高中数学指数函数教案(2)

教学目标：

使学生巩固指数函数性质的理解与掌握、并能应用；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

教学重点：

指数函数的性质的应用 教学难点：

指数函数的性质的应用 教学过程：

教学目标

(一)教学知识点 1.指数形式的函数. 2.同底数幂.

(二)能力训练要求

1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质. 2.掌握指数形式的函数求定义域、值域. 3.掌握比较同底数幂大小的方法. 4.培养学生数学应用意识. (三)德育渗透目标

1.认识事物在一定条件下的相互转化. 2.会用联系的观点看问题. ●教学重点

比较同底幂大小. ●教学难点

底数不同的两幂值比较大小. ●教学方法 启发引导式

启发学生根据指数函数的形式特点来理解指数形式的函数，并能够利用指数函数的定义域、值域，结合指数函数的图象，进行同底数幂的大小的比较.

在对不同底指数比较大小时，应引导学生联系同底幂大小比较的方法，恰当地寻求中间过渡量，将不同底幂转化同底幂来比较大小，从而加深学生对同底数幂比较大小的方法的认识.

●教具准备 幻灯片三X

第一X：指数函数的定义、图象、性质(记作§2.6.2 A) 第二X：例3(记作§B〕

第三X：例4(记作§2.6.2 C〕 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾

［师］上一节，我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质，现在进行一下 回顾.

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word

(打出幻灯片内容为指数函数的概念、图象、性质) a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 (1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过点(0，1) (4)在R上增函数 (4)在R上减函数 ［师］这一节，我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用. Ⅱ.讲授新课

［例3］求以下函数的定义域、值域 (1)y=0.4(2)y=31x1； .

5x1(3)y=2x+1

分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值X围.

解：(1)由x－1≠0得x≠1

所以，所求函数定义域为{x｜x≠1}

1由≠0得y≠1 x1所以，所求函数值域为{y｜y＞0且y≠1}

1评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令=t.考查指数函数y=0.4t，并结

x1合图象直观地得到，以下两题可作类似处理.

1(2)由5x－1≥0得x≥

51所以，所求函数定义域为{x｜x≥}

5由5x1≥0得y≥1

所以，所求函数值域为{y｜y≥1} (3)所求函数定义域为R 由2x＞0可得2x+1＞1

所以，所求函数值域为{y｜y＞1}

［师］通过此例题的训练，大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规X性.

［例4］比较以下各题中两个值的大小 (1)1.72.5,1.73

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word (2)0.8－0.1,0.8－0.2 (3)1.70.3，0.93.1

要求：学生练习(1)、(2)，并对照课本解答，尝试总结比较同底数幂大小的方法以及一般步骤.

解：(1)考查指数函数y=1.7x

又由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数 ∵2.5＜3 ∴1.72.5＜1.73

(2)考查指数函数y=0.8x

由于0＜0.8＜1,所以指数函数y=0.8x在R上是减函数. ∵－0.1＞－0.2 ∴0.8－0.1＜0.8－0.2

［师］对上述解题过程，可总结出比较同底数幂大小的方法，即利用指数函数的单调性，其基本步骤如下：

(1)确定所要考查的指数函数；

(2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；

(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系. 解：(3)由指数函数的性质知： 1.70.3＞1.70=1, 0.93.1＜0.90=1,

即1.70.3＞1，0.93.1＜1， ∴1.70.3＞0.93.1.

说明：此题难点在于解题思路的确定，即如何找到中间值进行比较.(3)题与中间值1进行比较，这一点可由指数函数性质，也可由指数函数的图象得出，与1比较时，还是采用同底数幂比较大小的方法，注意强调学生掌握此题中“1〞的灵活变形技巧.

［师］接下来，我们通过练习进一步熟悉并掌握本节方法. Ⅲ.课堂练习 1.课本P78练习2 求以下函数的定义域

(1)y＝3; (2)y＝5x1.

1有意义可得x≠0 x故所求函数定义域为{x｜x≠0} (2)由x－1≥0 得x≥1

故所求函数定义域为{x｜x≥1}. 2.习题2.6 2

比较以下各题中两个值的大小 (1)30.8，30.7

(2)0.75－0.1，0.750.1 (3)1.012.7，1.013.5

1x解：(1)由

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word (4)0.９９3.3，0.９９4.5 解：(1)考查函数y＝3x

由于3＞1，所以指数函数y＝3x在R上是增函数. ∵0.8＞0.7 ∴30.8＞30.7

(2)考查函数y＝0.75x

由于0＜0.75＜1，所以指数函数y＝0.75x在R上是减函数. ∵－0.1＜0.1 ∴0.75－0.1＞0.750.1 (3)考查函数y＝1.01x

由于1.01＞1，所以指数函数y＝1.01x在R上是增函数. ∵2.7＜3.5

∴1.012.7＜1.013.5

(4)考查函数y＝0.９９x

由于0＜0.９９＜1，所以指数函数y＝0.９９x在R上是减函数. ∴3.3＜4.5

∴0.９９3.3＞0.９９4.5. Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，掌握指数函数的性质应用，并能比较同底数幂的大小， 提高应用函数知 识的能力. Ⅴ.课后作业

〔一〕课本P78习题2.6 1.求以下函数的定义域 (1)y＝23－x (2)y＝32x＋1

1(3)y＝〔〕5x

2(4)y＝0.7

解：(1)所求定义域为R. (2)所求定义域为R. (3)所求定义域为R. (4)由x≠0得

所求函数定义域为{x｜x≠0}. 3.以下不等式，比较m、n的大小 (1)2m＜2n (2)0.2m＞0.2n

(3)am＜an〔0＜a＜1〕 (4)am＞an〔a＞1〕

解：(1)考查函数y＝2x

∵2＞1，∴函数y＝2x在R上是增函数. ∵2m＜2n ∴m＜n；

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1xword (2)考查函数y＝0.2x ∵0＜0.2＜1

∴指数函数y＝0.2x在R上是减函数. ∵0.2m＞0.2n ∴m＜n；

(3)考查函数y＝ax ∵0＜a＜1

∴函数y＝ax在R上是减函数. ∵am＜an ∴m＞n；

(4)考查函数y＝ax ∵a＞1

∴函数y＝ax在R上是增函数， ∴am＞an ∴m＞n.

