520.30.8885%；

则x2.50.50.850.730.30.52.9吨．1 考点：频率分布直方图．

21．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|

－3x＋2a2－1，x≤－1，

＝

－x＋2a2

＋1，－1＜x＜a2

， 3x－2a2

＋1，x≥a2

，

当x≤－1时，f（x）≥f（－1）＝2a2＋2， －1＜x＜a2，f（a2）＜f（x）＜f（－1）， 即a2＋1＜f（x）＜2a2＋2， 当x≥a2，f（x）≥f（a2）＝a2＋1，

所以当x＝a2时，f（x）min＝a2＋1，由题意得a2＋1＝3，∴a＝±2. （2）当a＝±2时，由（1）知f（x）＝

第 14 页，共 16 页

－3x＋3，x≤－1，

－x＋5，－1＜x＜2， 3x－3，x≥2，

由y＝f（x）与y＝m的图象知，当它们围成三角形时，m的范围为（3，6]，当m＝6时，围成的三角形面积

1

最大，此时面积为×|3－（－1）|×|6－3|＝6.

2

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.0+x）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.0×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人， ∴这2人成绩均不低于90分的概率P=

=．

【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵{an}为等比数列，a1=1，a6=243，

5

∴1×q=243，解得q=3，

∴．

∵Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=3，S5=35． ∴5×3+

d=35，解得d=2，

bn=3+（n﹣1）×2=2n+1． （Ⅱ）∵Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，

第 15 页，共 16 页

∴

①

②

①﹣②得：

，

整理得：的合理运用．

24．【答案】

【解析】解：设P′（x′，y′），依题意得：

，

．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法

∴，∴ ；

22

（Ⅱ）∵点P（x，y）在圆x+y=1上，

又，∴，

22

即得2x′+2x′y′+5y′=9，

22

∴变换作用后得到的曲线C的方程为2x+2xy+5y=9．

【点评】本题考查逆矩阵与逆变换，注意解题方法的积累，属于中档题．

第 16 页，共 16 页