数值分析第五版答案

1．设x0,x的相对误差为，求lnx的误差。

e*x*x x*x*1而lnx的误差为elnx*lnx*lnxe*

x*解：近似值x的相对误差为=er**进而有(lnx*)

2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。 解：设f(x)x，则函数的条件数为Cp|nnxf'(x)| f(x)又

f'(x)nxn1xnxn1|n , Cp|n又

r((x*)n)Cpr(x*)

且er(x*)为2

r((x*)n)0.02n

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

*****出它们是几位有效数字：x11.1021,x20.031, x3385.6, x456.430,x571.0. *解：x11.1021是五位有效数字； *x20.031是二位有效数字； *x3385.6是四位有效数字； *x456.430是五位有效数字； *x571.0.是二位有效数字。

********4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x1x2x4,(2) x1x2x3,(3) x2/x4.

其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数。 解：

****1 / 65

121*(x2)10321*(x3)101

21*(x4)10321*(x5)1012(x1*)104***(1)(x1x2x4)***(x1)(x2)(x4) 1114331010102221.05103***(2)(x1x2x3)*********x1x2(x3)x2x3(x1)x1x3(x2)1111.10210.0311010.031385.61041.1021385.61032220.215**(3)(x2/x4)

****x2(x4)x4(x2)x*24110.03110356.4301032256.43056.430105

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为V43R 3则何种函数的条件数为

RV'R4R2Cp3

43VR3r(V*)Cpr(R*)3r(R*)

又

r(V*)1

2 / 65

故度量半径R时允许的相对误差限为r(R*)6．设Y028，按递推公式YnYn1110.33 31783 （n=1,2,…） 100计算到Y100。若取78327.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？ 解：YnYn11783 100Y100Y991783 1001Y99Y98783 1001Y98Y97783 1001783 1001783 100……

Y1Y0依次代入后，有Y100Y0100即Y100Y0783，

若取78327.982, Y100Y027.982

1*(Y100)(Y0)(27.982)103

21Y100的误差限为103。

227．求方程x56x10的两个根，使它至少具有4位有效数字（78327.982）。

解：x56x10，

故方程的根应为x1,228783 故 x1287832827.98255.982

2x1具有5位有效数字

x228783128783110.017863

2827.98255.982x2具有5位有效数字

8．当N充分大时，怎样求

N1N1dx 21x3 / 65

解

N1N1dxarctan(N1)arctanN 1x2设arctan(N1),arctanN。 则tanN1,tanN.

1N1x2dxN1arctan(tan())tantan arctan1tantanN1Narctan1(N1)N1arctan2NN19．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？ 解：正方形的面积函数为A(x)x

22(A*)2A*(x*).

当x*100时，若(A*)1, 则(x*)1102 22故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm 10．设S12gt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的212gt,t0 2绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：

S(S*)gt2(t*)

当t*增加时，S*的绝对误差增加

r(S*)(S*)S*

gt2(t*)1*2g(t)2(t*)2*t4 / 65

当t*增加时，(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。 11．序列yn满足递推关系yn10yn11 (n=1,2,…),

若y021.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：

y021.41

1(y0*)102

2又

yn10yn11

y110y01 (y1*)10(y0*)

又

y210y11

(y2*)10(y1*)

(y2*)102(y0*)......

(y10*)1010(y0*)11010102211082计算到y10时误差为

1108，这个计算过程不稳定。 2612．计算f(21)，取2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

113(322), , ， 99702。 63(21)(322)解：设y(x1)， 若x612，x*1.4，则x*101。

21计算y值，则 6(21)若通过5 / 65

y*1*x*7(x1)

6**yx*7(x1)y*x*3若通过(322)计算y值，则

y*(32x*)2x*6y*x**32xy*x*若通过

1计算y值，则 3(322)y*1x**4(32x)

1**yx*7(32x)y*x*通过1计算后得到的结果最好。

(322)313．f(x)ln(xx21),求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(xx21)ln(x计算，求对数时误差有多大？ 解

x21)

f(x)ln(xx21), f(30)ln(30899)

设u899,yf(30) 则u

*1u*4

2故

6 / 65

y**u*u

1u*0.01673若改用等价公式

ln(xx21)ln(xx21)

则f(30)ln(30899) 此时，

y**u*u

1u*59.98337第二章 插值法

1．当x1,1,2时，f(x)0,3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：

x01,x11,x22,f(x0)0,f(x1)3,f(x2)4;l0(x)l1(x)l2(x)(xx1)(xx2)1(x1)(x2)

(x0x1)(x0x2)2(xx0)(xx2)1(x1)(x2)(x1x0)(x1x2)6(xx0)(xx1)1(x1)(x1)(x2x0)(x2x1)3则二次拉格朗日插值多项式为

L2(x)yklk(x)

k023l0(x)4l2(x)14(x1)(x2)(x1)(x1)

23537x2x6232．给出f(x)lnx的数值表

7 / 65

X lnx 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.356675 0.8 -0.223144 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解：由表格知，

x00.4,x10.5,x20.6,x30.7,x40.8;f(x0)0.916291,f(x1)0.693147f(x2)0.510826,f(x3)0.356675f(x4)0.223144若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.50.540.6

l1(x)l2(x)xx210(x0.6)x1x2xx110(x0.5)

x2x1L1(x)f(x1)l1(x)f(x2)l2(x)6.93147(x0.6)5.10826(x0.5) L1(0.54)0.62021860.620219

若采用二次插值法计算ln0.54时，

l0(x)l1(x)l2(x)(xx1)(xx2)50(x0.5)(x0.6)(x0x1)(x0x2)(xx0)(xx2)100(x0.4)(x0.6)(x1x0)(x1x2) (xx0)(xx1)50(x0.4)(x0.5)(x2x0)(x2x1)L2(x)f(x0)l0(x)f(x1)l1(x)f(x2)l2(x)500.916291(x0.5)(x0.6)69.3147(x0.4)(x0.6)0.51082650(x0.4)(x0.5)L2(0.54)0.615319840.615320

3．给全cosx,0x90的函数表，步长h1(1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当0x90时，

8 / 65

令f(x)cosx 取x00,h(11 )606018010800令xix0ih,i0,1,...,5400 则x5400290

当xxk,xk1时，线性插值多项式为

L1(x)f(xk)插值余项为

xxk1xxkf(xk1)

xkxk1xk1xkR(x)cosxL1(x)又

1f()(xxk)(xxk1) 2在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx0,1，故计算中有误差传播

