二次函数最大利润求法经典

一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。已知

商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：本题用到的数量关系是： （1）利润=售价-进价

（2）销售总利润=单件利润×销售数量

问题1：售价为x元时，每件的利润可表示为 （x-40）

问题2：售价为x元，售价涨了多少元？可表示为 （x-60） 问题3：售价为x元，销售数量会减少，减少的件数为

x-6020 （件） 2问题4：售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为

y300因为x-6020= 30010(x60)= 10x900 2x0

x600自变量x 的取值范围是 x60

问题4：售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为 W(x40)y

= (x40)(10x900)

= 10x1300x36000

问题5：售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？

因为 W(x40)y

= (x40)(10x900)

= 10x1300x36000 =10(x130x)36000

222 =10(x130x65)6536000

222 =10(x65)4225036000 =10(x65)6250

所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元

.

22 -

二、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价2元，每星期可多卖出40件，已

知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：本题用到的数量关系是： （1）利润=售价-进价

（2）销售总利润=单件利润×销售数量

问题1：售价为x元时，每件的利润可表示为 （x-40）

问题2：售价为x元，售价降了多少元？可表示为 （60-x） 问题3：售价为x元，销售数量会增加，增加的件数为

60x40 （件） 2问题4：售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为

y300因为60x40= 30020(60x)= 20x1500 2x0

60x0所以，自变量x 的取值范围是 0x60 问题4：售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为 W(x40)y

= (x40)（20x1500）

= 20x2300x60000

问题5：售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？

因为 W(x40)y

= (x40)（20x1500）

= 20x2300x60000 =20(x115x)60000

222115115=20x115x)60000

22222=20(x1152)6612560000 22=20(x57.5)6612560000 =20(x57.5)6125

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2 -

所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元

三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降

价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：

（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加 （2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加

本题用到的数量关系是： （1）利润=售价-进价

（2）销售总利润=单件利润×销售数量

根据题目内容，完成下列各题： 1、涨价时

（1）售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为

y300因为x-6020= 30010(x60)= 10x900 2x0

x600自变量x 的取值范围是 x60 （2）售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为 W1(x40)y

= (x40)(10x900)

= 10x1300x36000

（3）售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？ W1 = (x40)(10x900)

= 10x1300x36000 =10(x130x)36000

222 =10(x130x65)6536000

222 =10(x65)4225036000 =10(x65)6250

所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元

.

22 -

2、降价时：

（1）售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为

y300因为60x40= 30020(60x)= 20x1500 2x0

60x0所以，自变量x 的取值范围是 0x60 （2）售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为 W2=(x40)y

= (x40)（20x1500）

= 20x2300x60000

（3）售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？

因为

W2=(x40)（300260x40） 2= (x40)（20x1500） = 20x2300x60000 =20(x115x)60000

222115115=20x115x)60000

2222=20(x1152)6612560000 22=20(x57.5)6612560000 =20(x57.5)6125

所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元

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2 -

本题解题过程如下：

解：设售价为x元，利润为W （1）涨价时，

W1 =(x40)（300 -

x-6020） 2= (x40)(10x900) = 10x1300x36000 =10(x130x)36000

222 =10(x130x65)6536000

22 =10(x65)4225036000 =10(x65)6250

所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元

（2）降价时，

22W2=(x40)（300+

60x40） 2 = (x40)（20x1500） = 20x2300x60000 =20(x115x)60000

222115115=20x115x)60000

2222=20(x1152)6612560000 22=20(x57.5)6612560000 =20(x57.5)6125

所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元

综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。

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四、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降

价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，为尽快清仓库存，如何定价才能使利润最大？ 解：设售价为x元，利润为W （1）涨价时，

W1 = (x40)(10x900)

= 10x1300x36000 =10(x130x)36000

222 =10(x130x65)6536000

22 =10(x65)4225036000 =10(x65)6250

所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元

（2）降价时，

22W2 = (x40)（20x1500）

= 20x2300x60000 =20(x115x)60000

222115115=20x115x)60000

2222=20(x1152)6612560000 22=20(x57.5)6612560000 =20(x57.5)6125

所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元

综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。

因为，为了尽快减少库存，所以应该采用降价销售。因此售价应为57.5元。

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

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求最大利润，学生版

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一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。已知

商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：本题用到的数量关系是： （1）利润=售价-进价

（2）销售总利润=单件利润×销售数量

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问题1：售价为x元时，每件的利润可表示为 ________________

问题2：售价为x元，售价涨了多少元？可表示为____________________

问题3：售价为x元，销售数量会减少，减少的件数为 _____________ （件） 问题4：售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为

问题4：售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为

问题5：售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？

二、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价2元，每星期可多卖出40件，已

知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：本题用到的数量关系是： （1）利润=售价-进价

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（2）销售总利润=单件利润×销售数量

问题1：售价为x元时，每件的利润可表示为 _______________ 问题2：售价为x元，售价降了多少元？可表示为 ______________

问题3：售价为x元，销售数量会增加，增加的件数为 __________________ （件） 问题4：售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为

问题4：售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为

问题5：售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？

三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降

价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：

（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加 （2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加

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本题用到的数量关系是： （1）利润=售价-进价

（2）销售总利润=单件利润×销售数量

根据题目内容，完成下列各题： 1、涨价时

（1）售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为

（2）售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为

（3）售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？

2、降价时：

（1）售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为

（2）售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为

（3）售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？

本题解题过程如下：

解：设售价为x元，利润为W

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