兴文县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

一、选择题

1． 函数y=ax+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（ ）

A．（0，1） B．（2，1） C．（2，0） D．（0，2）

2． 若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1} 3． 在ABC中，tanAsinBtanBsinA，那么ABC一定是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4． 设,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若l，，则l B．若l//， //，则l C．若l，//，则l D．若l//，，则l 5． 数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（ ） A．

B．20

C．21

D．31

22班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ 6． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为S1、S2、S3，则（ ）

A．S1S2S3 B．S1S2S3 C．S2S1S3 D．S2S1S3 7． 已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x2y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长

2|PQ|等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.

8． 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）

A． B．8 D．

9． 某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ） A． =0.7x+0.35

B． =0.7x+1

C． =0.7x+2.05

D． =0.7x+0.45

C．

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10．已知函数f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，则a的值等于（ ） A．8

B．1

C．5

D．﹣1

＜0的解集为（ ）

11．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

A．（﹣1，0）∪（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

D．（﹣1，0）∪（0，1）

D．∃x∈R，2x2﹣1＞0

12．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ） A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0

二、填空题

13．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t= ．

14．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示． x 0 4 5 ﹣1 f（x） 1 2

2

1 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）的极大值点为0，4； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；

⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．

15．在复平面内，记复数的复数为 ． 16．已知a=

（

+i对应的向量为

，若向量

饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量

所对应

cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是 ．

17．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为

，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为 ．

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18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．

三、解答题

19．计算下列各式的值： （1）

22

（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）．

20．已知函数f（x）=x3+ax+2．

（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；

x2

（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe+m[f′（x）﹣a]≥mx恒成立，求实数m的取值范围．

21．（14分）已知函数f(x)mxalnxm,g(x)（1）求g(x)的极值； 3分

（2）设m1,a0，若对任意的x1,x2[3,4](x1x2)，f(x2)f(x1)5分

（3）设a2，若对任意给定的x0(0,e]，在区间(0,e]上总存在t1,t2(t1t2)，使得f(t1)f(t2)g(x0) 成立，求m的取值范围． 6分

11恒成立，求a的最小值； g(x2)g(x1)xex1，其中m，a均为实数．

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22．已知椭圆：

于M，N两点，且△F2MN的周长为4． （Ⅰ）求椭圆方程；

，离心率为，焦点F1（0，﹣c），F2（0，c）过F1的直线交椭圆

直线l与y轴交于点Pm）B且（Ⅱ）（0，（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，求m的取值范围．

．若，

23．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M． （I）求AM的长；

（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．

24．已知在△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD． （1）求证：AB⊥AC； （2）求向量

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．

25．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1 （1）解关于x的不等式f（x）＞0；

（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

26．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x2cos以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为（

y2sinìïx=2+tcosa为参数，[0,]），直线l的参数方程为í（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的极坐标；

（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

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兴文县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

0

【解析】解：令x=0，则函数f（0）=a+3=1+1=2．

x

∴函数f（x）=a+1的图象必过定点（0，2）．

故选：D．

0

【点评】本题考查了指数函数的性质和a=1（a＞0且a≠1），属于基础题．

2． 【答案】D

【解析】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．

3． 【答案】D 【解析】

试题分析：在ABC中，tanAsinBtanBsinA，化简得

22sinAsinBsin2Bsin2A，解得 cosAcosBsinBsinA即ssinAcosAsinBcosB，ni2Asni2cosAcosBAB所以2A2B或2A2B，即AB或B，

2，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D．

考点：三角形形状的判定．

【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin2Asin2B，从而得到AB或AB题的一个难点，属于中档试题． 4． 【答案】C111] 【解析】

2是试

考

点：线线，线面，面面的位置关系 5． 【答案】C

【解析】解：由an+1=an+2n，得an+1﹣an=2n，又a1=1， ∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1 =2（4+3+2+1）+1=21． 故选：C．

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【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．

6． 【答案】A 【解析】

考

点：棱锥的结构特征． 7． 【答案】A

【解析】过M作MN垂直于x轴于N，设M(x0,y0)，则N(x0,0)，在RtMNQ中，|MN|y0，MQ为圆的半径，NQ为PQ的一半，因此

222|PQ|24|NQ|24(|MQ|2|MN|2)4[x0(y01)2y0]4(x02y01)

222又点M在抛物线上，∴x02y0，∴|PQ|4(x02y01)4，∴|PQ|2.

