导数及其应用习题精选
一、选择题
1. 直线 y
A． 1
x 是曲线 y a ln x 的一条切线，则实数 a 的值为 ( )
B ． e C ． ln 2 D ． 1
2、函数 f ( x) ＝ x3＋ ax2＋3x－ 9，已知 f ( x) 在 x＝－ 3 时获取极值，则
A． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
2
a 等于 ( )
π
3．在曲线 y＝ x 上切线的倾斜角为
A． (0,0)
2
11B． ( , )
4 的点是 (
C.
4. 若曲线
y x
＝
＋
ax b
＋ 在点 (0 ， ) 处的切线方程是
2 4
( , ) 4 16
11
)
D.(2,4)
b
A． a＝1， b＝ 1
5．函数 f
B ． a＝－ 1， b＝1
x y
C ． a＝1， b＝－ 1
－ ＋1＝ 0，则 ( )
D ． a＝－ 1，b＝－ 1
x 的定义域为 a,b ，导函数 f
x 在 a, b 内的图像以下列图，
则函数 f A． 1 个 6. f (x0 )
x 在 a, b 内有极小值点 ( )
B
． 2 个
C
．3 个
)
D
． 4 个
0 是函数 f x 在点 x0 处取极值的 (
A．充足不用要条件
7. 已知三次函数
B 1 3
3
．必要不充足条件
2
2
C．充要条件
D ．既不充足又不用要条件
m的取值
f ( x) ＝ x － (4 m－ 1) x ＋ (15 m－ 2m－7) x＋ 2 在 x∈( －∞，＋∞ ) 是增函数，则
范围是 ( )
A． m<2 或 m>4 B ．－ 4 m － 2 8. 设曲线 y
C． 2 ． 2 m 4 x2 1 在点 ( x, f ( x)) 处的切线的斜率为 g(x) ，则函数 y g( x)cos x 的部分图象可以为 ( ) y O C. y O y O B. y O D. x x x x A. 9. 若函数 f (x) A． k x3 12 x在区间 ( k 1, k 1) 上不是单调函数，则实数 B． k 的取值范围（ ） 3或 1 k 1或k 3 C． 2 k 2 10. 已知二次函数 3 k 1或1 k 3 D ．不存在这样的实数 k f (x) ) ax2 bx c 的导数为 f '( x) ， f '(0) 0 ，关于任意实数 x 都有 f ( x) 0 ，则 f (1)f '(0) 的最小值为 ( A． 3 B ． 5 C ． 2 D ． 3 2 2 第1页（共 5页） 1 / 5 (完满版)导数习题精选(中档题)(附答案) 二、填空题 11. 函数 y x 2cos x 在区间 [0, 2 ] 上的最大值是 3 12、已知函数 f ( x) x 3 13．已知函数 f ( x) x ax 在 R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 ax 2 bx a 2 在 x=1 处有极值为 10，则 f (2) 等于 __________. 14．已知函数 f (x) 是定义在 R上的奇函数， f (1) 0 ，当 x 0 时， xf ( x) f ( x) ，则不等式 x 2 f (x) 0 的解集是 三、解答题 : 15. 设函数 f(x)＝ sinx－ cosx＋ x＋1, 0 f ( x) ln x x2 bx. 若函数 f (x) 在其定义域内是增函数，求 b 的取值范围； 17. 设函数 f (x) x3 6x 5, x R . （ 1）求 f ( x) 的单调区间和极值； （ 2）若关于 x 的方程 f ( x) a 有 3 个不同样实根，求实数 （ 3）已知当 x (1, 3 2 a 的取值范围 . )时 , f ( x) k( x 1) 恒成立，求实数 k 的取值范围 . 18. 已知 x 1 是函数 f ( x) mx 3(m 1)x nx 1 的一个极值点，其中 m 0, n R . （ 1）求 m 与 n 的关系式； （ 2）求 f (x) 的单调区间； （ 3）当 x [ 1,1]，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ，求 m 的取值范围。 19. 已知函数 f ( x) x2 , g( x) 2a ln x(e 为自然对数的底数） e （ 1）求 F (x) f ( x) g ( x) 的单调区间，若 F ( x) 有最值，央求出最值； （ 2）可否存在正常数 a ，使 f ( x)与 g (x) 的图象有且只有一个公共点， 且在该公共点处有共同的切线？ 若存在，求出 a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明原由。 第2页（共 5页） 2 / 5 (完满版)导数习题精选(中档题)(附答案) 《导数及其应用》参照答案 一、 ： 1-10 ： D D B A A B D A B C 二、填空 ： 11. 3 ； 12.{ a | a 0} 13.18；14.( 1,0) (1, ) 6 三、解答 15. [ 剖析 ]π f′ (x)＝ cosx＋ sinx＋ 1＝ 2sin( x＋ )＋ 1 (0< x<2 π) π 2 4 令 f′ (x)＝ 0，即 sin(x3 ＋ 4)＝－ 2 ， 解之得 x＝ π或 x＝π. 2 x， f′ (x)以及 f(x) 化情况以下表： 3 x (0， π) π( π，π 3 2π)3 2 ( 2π， 2π) f′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 减 3π π＋ 2 2 增 3 3 ∴ f(x) 的 增区 (0， π)和(2π， 2 π) 减区 ( π， 2 π)． 