数学分析第五版

第一型曲面积分也是从实际问题中抽象出来的。例如，物质曲面的质量问题就可归结为第一曲面积分。

设在三维欧式空间错误!未找到引用源。中有光滑或者逐片光滑的曲面块S，三元函数f(x,y,z)在曲面S上有定义。首先，用曲面S上的曲线网，将曲面S任意分成n个小曲面：错误!未找到引用源。，…，错误!未找到引用源。，将此分法记为T。设第k个小曲面错误!未找到引用源。的面积是错误!未找到引用源。。在第k个小曲面错误!未找到引用源。上任取一点 错误!未找到引用源。 ，作和

n 错误!未找到引用源。 Qf(,,nkkk)k

k1(1)

称为三元函数f(x,y,x)在曲面S的积分和。 令错误!未找到引用源。。

定义 设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的曲面S有定义。若当 错误!未找到引用源。时，三元函数f(x,y,z)在曲面S的积分和（1） 存在极限L，即

错误!未找到引用源。=L,

则称L是三元函数f(x,y,z)在曲面S的第一型曲面积分，记为 L=错误!未找到引用源。 ,

期中 是曲面S的面积微元。

不难得到，如果物质曲面S上任意点P(x,y,z)的面密度是错误!未找到引用源。 ，则物质曲面S的质量m是第一型曲面积分，即

m=错误!未找到引用源。 ,

第一曲面积分有类似于第一曲线积分的那些性质，读者可以仿照第一曲线积分的性质写第一曲面积分的性质。关于第一曲面积分的存在性及其计算方法下面有定理。

定理1 若曲面：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)错误!未找到引用源。,是光滑的或逐片光滑的，其中D是有界闭区域。三元函数f(x,y,z)在曲面S连续，则三元函数f(x,y,z)在S的第一曲面积分存在，且

错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。 (2) 其中

E=错误!未找到引用源。 F=错误!未找到引用源。 G=错误!未找到引用源。

证法与第一曲面积分相应定理完全相同，从略。

公式（2）指出，求第一曲面积分可以化为二重积分。曲面的面积微元d错误!未找到引用源。

如果光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)错误!未找到引用源。D,其中D

是有界闭区域，则 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (3)

例1 计算曲面积分 错误!未找到引用源。 ，其中S是球面错误!未找到引用源。 被平面z=h（0=h).

解：曲面S的方程是 z=错误!未找到引用源。

曲面S在xy平面上的投影区域D是错误!未找到引用源。

由式（3），有

=错误!未找到引用源。=2a错误!未找到引用源。

例2 计算曲面积分错误!未找到引用源。 ，其中曲面S是螺旋面x=rcos错误!未找到引用源。 的一部分。

解：错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。

d错误!未找到引用源。

设D(错误!未找到引用源。),由公式（2）得

二．第二型曲面积分

第二型曲面积分的定义和计算与第二型曲线积分的完全类似。已知第二型曲线积分的曲线的方向有关，同样，第二型曲面积分与曲面的方向也有关。因此要讨论曲面的正向和负向。

在光滑曲面S上任取一点错误!未找到引用源。，过点错误!未找到引用源。 的法线有2个方向，选定一个方向为正。当点P在曲面S上连续变动（不越过曲面的边界）

时，法线也连续变动。当动点P从错误!未找到引用源。 出发沿着曲面S上任意一条闭曲线又回到错误!未找到引用源。 点时，如果法线的正方向与出发时的法线正向相同，称这种曲面S是双侧曲面，否则为单侧曲面。通常所遇到的曲面都是双侧曲面。单侧曲面也是存在的，例如，将长方形纸条的一端扭转180°，在与另一端粘合起来，就是单侧曲面。我们只讨论双侧曲面，因为双侧曲面有正向和负向，所以同一块曲面由于方向不同，在坐标面上的投影的面积就带有不同的符号。

首先讨论流量问题。在三维欧式空间R3 有界体W中有流体稳定

（也时间无关）流动。已知流体在任意一点P（x,y,z）的流速是A（P），即A（P）是向量函数

A（P）=(错误!未找到引用源。

其中错误!未找到引用源。 是向量A（P）分别在x轴，y轴，z轴上的分量，并且都在W连续，于是，W构成了流体速度场。设在W内有一块光滑双侧曲面S。在单位时间内，流体速度场流过曲面S的流体体积V，称为流过曲面S的流量。下面计算流量。

将曲面S分为n个小曲面：S，将此分法记为T。设第k,S,S12n个小曲面Sk的面积是k，在第k个小曲面Sk上任取一定错误!未找到引用源。 ，以A(错误!未找到引用源。)近似代替Sk上每一点的流速，则流体速度场A（P）通过第k个小曲面Sk的流量错误!未找到引用源。近似等于以Sk为底，以向量A(错误!未找到引用源。)为母线的斜柱体的体积。已知斜柱体的体积等于同底等高的直柱体的体积，于是