过程。

1(f*(xk))1052xxk1xxk1R2(x)(f*(xk))(f*(xk1))xkxk1xk1xk(f*(xk))(xxk1xxk1)xkxk1xk1xk

1(f*(xk))(xk1xxxk)h(f*(xk))总误差界为

RR1(x)R2(x)1(cos)(xxk)(xxk1)(f*(xk))21(xxk)(xk1x)(f*(xk))2 11(h)2(f*(xk))2211.0610810520.501061054．设为互异节点，求证：

9 / 65

（1）

xl(x)xkjjj0nnk(k0,1,,n);

（2）证明

(xj0jx)klj(x)0(k0,1,,n);

（1） 令f(x)x 若插值节点为xj,j0,1,k,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)xkjlj(x)。

j0nf(n1)()n1(x) 插值余项为Rn(x)f(x)Ln(x)(n1)!又

kn,

f(n1)()0Rn(x)0nkxkjlj(x)x(k0,1,j0,n);

(2)(xjx)klj(x)j0n(Ckjxij(x)ki)lj(x)

j0ni0iknnC(x)(xijlj(x))kii0j0n又0in 由上题结论可知

xl(x)x

kjjij0n原式Cki(x)kixii0n(xx)k0得证。

5设f(x)Ca,b且f(a)f(b)0,求证：

210 / 65

1maxf(x)(ba)2maxf(x). axbaxb8解：令x0a,x1b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x)f(x0) =f(a)xx1xx0f(x1)

x0x1xx0xbxa f(b)abxa

又f(a)f(b)0L1(x)0插值余项为R(x)f(x)L1(x)1f(x)(xx0)(xx1) 2f(x)又1f(x)(xx0)(xx1) 2(xx0)(xx1)21(xx0)(x1x)2

12(x1x0)41(ba)241maxf(x)(ba)2maxf(x). axbaxb8x6．在4x4上给出f(x)e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使

x截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为xi1,xi和xi1，则分段二次插值多项式的插值余项为

61f()(xxi1)(xxi)(xxi1) 3!1R2(x)(xxi1)(xxi)(xxi1)maxf(x)

4x46R2(x)设步长为h，即xi1xih,xi1xih

123343R2(x)e4heh.

62733若截断误差不超过10，则

611 / 65

R2(x)106343eh106 27h0.0065.n447．若yn2,求yn及yn.，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

yn2n

4yn(E1)4yn

44j(1)Eynj0j4j4(1)y4njj0j4 j44j(1)2ynj0j4j(21)4ynyn2n12124yn(EE)yn (E)(E1)4ynE24ynyn22n28．如果f(x)是m次多项式，记f(x)f(xh)f(x)，证明f(x)的k阶差分

1244kf(x)(0km)是mk次多项式，并且m1f(x)0（l为正整数）。

解：函数f(x)的Taylor展式为

f(xh)f(x)f(x)h其中(x,xh) 又

1f(x)h221(m)1f(x)hmf(m1)()hm1 m!(m1)!f(x)是次数为m的多项式

12 / 65

f(m1)()0f(x)f(xh)f(x)f(x)h1f(x)h22

1(m)f(x)hm m!f(x)为m1阶多项式 2f(x)(f(x)) 2f(x)为m2阶多项式

依此过程递推，得f(x)是mk次多项式

kmf(x)是常数 当l为正整数时，

m1f(x)0

9．证明(fkgk)fkgkgk1fk 证明

(fkgk)fk1gk1fkgk

fk1gk1fkgk1fkgk1fkgkgk1(fk1fk)fk(gk1gk)gk1fkfkgkfkgkgk1fk得证

10．证明

n1n1

fgkk0kfngnf0g0gk1fk

k0证明：由上题结论可知

fkgk(fkgk)gk1fk

fkgkk0n1n1((fkgk)gk1fk)

k0n1(fkgk)gk1fkk0k0n113 / 65

(fkgk)fk1gk1fkgk(fkgk)k0n1

(f1g1f0g0)(f2g2f1g1)fngnf0g0n1n1(fngnfn1gn1)fkgkfngnf0g0gk1fk

k0k0得证。 11．证明

n1j02n12yjyny0

n1证明

j0yj(yj1yj)

j0(y1y0)(y2y1)yny0得证。

12．若f(x)a0a1x证明：

(ynyn1)

an1xn1anxn有n个不同实根x1,x2,,xn，

j1nxk0,0kn2;j 1f(xj)n0,kn1f(x)有个不同实根x1,x2,,xn

证明：

且f(x)a0a1xan1xn1anxn

f(x)an(xx1)(xx2)令n(x)(xx1)(xx2)则

(xxn) (xxn)

j1nnxkxkjj

(xj)f(xj)j1ann(x)(xx2)(xx3)而n(xx1)(xx2)(xxn)(xx1)(xx3)(xxn)

(xxn1)

(xjxj1)(xjxj1)(xjxn)

(xj)(xjx1)(xjx2)n令g(x)x,

k14 / 65

gx1,x2,则gx1,x2,nxkj ,xn(xj)j1nnxkj ,xnj1n(xj)n又nj1xk1jgx1,x2,f(xj)an,xn

j1xk0,0kn2;j 1f(xj)n0,kn1得证。

13．证明n阶均差有下列性质：

（1）若F(x)cf(x)，则Fx0,x1,,xncfx0,x1,,xn;

,xnfx0,x1,,xngx0,x1,,xn.

（2）若F(x)f(x)g(x)，则Fx0,x1,证明： （1）

fx1,x2,,xnj0nn(xjx0)f(xj)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn)

Fx1,x2,j0n,xnj0(xjx0)F(xj)(xjxj1)(xjxj1)

(xjxn)(xjx0)ncf(xj)(xjxj1)(xjxj1)f(xj)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn)c(j0(xjx0)(xjxn))

cfx0,x1,,xn

得证。

(2)F(x)f(x)g(x)

Fx0,j0nn,xnnj0(xjx0)F(xj)(xjxj1)(xjxj1)

(xjxn)

(xjx0)f(xj)g(xj)(xjxj1)(xjxj1)f(xj)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn)j0(xjx0)(xjxn))

15 / 65

+

(xj0njx0)g(xj)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn))

fx0,,xngx0,,xn

得证。

0114．f(x)xx3x1,求F2,2,7401,27及F2,2,,28。

解：

f(x)x7x43x1

,8

i若xi2,i0,1,则fx0,x1,f(n)(),xn

n!f(7)()7!,x71

7!7!f(8)(),x80

8!fx0,x1,fx0,x1,15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

R3(x)f(4)()(xxk)2(xxk1)2/4!,(xk,xk1)