〔二〕1.预习内容：

函数单调性、奇偶性概念 2.预习提纲

(1)函数单调性，奇偶性的概念. (2)函数奇偶性概念.

(3)函数单调性，奇偶性的证明通法是什么?写出基本的证明步骤. ●板书设计

§ 指数函数的性质应用(一) 1.比较同底数幂的方法：利用函数的单调性. ［例3］ ［例4］ (1) (1) (2) (2) (3) (3) 2.基本步骤 (1)确定所要考查的指数函数. (2)确定考查函数的单调性. (3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性. 3.学生练习

Ⅰ.复习引入

指数函数的定义与性质 Ⅱ.讲授新课

［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%. 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半〔结果保留一个有效数字〕.

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word

解：⑴先求出函数关系式：

设这种物质最初的质量是1，经过 x年，剩留量是 y. 那么 经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841; 经过2年，剩留量y＝0.84×84%＝0.842; …………

经过x年，剩留量y＝0.84x〔x≥0〕. ⑵描点作图：根据函数关系式列表如下：

x y 0 1 1 2 3 4 5 6 … … 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 根据上表描点作出指数函数y＝0.84x〔x≥0〕的图象〔图略〕.从图上看出y＝0.5，只需x≈4.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半. ［例2］求以下函数的定义域和值域：

11

⑴y＝1－a ⑵y＝〔 〕x3

2

x活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论定义域值域，然后准确解答，教师引导、整理

解：⑴要使函数有意义，必须1－ax≥0，即ax≤1 当a＞1时 x≤0； 当0＜a＜1时 x≥0 ∵ax＞0 ∴0≤1－ax＜1 ∴值域为0≤y＜1 ⑵要使函数有意义，必须 x＋3≠0 即 x≠－3

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word 1111x3∵ ≠0∴y＝〔 〕≠〔 〕0＝1 x＋322

又∵y＞0 ∴值域为 〔0，1〕∪〔1，＋∞〕 1x22x［例3］求函数y＝〔 〕的单调区间，并证明

2

活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论单调区间，然后准确解答，教师引导、整理〔图见上〕

解〔用复合函数的单调性〕：

1

设：u＝x2－2x那么：y＝〔 〕u

2

1u对任意的1＜x1＜x2，有u1＜u2，又∵y＝〔 〕是减函数

2

12∴y1＜y2∴y＝〔 〕x2x在[1，＋∞〕是减函数

2

1

对任意的x1＜x2≤1，有u1＞u2，又∵y＝〔 〕u是减函数

2

1x22x∴y1＜y2∴y＝〔 〕在[1，＋∞〕是增函数

2

21

引申：求函数y＝〔 〕x2x的值域 〔0＜y≤2〕

2Ⅲ. 课堂总结

对于函数y＝f〔u〕和u＝g〔x〕，如果u＝g〔x〕在区间〔a，b〕上是具有单调性，当x∈〔a，b〕时，u∈〔m，n〕，且y＝f〔u〕在区间〔m，n〕上也具有单调性，那么复合函数y＝f〔g〔x〕〕在区间〔a，b〕具有单调性：

①假设u＝g〔x〕在〔a，b〕上单调递增，y＝f〔u〕在〔m，n〕上单调递增，那么复合函数y＝f〔g〔x〕〕在区间〔a，b〕上单调递增；

②假设u＝g〔x〕在〔a，b〕上单调递增，y＝f〔u〕在〔m，n〕上单调递减，那么复合函数y＝f〔g〔x〕〕在区间〔a，b〕上单调递减；

③假设u＝g〔x〕在〔a，b〕上单调递减，y＝f〔u〕在〔m，n〕上单调递增，那么复合函数y＝f〔g〔x〕〕在区间〔a，b〕上单调递减；

④假设u＝g〔x〕在〔a，b〕上单调递减，y＝f〔u〕在〔m，n〕上单调递减，那么复合函数y＝f〔g〔x〕〕在区间〔a，b〕上单调递增；

复合函数单调性的规律见下表：

y＝f〔u〕 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 7 / 8

减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ u＝g〔x〕 增 ↗ y＝f〔g〔x〕〕 增 ↗ word 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减〞或“同增异减〞. 活动设计：教师提出问题，学生思考、分析讨论，教师引导、整理 下面只证明① 设x1、x2∈〔a，b〕，且x1＜x2

∵u＝g〔x〕在〔a，b〕上是增函数，∴g〔x1〕＜g〔x2〕，且g〔x1〕、g〔x2〕∈〔m，n〕 ∵y＝f〔u〕在〔m，n〕上是增函数，∴f〔g〔x1〕〕＜f〔g〔x2〕〕. 所以复合函数y＝f〔g〔x〕〕在区间〔a，b〕上是增函数。 Ⅳ. 课后作业

课本P54 习题：3，4，5，6.

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