8． 【答案】C

【解析】

【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值． 【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱

垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，两个垂直底面的侧面面积相等为：8， 底面面积为：另一个侧面的面积为：四个面中面积的最大值为4故选C．

9． 【答案】A

；

=4

，

=4

，

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【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得， =4.5， =3.5． 因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35． 故选A．

【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．

10．【答案】B

【解析】解：∵函数f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，令3x+2=2，解得x=0， ∴a=2×0+1=1． 故选：B．

11．【答案】D

【解析】解：由奇函数f（x）可知而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0， 当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得

＜0，满足； ＞0，不满足，舍去；

＜0，满足；

，即x与f（x）异号，

又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，

当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得故选D．

＞0，不满足，舍去；

所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1． 【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．

12．【答案】C

2

【解析】解：命题p：∀x∈R，2x﹣1＞0，

2

则其否命题为：∃x∈R，2x﹣1≤0，

故选C；

【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；

二、填空题

13．【答案】 0或1 ．

22

【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t﹣t+1=﹣3①t﹣t+4=0，①无解

2

或t﹣t+1=0②，②无解

22

或t﹣t+1=1，t﹣t=0，解得 t=0或t=1．

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故答案为0或1．

【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．

14．【答案】 ①②⑤ ．

【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；

因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；

由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，

根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，

综上正确的命题序号为①②⑤． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．

15．【答案】 2i ．

【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为 （

+i）（cos60°+isin60°）=（

+i）（

）=2i

+i）

，故答案为 2i．

【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（（cos60°+isin60°），是解题的关键．

16．【答案】 240 ．

【解析】解：a=

（

cosx﹣sinx）dx=（

sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2， •2r•x12﹣3r，

2626

则二项式（x﹣）=（x+）展开始的通项公式为Tr+1=

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令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x﹣）展开式中的常数项是

2

6•24=240，

故答案为：240．

【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

17．【答案】 4或 ．

【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=， ∴AC=

，

×

，

22

由余弦定理可得x=9+3x+9﹣2×3×

∴x=1或或AB=2

，

，球O的直径为，球O的直径为．

=4，

=

．

，BC=

∴AB=2，BC=2故答案为：4或

18．【答案】

【解析】解：如图，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上， ∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，

2

再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr=7π，∴r=

．

．

设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为

22

∴r=（）+（

a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，

a）2，即r=a，

∴a=．

=

=．

．

则三棱柱的底面积为S=∴

故答案为：．

=

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【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）==

=5…

…

22

（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）

=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2… =

20．【答案】

2

【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x+a，

．…

即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，

则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1）， 令x=0，得y=为定值；

x2

（Ⅱ）解：由xe+m[f′（x）﹣a]≥mx对x≥0时恒成立， x22

得xe+mx﹣mx≥0对x≥0时恒成立， x2

即e+mx﹣m≥0对x≥0时恒成立， x2

则（e+mx﹣m）min≥0， x2

记g（x）=e+mx﹣m，

g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，

若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴

则有﹣1≤m≤1，

若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数， 则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，

，

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∴

∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，

令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1）， φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，

由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意． 综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．

，

【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．

e(1x)21．【答案】解：（1）g(x)，令g(x)0，得x = 1． xe列表如下：

x 1 （∞，1） （1，∞） 0 g(x)  

g（x） ↗ 极大值 ↘ ∵g（1） = 1，∴y =g(x)的极大值（2）当m1,a0时，f(x)xalnx1，x(0,)．

为1，无极小值． 3分

ex1(x1)1exxa∵f(x)> 0，∵h(x)0在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数． 设h(x)g(x)exx2x在[3,4]恒成立，