解：

若x[xk,xk1]，且插值多项式满足条件

(xk)f(xk) H3(xk)f(xk),H3(xk1)f(xk1) H3(xk1)f(xk1),H3插值余项为R(x)f(x)H3(x) 由插值条件可知R(xk)R(xk1)0 且R(xk)R(xk1)0

R(x)可写成R(x)g(x)(xxk)2(xxk1)2

其中g(x)是关于x的待定函数，

现把x看成[xk,xk1]上的一个固定点，作函数

(t)f(t)H3(t)g(x)(txk)2(txk1)2

16 / 65

根据余项性质，有

(xk)0,(xk1)0

(x)f(x)H3(x)g(x)(xxk)2(xxk1)2f(x)H3(x)R(x)0(t)g(x)[2(txk)(txk1)22(txk1)(txk)2] (t)f(t)H3

(xk)0

(xk1)0

由罗尔定理可知，存在(xk,x)和(x,xk1)，使

(1)0,(2)0

即(x)在[xk,xk1]上有四个互异零点。

根据罗尔定理，(t)在(t)的两个零点间至少有一个零点， 故(t)在(xk,xk1)内至少有三个互异零点， 依此类推，(4)(t)在(xk,xk1)内至少有一个零点。

记为(xk,xk1)使

(4)()f(4)()H3(4)()4!g(x)0

又

H3(4)(t)0

f(4)()g(x),(xk,xk1)

4!其中依赖于x

f(4)()R(x)(xxk)2(xxk1)2

4!分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k0,1,,n)，设步长为h，即

xkx0kh,k0,1,,n在小区间[xk,xk1]上

17 / 65

R(x)f(4)()(xx2k)(xx24!k1)R(x)1 f(4)()(xx224!k)(xxk1)14!(xx(4)k)2(xk1x)2maxaxbf(x)14![(xxkxk1x2)2]2maxaxbf(4)(x)

14!1424hmaxaxbf(4)(x)h4384maxaxbf(4)(x)16．求一个次数不高于

4

次的多项式

P(0)P(0)0,P(1)P(1)0,P(2)0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

x00,x11y00,y11 m00,m1111H3(x)yjj(x)mjj(x)j0j0x10(x)(12xx0xx)(x)2

0x1x01(12x)(x1)2xx1xx01(x)(12x)()21x0x1x0

(32x)x20(x)x(x1)21(x)(x1)x2

H3(x)(32x)x2(x1)x2x32x2

设P(x)H223(x)A(xx0)(xx1)

其中，A为待定常数

P(2)1P(x)x32x2Ax2(x1)2

18 / 65

P（x），使它满足

A1 412x(x3)2 42从而P(x)17．设f(x)1/(1x)，在5x5上取n10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解：

若x05,x105 则步长h1,

xix0ih,i0,1,,10

f(x)1 21x在小区间[xi,xi1]上，分段线性插值函数为

Ih(x)xxi1xxif(xi)f(xi1)

xixi1xi1xi11(xx) i1xi21xi12(xi1x)各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x4.5时，f(x)0.0471,Ih(x)0.0486 当x3.5时，f(x)0.0755,Ih(x)0.0794 当x2.5时，f(x)0.1379,Ih(x)0.1500 当x1.5时，f(x)0.3077,Ih(x)0.3500 当x0.5时，f(x)0.8000,Ih(x)0.7500 误差

h2maxf(x)Ih(x)maxf() xixxi185x5又

f(x)1 1x219 / 65

f(x)2x,22(1x)

6x22f(x)(1x2)324x24x3f(x)(1x2)4令f(x)0

得f(x)的驻点为x1,21和x30

1f(x1,2),f(x3)22 1maxf(x)Ih(x)5x5418．求f(x)x在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。 解：

在区间[a,b]上，x0a,xnb,hixi1xi,i0,1,2,n1,

hmaxhi0in1f(x)x2

函数f(x)在小区间[xi,xi1]上分段线性插值函数为

Ih(x)xxi1xxif(xi)f(xi1)xixi1xi1xi12[xi(xi1x)xi12(xxi)]hi

误差为

1maxf(x)Ih(x)maxf()hi2xixxi18abf(x)x2

f(x)2x,f(x)2h2maxf(x)Ih(x)axb419．求f(x)x在[a,b]上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：

在[a,b]区间上，x0a,xnb,hixi1xi,i0,1,4,n1,

20 / 65

令hmaxhi

0in1f(x)x4,f(x)4x3

函数f(x)在区间[xi,xi1]上的分段埃尔米特插值函数为

Ih(x)((((xxi12xxi)(12)f(xi)xixi1xi1xixxi2xxi1)(12)f(xi1)xi1xixixi1xxi12)(xxi)f(xi)xixi1xxi2)(xxi1)f(xi1)xi1xi

xi43(xxi1)2(hi2x2xi)hixi143(xxi)2(hi2x2xi1)hi4xi2(xx)i1(xxi)2hi3

4xi132(xxi)2(xxi1)hi误差为

f(x)Ih(x)1(4)f()(xxi)2(xxi1)2 4!1hmaxf(4)()(i)424axb2又

f(x)x4

f(4)(x)4!24hi4h4 maxf(x)Ih(x)maxaxb0in1161620．给定数据表如下： Xj Yj 0.25 0.5000 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 试求三次样条插值，并满足条件：

21 / 65

(1)S(0.25)1.0000,S(0.53)0.6868;

(2)S(0.25)S(0.53)0.解：

h0x1x00.05h1x2x10.09h2x3x20.06h3x4x30.08

j1hj1hj1hj,jhjhj1hj

533,2,3,4114571924,2,3,011457f(x1)f(x0)fx0,x10.9540x1x0fx1,x20.8533fx2,x30.7717fx3,x40.7150

(1)S(x0)1.0000,S(x4)0.6868d06(fx1,x2f0)5.5200h0fx1,x2fx0,x14.3157h0h1d16 fx2,x3fx1,x2d263.2640h1h2fx3,x4fx2,x3d362.4300h2h3d46(f4fx3,x4)2.1150h3由此得矩阵形式的方程组为