其中错误!未找到引用源。代表点错误!未找到引用源。的法线正向的单位向量。设错误!未找到引用源。与x轴，y轴，z轴的正向夹角分别是错误!未找到引用源。，则

设小曲面Sk在yz平面，zx平面，xy平面投影的面积分别是错误!未找到引用源。。所以不难得到

错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。

从而，流体速度场A（P）通过曲面S的流量Q近似等于

于是，流体速度场A（P）通过曲面S的流量

错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。

有

抽去上式中的实际意义就是第二型曲面积分。

设三元函数f(x,y,z)在双侧光滑或逐片光滑曲面S上有定义，选定曲面S一侧为正。将曲面S分成n个小曲面：S，将此分,S,S12n法记为T，用k表示第k个小曲面Sk的面积, Sk在xy平面投影的小区域的面积是错误!未找到引用源。，在第k个小曲面Sk上任取一点

P(,,)。作和 kkkk Rf(,,)xynkkkkkk1n

(4)

称为三元函数f(x,y,z)在曲面S关于xy平面的积分和。

令( T)maxd(s),d(s),,d(s)12n定义 设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑曲面S有定义。若当(T)0时，三元函数f(x,y,z)在曲面S关于xy的积分和（4）存在极限Ixy，即

n(T)0(T)0k1 limRlimf(,,)xyIkkkkkxyn则称Ixy 是f(x,y,z)dxdy在曲面S的第二型曲面积分，记为

f(x,y,z)dxdy Ixy

S其中dxdy是曲面微元错误!未找到引用源。在xy平面上投影的面积微元（注意，因为曲面S的正侧取法不同，它带有正号或负号）。

类似地，设小曲面Sk 在yz平面与zx平面的投影小区域的面积分别是 ykzk 与 zkxk ，有f(x,y,z)dydz与f(x,y,z)dzdx在曲面S的第二型曲面积分，即

＝limf(,,)yz f(x,y,z)dydzS(T)0k1kkkkkn＝limf(,,)zx f(x,y,z)dzdxS(T)0k1kkkkkn

不难看到，流体速度场A（P）=(错误!未找到引用源。 通过光滑曲面S的流量Q是它的三个分量函数错误!未找到引用源。 关于错误!未找到引用源。在曲面S上的第二型曲面积分之和，即

通常简写为

其中(n,x),(n,y),(n,z)分别是点P处法线n的正向与x轴，y轴，z轴的正向夹角。于是，两类曲面积分之间的转换关系是

Dydz=cos (n,x)d错误!未找到引用源。 ,dzdx=cos (n,y) d错误!未找到引用源。 ,dxdy=cos (n,z) d错误!未找到引用源。

如果错误!未找到引用源。与S表示同一曲面，而方向相反，则

如果S是闭曲面，则f(x,y,z)dxdy在S的第二型曲面积分记为

除特殊说明外，闭曲面S上的第二型曲面积分都是取S外则为正（或

向外的法线方向是正向）。

定理2 若有光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)错误!未找到引用源。 其中D是有界闭区域，三元函数f(x,y,z)在S连续，则f(x,y,z)dxdy在曲面S的第二型曲面积分存在，且

其中符号错误!未找到引用源。由曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定。

例3 计算曲面积分 xyzdxdy 其中曲面S是四分之一球面

S2222, 取球面外侧为正。 xyza(x0,y0) 解：曲面S 在xy平面的上下两部分的方程分别是

曲面 错误!未找到引用源。 外法线与z轴正向夹角是锐角。曲面错误!未找到引用源。 外法线与z轴正向夹角是钝角，而曲面 错误!未找到引用源。 与 错误!未找到引用源。 在xy平面上的投影都是扇形区域

错误!未找到引用源。 于是 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。dr = 错误!未找到引用源。

x2y2z2 例4 计算曲面积分xdydz，其中S是椭球面2221的

abcS2x0的部分，取椭球面外侧为正侧。

解：当x0 时，椭球面的方程是 错误!未找到引用源。 于是

错误!未找到引用源。dydz

=错误!未找到引用源。rdr =错误!未找到引用源。 (设错误!未找到引用源。 三 奥—高公式

格林公式给出了平面区域上的二重积分与围成该区域的闭曲线上的曲线积分之间的联系。奥—高公式是格林公式在三维欧式空间错误!未找到引用源。 的推广，它给出了三维欧式空间 错误!未找到引用源。 中有界体上的三重积分与围成该有界体边界的闭曲面上的曲面积分之间的联系。

首先考虑 错误!未找到引用源。 中的有界闭体： V={(x,y,z)错误!未找到引用源。

其中 错误!未找到引用源。 是V在xy坐标面上的投影，是光滑或逐段光滑闭曲线所围成的有界闭区域。错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 是光滑或逐片光滑的曲面。有界闭体V有曲面错误!未找到引用源。 ，曲面错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。 以及垂直于错误!未找到引用源。 的边界的