∴h(x)在[3,4]上为增函数． 设x2x1，则f(x2)f(x1)于f(x2)f(x1)h(x2)h(x1)， 即f(x2)h(x2)f(x1)h(x1)．

11等价g(x2)g(x1)1ex设u(x)f(x)h(x)xalnx1，则u（x）在[3,4]为减函数．

exxa1e(x1)ex1x1∴u(x)1恒成立． ≤0在（3，4）上恒成立． ∴a≥xe2xexxx1x1ee(x1)1123x1设v(x)xex1，∵v(x)1ex1=1e[()]，x[3，4]， 2xxx241133∴ex1[()2]e21，∴v(x)< 0，v(x)为减函数．

x2442∴v(x)在[3，4]上的最大值为v（3） = 3 e2．

322∴a≥3 e2，∴a的最小值为3 e2． 8分

33（3）由（1）知g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]．

∵f(x)mx2lnxm，x(0,)，

当m0时，f(x)2lnx在(0,e]为减函数，不合题意．

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当m0时，f(x)m(xx22所以0e，即m．①

me22此时f(x)在(0,)上递减，在(,e)上递增，

mm3∴f(e)≥1，即f(e)me2m≥1，解得m≥．②

e13由①②，得m≥．

e12 ∵1(0,e]，∴f()≤f(1)0成立．

m2下证存在t(0,]，使得f(t)≥1．

m2取tem，先证em，即证2emm0．③

m3设w(x)2exx，则w(x)2ex10在[,)时恒成立．

e133∴w(x)在[,)时为增函数．∴w(x)≥w()0，∴③成立．

e1e1再证f(em)≥1．

33∵f(em)memmm≥时，命题成立． 1，∴m≥e1e13综上所述，m的取值范围为[,)． 14分

e122．【答案】

2)m，由题意知f(x)在(0,e]不单调，

【解析】解：（Ⅰ）由题意，4a=4， =∴a=1，c=∴

， =

，

；

，

∴椭圆方程方程为

（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 由

222

得（k+2）x+2kmx+（m﹣1）=0

22222

△=（2km）﹣4（k+2）（m﹣1）=4（k﹣2m+2）＞0（*）

∴x1+x2=﹣∵∴λ=3 ∴﹣x1=3x2

，

，x1x2=， ，

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2

∴x1+x2=﹣2x2，x1x2=﹣3x2， 2

∴3（x1+x2）+4x1x2=0，

∴3（﹣

2

）+4•

=0，

2222

整理得4km+2m﹣k﹣2=0

m2=时，上式不成立；m2≠时，

22

由（*）式得k＞2m﹣2

，

∵k≠0， ∴

＞0，

∴﹣1＜m＜﹣或＜m＜1

即所求m的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、基本性质和直线与椭圆的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点题目，要强化学习．

23．【答案】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点， ∴

； 3分

（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点， 以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系， 可得

，

∴设∴cos＜，

＞=

，

为面BCE的法向量，由

=

，5分 可得=（1，2，﹣

4分

），

，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为

24．【答案】

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【解析】解 （1）∵=（﹣1，﹣2）﹣（2，4）=（﹣3，﹣6），

=（4，3）﹣（2，4）=（2，﹣1）， =﹣3×2+（﹣6）×（﹣1）=0， ∴AB⊥AC． （2）设则

=λ=

=（4，3）﹣（﹣1，﹣2）=（5，5）． =（5λ，5λ） +，

=（﹣3，﹣6）+（5λ，5λ）=（5λ﹣3，5λ﹣6），

由AD⊥BC得5（5λ﹣3）+5（5λ﹣6）=0， 解得λ=∴

=（，﹣）．

【点评】本题考查向量的垂直与共线的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．

25．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax﹣（a+1）x+1＞0，

2

即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1； 当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0， 由1＞可得＜x＜1；

2

当a=1时，（x﹣1）＞0，即有x∈R，x≠1；

当a＞1时，1＞，可得x＞1或x＜； 当0＜a＜1时，1＜，可得x＜1或x＞． 综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}； a＜0时，解集为{x|＜x＜1}； a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}； a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜}； 0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞}．

（2）对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立， 即为ax﹣（a+1）x+1＞0，

2

2

即a（x﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立． 2

设g（a）=a（x﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．

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则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，

22

即﹣（x﹣1）﹣x+1＞0，且（x﹣1）﹣x+1＞0，

即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0， 解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0． 可得﹣2＜x＜0．

故x的取值范围是（﹣2，0）．

26．【答案】

【解析】（Ⅰ）设D点坐标为(2cosq,2sinq)，由已知得C是以O(0,0)为圆心，2为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线OD与直线x+y+2=0的斜率相同，为(-1,1)，极坐标为(2,3，故D点的直角坐标43p)． 422（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

|2k2|1k22

k24k10 k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，则kAB2022,

22故直线l的斜率的取值范围为(23,22].

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