2 1 M0 5.5200

59 2 M1 4.3157 141432 2 M2 3.2640 5534 2 M3 2.4300 7722 / 65 1 2 M4 2.1150

求解此方程组得

M02.0278,M11.4643M21.0313,M30.8070,M40.6539三次样条表达式为

S(x)Mj(yj(xj1x)36hj2Mj1(xxj)36hjMj1hj62Mjhj6)xj1xhj(yj1)xxjhj

(j0,1,,n1)将M0,M1,M2,M3,M4代入得

6.7593(0.30x)34.8810(x0.25)310.0169(0.30x)10.9662(x0.25)x0.25,0.302.7117(0.39x)31.9098(x0.30)36.1075(0.39x)6.9544(x0.30)x0.30,0.39S(x)332.8647(0.45x)2.2422(x0.39)10.4186(0.45x)10.9662(x0.39)x0.39,0.451.6817(0.53x)31.3623(x0.45)38.3958(0.53x)9.1087(x0.45)x0.45,0.53(2)S(x0)0,S(x4)0d02f00,d14.3157,d23.2640

d32.4300,d42f40040由此得矩阵开工的方程组为

M0M4092143253070M14.31572

M23.26405M32.43002求解此方程组，得

M00,M11.8809M20.8616,M31.0304,M40

23 / 65

又三次样条表达式为

S(x)Mj(yj(xj1x)36hj2Mj1(xxj)36hjMj1hj62Mjhj6)xj1xhj(yj1)xxjhj

将M0,M1,M2,M3,M4代入得

6.2697(x0.25)310(0.3x)10.9697(x0.25)x0.25,0.303.4831(0.39x)31.5956(x0.3)36.1138(0.39x)6.9518(x0.30)x0.30,0.39S(x)332.3933(0.45x)2.8622(x0.39)10.4186(0.45x)11.1903(x0.39)x0.39,0.452.1467(0.53x)38.3987(0.53x)9.1(x0.45)x0.45,0.5321．若f(x)Ca,b,S(x)是三次样条函数，证明：

2(1)baf(x)dxS(x)dxa22b2baf(x)S(x)dx2S(x)f(x)S(x)dxab2

(2)若f(xi)S(xi)(i0,1,,n)，式中xi为插值节点，且ax0x1

xnb，则

baS(x)f(x)S(x)dxS(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)证明：

(1)f(x)S(x)a2bab2dx2bababf(x)dxS(x)dx2f(x)S(x)dxf(x)22

adxS(x)dx2S(x)f(x)S(x)dxaab2b从而有

af(x)

babdxS(x)dxa2b2f(x)S(x)dx2S(x)f(x)S(x)dxab

24 / 65

第三章 函数逼近与曲线拟合

1． f(x)sinx，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式B1(f,x)及B3(f,x)。

2解：

f(x)sin2,x[0,1]

伯恩斯坦多项式为

nB,x)f(kn(f)k0nPk(x)

其中Pnk(x)kxk(1x)nk 当n1时，

P10(x)0(1x)

P1(x)xB1(f,x)f(0)P0(x)f(1)P1(x)

10(1x)sin(20)xsin2x当n3时，

P10(x)0(1x)3P1221(x)0x(1x)3x(1x)

P32(x)1x2(1x)3x2(1x)P333(x)3xx325 / 65

kB3(f,x)f()Pk(x)nk003x(1x)2sin363x2(1x)sin3x3sin2

3332x(1x)2x(1x)x322533333623xxx2221.5x0.402x20.098x32． 当f(x)x时，求证Bn(f,x)x 证明：

若f(x)x，则

kBn(f,x)f()Pk(x)

nk0nknxk(1x)nkk0nknkn(n1)(nk1)kx(1x)nkk!k0nnn(n1)[(n1)(k1)1]kx(1x)nk(k1)!k1

nn1knkx(1x)k1k1nn1k1(n1)(k1)xx(1x)k1k1x[x(1x)]n1x3．证明函数1,x,证明：

2若a0a1xa2x,xn线性无关

anxn0,xR

分别取x(k0,1,2,k,n)，对上式两端在[0,1]上作带权(x)1的内积，得

26 / 65

11n11a0n1a001 1an02n1此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异， 只有零解a=0。

函数1,x,,xn线性无关。

4。计算下列函数f(x)关于C[0,1]的f,f1与f2：

(1)f(x)(x1)3,x[0,1](2)f(x)x1,2

(3)f(x)xm(1x)n,m与n为正整数， (4)f(x)(x1)10ex

解：

(1)若f(x)(x1)3,x[0,1]，则 f(x)3(x1)20

f(x)(x1)3在(0,1)内单调递增

fmaxf(x)0x1maxf(0),f(1) max0,11fmaxf(x)0x1maxf(0),f(1) max0,11f2((1x)dx)0161211712[(1x)]07

7727 / 65

(2)若f(x)x1,x0,1，则 2ffmaxf(x)0x11012

f(x)dx11121(x)dx2214f

21

(f(x)dx)

0

1

2

12

121

[(x)dx]2

0236

(3)若f(x)xm(1x)n,m与n为正整数

当x0,1时,f(x)0

f(x)mxm1(1x)nxmn(1x)n1(1) nmm1n1x(1x)m(1x)mm)时,f(x)0 nmmf(x)在(0,)内单调递减

nmm当x(,1)时,f(x)0

nmmf(x)在(,1)内单调递减。

nm当x(0,x(

m

,1)f(x)0nm

fmaxf(x)

0x1

m maxf(0),f()

nm

mmnn

(mn)mn

28 / 65

f110f(x)dx10xm(1x)ndx2(sin20t)m(1sin2t)ndsin2t

20sin2mtcos2ntcost2sintdtn!m!(nm1)!f112m2n22[0x(1x)dx]1[24m4n220sintcostd(sint)]1

[202sin4m1tcos4n1tdt]2(2n)!(2m)![2(nm)1]!(4)若f(x)(x1)10ex

当x0,1时，f(x)0

f(x)10(x1)9ex(x1)10(ex)(x1)9ex(9x)0f(x)在[0,1]内单调递减。

29 / 65



fmaxf(x)0x1maxf(0),f(1)210eff(x)dx10101(x1)10exdx(x1)10ex5f10e1202x01010(x1)9exdx012[(x1)edx]12347(2)4e5。证明fgfg 证明：

f(fg)gfggfgfg6。对f(x),g(x)C[a,b]，定义

1

(1)(f,g)f(x)g(x)dxab(2)(f,g)f(x)g(x)dxf(a)g(a)ab

问它们是否构成内积。 解：

(1)令f(x)C（C为常数，且C0）

则f(x)0 而(f,f)baf(x)f(x)dx

这与当且仅当f0时，(f,f)0矛盾

不能构成C1[a,b]上的内积。

30 / 65

(2)若(f,g)f(x)g(x)dxf(a)g(a)，则

ab(g,f)g(x)f(x)dxg(a)f(a)(f,g),Kab(f,g)[f(x)]g(x)dxaf(a)g(a)ab

[f(x)g(x)dxf(a)g(a)]ab(f,g)hC1[a,b],则

(fg,h)[f(x)g(x)]h(x)dx[f(a)g(a)]h(a)abbaf(x)h(x)dxf(a)h(a)f(x)h(x)dxg(a)h(a)