母线所构成的柱面错误!未找到引用源。所围成，称这样的V是xy型有界闭体。

类似地，有yz型与zx型有界闭体。

定理3 设V是错误!未找到引用源。中双侧闭曲面S所围成的xy型（同时即是yz型，又是zx型）有界闭体。

若三元函数P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，导数在包含V的区域上连续，则

PdydzQdzdxRdxdy(PQRSVxyz)dxdydz(5)

其中曲面S的外侧为正，公式（5）为奥—高公式。

证明 公式（5）由三个等式组成。先证 错误!未找到引用源。 设V是xy型有界闭体。 由三重积分的计算公式，有

错误!未找到引用源。 (6) 由曲面积分的计算公式，有

）及其偏

z

其中曲面 错误!未找到引用源。 是曲面S的侧面（由平行z轴的母线组成）。因为曲面 错误!未找到引用源。 在xy平面上的投影是区域 错误!未找到引用源。 的边界。根据曲面积分定义，有

已知曲面 错误!未找到引用源。 法线正向与z轴正向的夹角是钝角，曲面 错误!未找到引用源。 的法线正向与z轴正向的夹角是锐角。于是，

错误!未找到引用源。 (7) 由（6）式与（7）式，有（5）式 错误!未找到引用源。

若V又是yz型和zx型有界闭体，同法可证 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

将上述三个等式号两端相加，便得到了奥—高公式。

在上述证明中，对有界闭体V作了限制，即穿过V的内点且平行于坐标轴的直线与围成有界闭体V的封闭曲面S的交点恰好是两点。如果曲面S不满足这样的条件，可以用几张辅助的光滑曲面将V分成

有限个小的有界闭体，使每个小的有界闭体满足这样的条件，并注意到辅助的光滑曲面两侧的正向恰好相反，曲面积分的绝对值相等而符号相反，相加时正好抵消，因而对这样的有界闭体V，公式（5）也是正确的。

特别地，当P（x，y，z）=x，Q（x，y，z）=y，R（x，y，z）=z时，奥—高公式（5）是

于是，V的体积

由此可见，求有界体V的体积H也可化为围成有界体V的闭曲面S上的曲面积分。

例5 计算曲面积分

22(xyz)dydz2xydydzzdxdy 

S其中S是平面x=a,y=a,z=a(a>0)以及三个坐标围成的立方体V的表面。

解: P=错误!未找到引用源。y , R=z

由奥高公式，有

22(xyz)dydz2xydydzzdxdy 

S =错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 例6 计算曲面积分

222(xcosycoszcos)d 

S222其中S是锥面x，而cos是锥面yz(0zh),cos,cos外法线（正向）的方向余弦。

解：作辅助平面z=h，平面z=h与锥面错误!未找到引用源。围成锥体V。设锥体的底面是错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。

由奥高公式，有

平面错误!未找到引用源。 外法线（正向）与z轴平行，方向余弦是错误!未找到引用源。 ，平面错误!未找到引用源。在xy平面上的投影是园域D：错误!未找到引用源。

于是，

四 斯托克斯公式

奥—高公式是格林公式在三维欧式空间错误!未找到引用源。的推广，而格林公式还可以从另一方面推广，就是将有界曲面S的曲面积分与沿该曲面的边界闭曲线C的曲线积分联系起来。

设有界光滑曲面S，其边界是空间闭曲线C。取定S的一侧为正侧。规定闭曲线C的正向按右手法则，即如果右手拇指的方向指向曲面法线的正向，则其余四指所指的方向就是闭曲线C的正向。根据右手法则，由曲面S的正侧（或法线方向）就决定了闭曲线C的方向；反之亦然。

定理4 设S是光滑或分片光滑的有向有界曲面，S的边界C是光滑或逐段光滑的有向闭曲线。C的正向与S的正侧符合右手法则。若三元函数P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）及其偏导数在包含曲面S的空间区域内连续，则

CQdyRdz Pdx=(8)

RQPRQP()dydz()dzdx()dxdy yzzxxyS公式（8）称为斯托克斯公式。

证法 证明等式（8）就是分别证明下面三个等式：

证明第一个等式成立，其证法是应用空间曲线积分的计算公式与格林公式分别将 错误!未找到引用源。 与 错误!未找到引用源。 化为有相同被积函数和平面上同一条闭曲线上的曲线积分。同法可证明第二个和等三个等式。

证明 首先证明第一个等式

设曲面S的显式表达式是

z=f(x,y) , (x,y)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。是曲面S在xy坐标面上的投影，假设曲面S与平行z轴的直线至多有一个交点，区域错误!未找到引用源。 的边界闭曲线是错误!未找到引用源。。

将曲面积分

化为S在xy平面上闭区域 错误!未找到引用源。 的二重积分，再通过格林公式把它与曲线积分联系起来。

根据第二型曲面积分和第一型曲面积分的关系，有