3 3π f 极大 (x)＝ f( π)＝π＋2， f 极小 (x)＝ f(2π)＝ 2 . f x ( ) 16. 由 意：恒 ln x x 2 bx f (x) 在 (0, ) 上 增，f (x) 1 ， x 成立，即 b 1 2x x (0, ) 恒成立， 只需 b ( 1 2x)min ， x x x0 2 2 ，1 2x ，当且 当 x2 取“ =”， b 2 2 ， b 的取 范 x 2 17. 解 : （ 1） f (x) 3( x 2 2), 令 f ( x) 0,得 x1 2, x2 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 ∴当 x 2或 x 2时 , f ( x) 0;当 2 x 2时 , f (x) 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 ∴ f (x) 的 增区 是 ( , 2) 和( 2, ) ， 减区 是 ( 2, 2) ⋯⋯ 3 分 当 x 2, f (x)有极大值 5 4 2 ；当 x 2, f (x)有极小值 5 4 2 . ⋯⋯⋯⋯ 4 分 （ 2）由（ 1）可知 y f ( x) 象的大体形状及走向（ 略） a与 ∴当 5 4 2 a 5 4 2时 ,直线 y y f ( x) 的 象有 3 个不同样交点，⋯⋯ 6 分 即当 5 4 2 a 5 4 2 方程 f ( x) a 有三解 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 （ 3） ( ) ( 1) ( 1)( 2 5) ( 1) f x k x 即 x x x k x ∵ x1,) k x 2 x 5在 (1, 上恒成立 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分 第3页（共 5页） 3 / 5 2x b 0 x (0, ) ( ,2 2) (完满版)导数习题精选(中档题)(附答案) 令 g( x) ∴ g( x) x 2 x 5 ，由二次函数的性 ， g(1) 3, ∴所求 k 的取 范 是 3mx2 6( m 1)x g( x)在 (1, ) 上是增函数， k 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 18. 解：（1） f '( x) n. 因 x 1 是函数 f ( x) 的一 个极 点 .所以 f '(1) 0 即 3m 6(m 1) n 0, 所以 n 3m 6 （ 2）由（ 1）知， f '( x) 3mx2 6(m 1)x 3m 6 3m( x 1)[x 当 m 0 ，有 1 1 2 (1 2 )] m ，当 x 化 ， f ( x) 与 f '(x) 的 化以下表： x m ( ,1 2 m ) 1 2 m (1 2 ,1) 1 (1, ) m + 增 f '(x) f (x) - 0 极小 减 极大 0 - 故由上表知，当 减 . 2 2 m 0 ， f (x) 在 ( 2 ,1 2 减 m ) 减，在 (1 2 m ,1) 增，在 (1, ) 上 （ 3）由已知得 f '(x) 3m ，即 mx 2( m 1)x 2 0 又 m 0 ，所以 x2 2 x (m 1)x 0, x [ 1,1]g( x) m m 2 2 g( 1) 0 1 2 0 所以 m m x 2 2(1 1 )x 2 ，其函数 象张口向上，由 意知①式恒成立， 2 (m 1)x 2 m m 0 ，即 m m 解之得 g(1) 0 1 0 4 m又m 0 所以 3 4 m 3 0 即 m 的取 范 ( ,0) 4 3 19. 解：（ 1） F (x) f ( x) g ( x) 2x 2a x 2( x3 ea) ex ( x 0) e ①当 a 0时 , F ( x) 0 恒成立 ) 上是增函数， 2( x F ( x)在(0, ②当 a F ( x) F 只有一个 增区 （ ea( x ex ea ) (x 0) ， 0，-∞），没有最 ⋯⋯ 3 分 0 ， F (x) 若 0 x 若 x ea ， F ea ， F (x) ( x) 0, F (x)在 (0, ea) 上 减； ) 上 增， 0, F (x)在 ( ea, 当 xea ， F ( x) 有极小 ，也是最小 ， 即 F ( x)min 所以当 a 增区 F ( ea) a 2a ln ea a ln a ⋯⋯⋯⋯ 6 分 (0, ea) 0 ， F ( x) 的 减区 ( ea , ) ，最小 a ln a ，无最大 ⋯⋯⋯⋯ 7 分 （ 2）若 f (x) 与 g( x) 的 象有且只有一个公共点， 第4页（共 5页） 4 / 5 (完满版)导数习题精选(中档题)(附答案) 方程 f (x) g ( x) 0 有且只有一解，所以函数 F (x) 有且只有一个零点⋯⋯⋯⋯ 8 分 由（ 1）的 可知 F (x) min a ln a 0得 a 1⋯⋯⋯⋯ 10 分 x 2 此 ， F (x) f ( x) g( x) 2ln x 0 F (x)min F ( e) 0 e f ( e) g ( e) 1, f ( x)与g ( x) 的 象的唯一公共点坐 又 Q f ( e) g ( e)2 ef (x)与 g( x) 的 象在点 ( e,1) 其方程 y 12 ( x e) ，即 y2 x 1⋯⋯⋯⋯ e e 上所述，存在 a 1，使 f (x)与 g ( x) 的 象有且只有一个公共点 2 程 y x 1. ⋯⋯⋯⋯ 12 分 e 第5页（共 5页） 5 / 5 ( e,1) 有共同的切 ， ( e,1)，且在 点 的公切 方 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容