abb(f,h)(h,g)(f,f)[f(x)]2dxf2(a)0

a若(f,f)0，则

[f(x)]dx0,且fab22(a)0

f(x)0,f(a)0 f(x)0

即当且仅当f0时，(f,f)0. 故可以构成C[a,b]上的内积。

7。令Tn(x)Tn(2x1),x[0,1]，试证Tn*(x)是在[0,1]上带权(x)****多项式，并求T0(x),T1(x),T2(x),T3(x)。

*11xx2的正交

解：

若Tn(x)Tn(2x1),x[0,1]，则

*10*Tn*(x)Tm(x)P(x)dx1Tn(2x1)Tm(2x1)01xx2dx

令t(2x1)，则t[1,1]，且xt1，故 231 / 65

10*Tn*(x)Tm(x)(x)dx1Tn(t)Tm(t)11t1t12()2211Tn(t)Tm(t)dt211t又

d(t1) 2切比雪夫多项式Tk*(x)在区间[0,1]上带权(x)11x2正交，且

0,nm1xT(x)T(x)d,nm0 1nm21t2,nm0Tn*(x)是在[0,1]上带权(x)又

1xx2的正交多项式。

T0(x)1,x[1,1]

T0*(x)T0(2x1)1,x[0,1]T1(x)x,x[1,1]T1*(x)T1(2x1)2x1,x[0,1]

T2(x)2x21,x[1,1]T2*(x)T2(2x1)2(2x1)18x28x1,x[0,1]2

T3(x)4x33x,x[1,1]T(x)T3(2x1)4(2x1)33(2x1)*3

32x48x18x1,x[0,1]232

8。对权函数(x)1x，区间[1,1]，试求首项系数为1的正交多项式n(x),n0,1,2,3. 解：

若(x)1x，则区间[1,1]上内积为

2(f,g)f(x)g(x)(x)dx

1132 / 65

定义0(x)1，则

n1(x)(xn)n(x)nn1(x)

其中

n(xn(x),n(x))/(n(x),n(x))n(n(x),n(x))/(n1(x),n1(x))0(x,1)/(1,1)11x(1x2)dx1(1x21)dx01(x)x1(x2,x)/(x,x)11x3(1x2)dx11x2(1x2)dx01(x,x)/(1,1)11x2(1x2)dx11(1x2)dx161582532(x)x22533 / 65

2(x3x,x2)/(x2,x2)222555122322(xx)(x)(1x)dx15512222(x)(x)(1x2)dx1550222(x2,x2)/(x,x)55122222(x)(x)(1x)dx155122x(1x)dx1251361752516701521793(x)x3x2xx3x57014

9。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族un(x)是[0,1]上带权

(x)1x2的正交多项式。

证明： 若Un(x)sin[(n1)arccosx]1x2

令xcos，可得

11Um(x)Un(x)1x2dx1sin[(m1)arccosx]sin[(n1)arccosx]dx211x

0sin[(m1)sin[(n1)]d21cossin[(m1)sin[(n1)]d0当mn时，

0sin2[(m1)d01cos[2(m1)]d

22当mn时，

34 / 65

0sin[(m1)sin[(n1)]d0sin[(m1)d{1cos(n1)}n11cos(n1)d{sin[(m1)]}0n1m1cos(n1)cos(m1)d0n1 m11cos[(m1)]d{sin[(n1)]}0n1n1m1sin[(n1)]d{cos[(m1)]}0(n1)2m1()2sin[(n1)]sin[(m1)]d0n10[1(m12)]sin[(n1)]sin[(m1)]d0

0n1m12又mn，故()1

n10sin[(n1)]sin[(m1)]d0

得证。

10。证明切比雪夫多项式Tn(x)满足微分方程

(1x2)Tn(x)xTn(x)n2Tn(x)0

证明：

切比雪夫多项式为

Tn(x)cos(narccosx),x1

从而有

35 / 65

Tn(x)sin(narccosx)n(n1x211x2)sin(narccosx)nn2sin(narccosx)cos(narccosx)321x2

Tn(x)(1x2)nx1x2nx1x2(1x2)Tn(x)xTn(x)n2Tn(x)0得证。

sin(narccosx)n2cos(narccosx)sin(narccosx)n2cos(narccosx)11。假设f(x)在[a,b]上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式？ 解：

f(x)在闭区间[a,b]上连续 存在x1,x2[a,b]，使

f(x1)minf(x),axbf(x2)maxf(x),axb

取P1[f(x1)f(x2)] 2则x1和x2是[a,b]上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。 由切比雪夫定理知

P为f(x)的零次最佳一致逼近多项式。

12。选取常数a，使maxxax达到极小，又问这个解是否唯一？

0x13解：

令f(x)xax

则f(x)在[1,1]上为奇函数

3maxx3ax0x1maxx3ax

1x1f36 / 65

又

f(x)的最高次项系数为1，且为3次多项式。

3(x)1T(x)与0的偏差最小。 332133(x)T3(x)x3x

443从而有a

413。求f(x)sinx在[0,解：

2]上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。

f(x)sinx,x[0,]2f(x)cosx,f(x)sinx0f(b)f(a)2,ba2cosx2,a1

x2arccos20.88069f(x2)0.77118f(a)f(x2)f(b)f(a)ax22ba20.10526a0于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为

P1(x)0.10526即

22x

sinx0.10526误差限为

x,0x2

sinxP1(x)0.10526sin0P1(0)

14。求f(x)e0,1在0,1上的最佳一次逼近多项式。

x解：

f(x)ex,x0,1f(x)ex,f(x)ex037 / 65

f(b)f(a)e1baex2e1x2ln(e1)a1f(x2)ex2e1f(a)f(x2)f(b)f(a)ax22ba21(e1)ln(e1)(e1)221ln(e1)2a0于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为

e1(e1)[xln(e1)]22

1(e1)x[e(e1)ln(e1)]2P1(x)15。求f(x)x3x1在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：

43f(x)x43x31,x[0,1]

1211且xt

22令t2(x)，则t[1,1]

1111f(t)(t)43(t)312222

14(t10t324t222t9)16令g(t)16f(t)，则g(t)t10t24t22t9

*若g(t)为区间[1,1]上的最佳三次逼近多项式P3(t)应满足

432maxg(t)P3*(t)min

1t1当g(t)P3(t)*114T(t)(8t8t21) 3428*时，多项式g(t)P3(t)与零偏差最小，故

38 / 65

*3(t)g(t)1T(t)342738

10t325t222t进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式为为

1*P3(t)，则f(x)的三次最佳一致逼近多项式16173[10(2x1)325(2x1)222(2x1)]168

511295x3x2x44128P3*(t)16。f(x)x，在1,1上求关于span1,x2,x4的最佳平方逼近多项式。 解：

f(x)x,x1,1

若(f,g)11f(x)g(x)dx

24且01,1x,2x，则

022,12,22,11(f,0)1,(f,1),(f,2),

2322(0,1)1,(0,2),(1,2),57则法方程组为

222522922325解得

23252725a1021 a127a21293a00.1171875a11.640625 a0.82031252故f(x)关于span1,x,x24的最佳平方逼近多项式为

39 / 65

S*(x)a0a1x2a2x40.11718751.640625x0.8203125x24

17。求函数f(x)在指定区间上对于span1,x的最佳逼近多项式：

1(1)f(x),[1,3];(2)f(x)ex,[0,1]; x(3)f(x)cosx,[0,1];(4)f(x)lnx,[1,2];解：

(1)1f(x),[1,3];

x若(f,g)31f(x)g(x)dx

且01,1x,，则有

022,12(0,1)4,2226,3

(f,0)ln3,(f,1)2,则法方程组为

24a0ln3

262a413从而解得

a01.1410 a10.2958故f(x)关于span1,x的最佳平方逼近多项式为

S*(x)a0a1x1.14100.2958x(2)

f(x)ex,[0,1]

若(f,g)10f(x)g(x)dx

且01,1x,，则有

40 / 65

021,12,1 (0,1),2(f,0)e1,(f,1)1,则法方程组为

221311212a0e1 1a113从而解得

a00.1878 a11.6244故f(x)关于span1,x的最佳平方逼近多项式为

S*(x)a0a1x0.18781.6244x

(3)f(x)cosx,x[0,1]

若(f,g)10f(x)g(x)dx

且01,1x,，则有

021,12,1(0,1),2(f,0)0,(f,1)则法方程组为

221322,11210a202 1a123从而解得

a01.2159 a10.2431741 / 65

故f(x)关于span1,x的最佳平方逼近多项式为

S*(x)a0a1x1.21590.24317x

(4)f(x)lnx,x[1,2]

若(f,g)21f(x)g(x)dx

且01,1x,则有

021,12,3(0,1),23(f,0)2ln21,(f,1)2ln2,4则法方程组为

227313232ln21a20 37a12ln243从而解得

a00.6371 a0.68221故f(x)关于span1,x最佳平方逼近多项式为

S*(x)a0a1x0.63710.6822x18。f(x)sin解：

2x，在[1,1]上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。

f(x)sin2x,x[1,1]

按勒让德多项式P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)展开

42 / 65

1(f(x),P0(x))sinxdxcosx0122112(f(x),P1(x))xsin112xdx8131(f(x),P2(x))(x2)sinxdx0122215348(210)3(f(x),P3(x))(xx)sinxdx122242

则

*a0(f(x),P0(x))/20*a13(f(x),P1(x))/2122168(210)*a25(f(x),P2(x))/20

a7(f(x),P3(x))/2*34从而f(x)的三次最佳平方逼近多项式为

*****S3(x)a0P0(x)a1P1(x)a2P2(x)a3P3(x)168(210)5332x(xx)422420(210)3120(2122)x4412

1.5531913x0.5622285x319。观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间t(s) 距离s(m) 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110 求运动方程。 解：

被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 sabt 令span1,t 则

026,1253.63,(0,1)14.7,(0,s)280,(1,s)1078,则法方程组为

2214.7a2806 14.753.63b107843 / 65

从而解得

a7.855048 b22.25376故物体运动方程为

S22.25376t7.855048

20。已知实验数据如下： xi yj 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 用最小二乘法求形如sabx的经验公式，并计算均方误差。 解：

若sabx，则

22span1,x2

则

025,127277699,(0,1)5327,(f,0)271.4,(f,1)369321.5,则法方程组为

225327a271.45

53277277699b369321.5从而解得

a0.9726046 b0.0500351故y0.97260460.0500351x 均方误差为[2(y(x)y)]jjj041220.1226

21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间t 浓度0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64 y(104) 用最小二乘法求yf(t)。 解：

44 / 65

观察所给数据的特点，采用方程

yae,(a,b0)

两边同时取对数，则

btblnylna

t取span1,,Slny,x 则Sabx

**1t1t0211,120.062321,(0,1)0.603975,(0,f)87.674095,(1,f)5.032489,则法方程组为

22110.603975a*87.674095b*5.032489 0.6039750.062321从而解得

*a7.5587812 *b7.4961692因此

aea5.2151048bb7.4961692y5.2151048e**

7.4961692t

22。给出一X记录{fk}(4,3,2,1,0,1,2,3),用FFT算法求{ck}的离散谱。 解：

{fk}(4,3,2,1,0,1,2,3),

则k0,1,,7,N8

041,e2615i4,

ee

37i23i4i,,45 / 65

k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 4 3 2 1 0 1 2 3 A1 4 4 4 2 4 0 4 23 A2 8 4 0 4 8 22 0 22 Cj 16 422 0 422 0 422 0 422 3x26x23，用辗转相除法将R22(x)2化为连分式。

x6x6解

3x26xR22(x)2x6x612x1832x6x6123 39x42x32120.753x4.5x1.524。求f(x)sinx在x0处的(3,3)阶帕德逼近R33(x)。 解：

由f(x)sinx在x0处的泰勒展开为

x3x5x7sinxx3!5!7!得C00,

C11,C20,11

C3,3!6C40,C511, 5!12046 / 65

C60,

从而

C1b3C2b2C3b1C4C2b3C3b2C4b1C5 C3b3C4b2C5b1C6即

101616b0311 0b26120b10101200从而解得

b301b 220b10又则

akCjbkjCk(k0,1,2,3)

j0k1a0C00a1C0b1C10a2C0b2C1b10a3C0b3C1b2C2b1C3故

760a0a1xa2x2a3x3R33(x)1b1xb2x2b3x373x6011x22060x7x3603x3xx

25。求f(x)e在x0处的(2,1)阶帕德逼近R21(x)。 解：

47 / 65

由f(x)ex在x0处的泰勒展开为

ex1xx22!x33!

得

C01,C11,C122!12, C1133!6,从而

C2b1C3

即

12b116 解得

b113

k1又akCjbkjCk(k0,1,2)

j0则

a0C01

a21C0b1C13 aCb1211C26故

R(x)a0a1xa2x2211b1x12x1x236

113x64xx262x

48 / 65

(2)S(x)f(x)S(x)dxabS(x)df(x)S(x)abbbS(x)f(x)S(x)f(x)S(x)d[S(x)]aaS(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)S(x)f(x)S(x)dxab

xxk1S(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)S(k)2k0S(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)S(k0n1n1f(x)S(x)dxxkxk1xk1xkxk1)f(x)S(x)xk2S(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)

第四章 数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

(1)f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);hh(2)2h2h1f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);

(3)f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3;1h(4)f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)];0解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若(1)hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

令f(x)1，则

2hA1A0A1

令f(x)x，则

0A1hA1h

令f(x)x，则

223hh2A1h2A1 3从而解得

49 / 65

4A03h1Ah 131A13h令f(x)x，则

3hhf(x)dxx3dx0

hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0

故

hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

4令f(x)x，则

hhf(x)dxx4dxhh25h52A1f(h)A0f(0)A1f(h)h53故此时，

h

hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

hh故

f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

2h具有3次代数精度。 （2）若

2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

令f(x)1，则

4hA1A0A1

令f(x)x，则

0A1hA1h

令f(x)x，则

2163hh2A1h2A1 3从而解得

50 / 65

4Ah038Ah 138A13h令f(x)x，则

32h2hf(x)dx2h2hx3dx0

A1f(h)A0f(0)A1f(h)0

故

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

4令f(x)x，则

2h2hf(x)dx2h2hx4dx645h 5165h 3A1f(h)A0f(0)A1f(h)故此时，

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

因此，

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

1具有3次代数精度。 （3）若

1f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3

令f(x)1，则

11f(x)dx2[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3

令f(x)x，则

012x13x2

令f(x)x，则

2212x123x2

2从而解得

51 / 65

x10.2899x10.6899或 x20.5266x20.1266令f(x)x，则

311f(x)dxx3dx0

11[f(1)2f(x1)3f(x2)]/30

故

11f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3不成立。

h因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若

0f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]

令f(x)1，则

h0f(x)dxh,

h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h

令f(x)x，则

hh1f(x)dxxdxh20201h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h22令f(x)x，则

2

h0h1f(x)dxx2dxh3031h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h32ah22故有

1313hh2ah232

1a12令f(x)x，则

352 / 65

143f(x)dxxdxh004

1111h[f(0)f(h)]/2h2[f(0)f(h)]h4h4h412244hh令f(x)x，则

h154f(x)dxxdxh005

1111h[f(0)f(h)]/2h2[f(0)f(h)]h5h5h512236h4故此时，

h0f(x)dxh[f(0)f(h)]/2因此，

h012h[f(0)f(h)], 121f(x)dxh[f(0)f(h)]/2h2[f(0)f(h)]

12具有3次代数精度。

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

(1)xdx,n8;04x21(2)(3)(1e)dx,n10;0 x191x21xdx,n4;(4)64sin2d,n6;0解：

1x (1)n8,a0,b1,h,f(x)284x复化梯形公式为

7hT8[f(a)2f(xk)f(b)]0.11140

2k1复化辛普森公式为

77hS8[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]0.11157

k6k0k12(2)n10,a0,b1,h复化梯形公式为

1(1e),f(x) 10x1x253 / 65

9hT10[f(a)2f(xk)f(b)]1.39148

2k1复化辛普森公式为

99hS10[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.45471

k6k0k12(3)n4,a1,b9,h2,f(x)x,

复化梯形公式为

3hT4[f(a)2f(xk)f(b)]17.22774

2k1复化辛普森公式为

33hS4[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]17.32222k6k0k12(4)n6,a0,b复化梯形公式为

6,h36

,f(x)4sin25hT6[f(a)2f(xk)f(b)]1.03562

2k1复化辛普森公式为

55hS6[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.03577

k6k0k123。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。

证明：

柯特斯公式为

baf(x)dxba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)] 90令f(x)1，则

baf(x)dxba90ba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)]ba90令f(x)x，则

54 / 65

b122f(x)dxxdx(ba)aa2

ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b2a2)902b令f(x)x，则

b1332f(x)dxxdx(ba)aa3

ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b3a3)903b2令f(x)x，则

b1434f(x)dxxdx(ba)aa4

ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b4a4)904b3令f(x)x，则

b1545f(x)dxxdx(ba)aa5

ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b5a5)905b4令f(x)x，则

b1656f(x)dxxdx(ba)aa6

ba16[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](ba6)906b5令f(x)x，则

6h0f(x)dxba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)] 90因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。 4。用辛普森公式求积分解：

辛普森公式为

10exdx并估计误差。

Sbaab[f(a)4f()f(b)] 6255 / 65

此时，

a0,b1,f(x)ex,

从而有

11S(14e2e1)0.63233

6误差为

R(f)baba4(4)()f()1802114e00.00035,(0,1)1802

5。推导下列三种矩形求积公式：

bababaf()(ba)2;2f()f(x)dx(ba)f(b)(ba)2;

2abf()f(x)dx(ba)f()(ba)3;224f(x)dx(ba)f(a)证明：

(1)f(x)f(a)f()(xa),(a,b)

两边同时在[a,b]上积分，得

baf(x)dx(ba)f(a)f()(xa)dx

ab即

baf(x)dx(ba)f(a)(2)f()(ba)2 2f(x)f(b)f()(bx),(a,b)两边同时在[a,b]上积分，得

baf(x)dx(ba)f(a)f()(bx)dx

ab即

baf(x)dx(ba)f(b)(3)f()(ba)22

abababf()ab2f(x)f()f()(x)(x),(a,b)22222两连边同时在[a,b]上积分，得

56 / 65

baababbabf()bab2f(x)dx(ba)f()f()(x)dx(x)dx

a2222a2f(x)dx(ba)f(abf())(ba)3; 224即

ba6。若用复化梯形公式计算积分I过

10exdx，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超

1105若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 2解：

采用复化梯形公式时，余项为

Rn(f)又

10ba2hf(),(a,b) 12Iexdx

xx故f(x)e,f(x)e,a0,b1.

Rn(f)12ehf()h2 121215若Rn(f)10，则

26h2105

e当对区间[0,1]进行等分时，

1h,

n故有

ne105212.85 6因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为

Rn(f)又

bah4(4)()f(),(a,b) 1802f(x)ex,

f(4)(x)ex, 1e4(4)4Rn(f)h|f()|h28802880若Rn(f)1105，则 257 / 65

h41440105 e当对区间[0,1]进行等分时

n1 h故有

1144054n(10)3.71

e因此，将区间8等分时可以满足误差要求。 7。如果f(x)0，证明用梯形公式计算积分I明其几何意义。

解：采用梯形公式计算积分时，余项为

baf(x)dx所得结果比准确值I大，并说

RT又

f()(ba)3,[a,b] 12f(x)0且ba

RT0

又

RT1T

IT

即计算值比准确值大。

其几何意义为，f(x)0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。 8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10.

5(1)2e01xdx(2)xsinxdx

02(3)x1x2dx.03解：

(1)I2e01xdx T0(k) 0.7717433 0.7280699 0.7169828 k 0 1 2 T1(k) 0.7135121 0.7132870 58 / 65

T2(k) 0.7132720 T3(k) 3 20.7142002 0.7132726 0.7132717 0.7132717 因此I0.713727

(2)Ixsinxdx

0k 0 1 因此I0

T0(k) 3.45131310 8.62828310 7T1(k) 6 -4.4469231021 (3)Ix1x2dx

03k 0 1 2 3 4 5 T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k) 14.2302495 11.1713699 10.1517434 10.4437969 10.2012725 10.2045744 10.2663672 10.2072240 10.2076207 10.2076691 10.2222702 10.2075712 10.2075943 10.2075939 10.2075936 10.2112607 10.2075909 10.2075922 10.2075922 10.2075922 10.2075922 因此I10.2075922

9。用n2,3的高斯-勒让德公式计算积分

31exsinxdx.

3解：

Iexsinxdx.

1x[1,3],令tx2，则t[1,1]

用n2的高斯—勒让德公式计算积分

I0.5555556[f(0.7745967)f(0.7745967)]0.8888889f(0)

10.9484用n3的高斯—勒让德公式计算积分

I0.3478548[f(0.8611363)f(0.8611363)]0.6521452[f(0.3399810)f(0.3399810)] 10.9501410 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是

cSa21()2sin2d,

0a59 / 65

这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则

a(2RHh)/2,c(Hh)/2.

我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。 解：

R6371,h439,H2384

从而有。

a(2RHh)/27782.5 c(Hh)/2972.5cS4a21()2sin2d0ak 0 1 2 T0(k) 1.564640 1.564646 1.564646 T1(k) 1.564648 1.564646 T2(k) 1.564646 I1.564646

S48708(km)即人造卫星轨道的周长为48708km 11。证明等式

nsinn33!n255!n4

试依据nsin()(n3,6,12)的值，用外推算法求的近似值。

n解

, n1315又sinxxxx3!5!此函数的泰勒展式为

若f(n)nsin

f(n)nsinn]

11n[()3()5n3!n5!n33!n255!n460 / 65

Tn(k)

当n3时,nsin当n6时,nsinn2.598076 3

n当n12时,nsin由外推法可得 n 3 6 9

故3.14158

n3.105829

T0(n) 2.598076 3.000000 3.105829 T1(n) 3.133975 3.141105 T2(n) 3.141580 12。用下列方法计算积分

31dy，并比较结果。 y(1)龙贝格方法；

(2)三点及五点高斯公式；

(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解

I31dy y(1)采用龙贝格方法可得 k 0 1 2 3 4 T0(k) 1.333333 1.166667 1.116667 1.103211 1.099768 T1(k) 1.099259 1.100000 1.098726 1.098620 T2(k) 1.099259 1.098641 1.098613 T3(k) 1.098613 1.098613 T4(k) 1.098613

故有I1.098613 (2)采用高斯公式时

I31dy y此时y[1,3],

令xyz,则x[1,1],

61 / 65

I1dx,1x2 1f(x),x21利用三点高斯公式，则

I0.5555556[f(0.7745967)f(0.7745967)]0.8888889f(0)

1.098039利用五点高斯公式，则

I0.2369239[f(0.9061798)f(0.9061798)]0.4786287[f(0.5384693)f(0.5384693)]0.5688889f(0) 1.098609(3)采用复化两点高斯公式 将区间[1,3]四等分，得

II1I2I3I41.512dy2.5dy3dy dy1.5y22.5yyy作变换yx5，则 41dx,1x51 f(x),x5I1f(0.5773503)f(0.5773503)0.4054054I11作变换yx7，则 41dx,1x71 f(x),x7I2f(0.5773503)f(0.5773503)0.2876712I21作变换yx9，则 41dx,1x91 f(x),x9I3f(0.5773503)f(0.5773503)0.2231405I3162 / 65

作变换yx11，则 41dx,1x111 f(x),x11I4f(0.5773503)f(0.5773503)0.1823204I41因此，有

I1.098538

13.用三点公式和积分公式求f(x)1在x1.0,1.1，和1.2处的导数值，并估计误差。

(1x)2f(x)的值由下表给出：

x F(x) 解： 1.0 1.1 1.2 0.2500 0.2268 0.2066 f(x)1 2(1x)由带余项的三点求导公式可知

1h2f(x0)[3f(x0)4f(x1)f(x2)]f()2h31h2 f(x1)[f(x0)f(x2)]f()2h61h2f(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]f()2h3又

f(x0)0.2500,f(x1)0.2268,f(x2)0.2066,

f(x0)f(x1)1[3f(x0)4f(x1)f(x2)]0.2472h1[f(x0)f(x2)]0.217 2h1f(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]0.1872h又

f(x)1 2(1x)f(x)24

(1x)563 / 65

又

x[1.0,1.2]

f()0.75

故误差分别为

h2R(x0)f()2.51033h2R(x1)f()1.25103

6h2R(x2)f()2.51033利用数值积分求导， 设(x)f(x)

f(xk1)f(xk)由梯形求积公式得

xk1xk(x)dx

xk1xk(x)dx[(xk)(xk1)]

h2从而有

hf(xk1)f(xk)[(xk)(xk1)]

2故

2h

2(x1)(x2)[f(x2)f(x1)]h(x0)(x1)[f(x1)f(x0)]又且

f(xk1)f(xk1)xk1xk1(x)dx

xk1xk1(x)dxh[(xk1)(xk1)]

从而有

f(xk1)f(xk1)h[(xk1)(xk1)]

故(x0)(x2)即

1[f(x2)f(x0)] h(x0)(x1)0.464(x1)(x2)0.404 (x)(x)0.4342064 / 65

解方程组可得

(x0)0.247(x1)0.217 (x)0.1872

65 / 65