昌邑区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

昌邑区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知圆C1：x+y=4和圆C2：x+y+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ） A．x+y=0 B．x+y=2 C．x﹣y=2 D．x﹣y=﹣2

2． 已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A．

B．

C．

D．

2

2

2

2

3． 点A是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

4． 函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（ ） A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）

5． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

6． 已知抛物线C：y8x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，

2Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ2QF，则直线PF的方程为（ ）

A．xy20 B．xy20 C．xy20 D．xy20

yx,7． 设m1，在约束条件ymx,下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）

xy1.A．(1,12) B．(12,) C. (1,3) D．(3,) 8． 已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

=（ ）

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精选高中模拟试卷

A．﹣1 9． 已知集合

B．2 C．﹣5 D．﹣3

，则

A0或C1或D1或3

B0或3

10．设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

11．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（ ）

A．6 B．9 C．12 D．18

12．已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“log2x1”的概率为（ ）

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A．

1121 B． C． D． 48312二、填空题

13．曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．

14．若函数f（x），g（x）满足：∀x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，则称“f（x）与g（x）fx）=a与g=logax 关于y=x分离”．已知函数（（x）（a＞0，且a≠1）关于y=x分离，则a的取值范围是 ．

15．某城市近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合=0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城

x

市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元． 16．已知x，y满足条件 17．复数z=

，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．

（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．

18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3．

三、解答题

19．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人． （1）求n的值；

（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所 示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

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20．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是

月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）． （1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式； 利润预计最大是多少元？

21．（本小题满分12分）

且x≤12），该商品的进价q（x）元与

（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月

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如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．

（1）求证：BD⊥MC1；

（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．

22．（本小题满分12分）

已知数列an的各项均为正数，a12，an1an（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）求数列

23．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；

（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．

4.

an1an1的前n项和Sn．

an1an第 5 页，共 16 页

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24．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．

14 12 8 6 气温（℃） 用电量（度） 22 26 34 38 ）

（1）求线性回归方程；（

（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

=， =﹣．

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昌邑区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2，设直线l方程为y=kx+b，由对称性可得k和b的方程组，解方程组可得．

【解答】解：由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），

2222

∵圆C1：x+y=4和圆C2：x+y+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，

∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b， ∴

•k=﹣1且

=k•

+b，

解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2， 故选：D． 2． 【答案】D

，

【解析】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为

画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度， ∴△A′B′C′的高为∴△A′B′C′的面积S=故选D．

=

， =

．

【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

3． 【答案】B

【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则 S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r， ∵

∴|AF1|r=2

×|F1F2|r﹣|AF2|r，

|F1F2|．∴a=2=

．

， ，

整理，得|AF1|+|AF2|=2∴椭圆的离心率e==故选：B．

4． 【答案】C

【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，

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∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）． 故选：C．

【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．

5． 【答案】B

【解析】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d， 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d， 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1， 则a﹣2d=a﹣2×故选：B．

6． 【答案】B 【

解

析

】

=

．

考点：抛物线的定义及性质．

【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点． 7． 【答案】A

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【解析】

考点：线性规划.

【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线zxmy截距为

z，作L:xmy0,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线mx0y01zxmy过点A时取最大值，y0mx0可求得点A的坐标可求的最大值,然后由z2,解不等式可求m的范围.

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8． 【答案】C

【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值， 即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，

32

∵f（x）=ax+bx+cx+d， 2

∴f′（x）=3ax+2bx+c， 2

由f′（x）=3ax+2bx+c=0，

=﹣5，

得2+（﹣1）=﹣1×2=

=﹣2，

=1，

即c=﹣6a，2b=﹣3a，

22

即f′（x）=3ax+2bx+c=3ax﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），

则故选：C

=

=

【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．

9． 【答案】B 【解析】

，故

或

。

10．【答案】B

或

，，解得

或

或

，又根据集合元素的互异性

，所以

【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，

∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况， 但5个以上的交点不能实现． 故选B

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．

11．【答案】 输出的a＝18，选D.

法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54，

【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴

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a＝2 016，b＝54，r＝18， a＝54，b＝18，r＝0. ∴输出a＝18，故选D. 12．【答案】C 【解析】

试题分析：由log2x1得0x2,由几何概型可得所求概率为考点：几何概型．

202.故本题答案选C. 303二、填空题

13．【答案】

【解析】由y＝x2＋3x得y′＝2x＋3， ∴当x＝－1时，y′＝1，

则曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线方程为y＋2＝x＋1， 即y＝x－1，设直线y＝x－1与曲线y＝ax＋ln x相切于点（x0，y0），

1

由y＝ax＋ln x得y′＝a＋（x＞0），

x

1a＋＝1

x0



∴y＝x－1，解之得x＝1，y＝0，a＝0. y＝ax＋ln x

00

0

0

0

0

0

∴a＝0. 答案：0

14．【答案】 （

，+∞） ．

【解析】解：由题意，a＞1．

x

故问题等价于a＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立． xx

构造函数f（x）=a﹣x，则f′（x）=alna﹣1，

由f′（x）=0，得x=loga（logae），

x＞loga（logae）时，f′（x）＞0，f（x）递增； 0＜x＜loga（logae），f′（x）＜0，f（x）递减． 则x=loga（logae）时，函数f（x）取到最小值， 故有

﹣loga（logae）＞0，解得a＞

．

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故答案为：（，+∞）．

【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．

15．【答案】 18.2

【解析】解：∵某城市近10年居民的年收入x和支出y之间的关系大致是=0.9x+0.2， ∵x=20， 故答案为：18.2．

∴y=0.9×20+0.2=18.2（亿元）．

【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于 基础题．

16．【答案】 4 ．

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

17．【答案】 ．

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【解析】解：复数z=复数z=故答案为：

=﹣i（1+i）=1﹣i，

．

（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．

18．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．

=6．

=

，

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由题意可得

，∴n=160；

（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种， ∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为

=；

（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，

由条件得到的区域为图中的阴影部分

由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1 ∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为

=

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∴该代表中奖的概率为=．

20．【答案】

【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37. 当2≤x≤12时，

且x≤12）

（舍

22

验证x=1符合f（x）=﹣3x+40x，∴f（x）=﹣3x+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为

g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），

322

令h（x）=6x﹣185x+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得

去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0． 综上，5月份的月利润最大是3125元.

∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．

【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．

21．【答案】

【解析】解：（1）证明：如图，连接AC，设AC与BD的交点为E， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，

又AA1⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD； 又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1， 又MC1⊂平面A1ACC1，∴BD⊥MC1.

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（2）∵AB＝BD＝2，且四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AE＝2

AB2－BE2＝23，

又△BMC1为等腰三角形，且M为A1A的中点， ∴BM是最短边，即C1B＝C1M. 则有BC2＋C1C2＝AC2＋A1M2，

C1C2

即4＋C1C2＝12＋（），

2

46

解得C1C＝，

3

所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝S菱形ABCD×C1C 1146＝AC×BD×C1C＝×23×2×＝82. 223即四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为82. 22．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由an1an422a2得an1an4，∴n是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）

an1an2∴an44(n1)4n，由an0得an2n． （6分）

（Ⅱ）∵

111(n1n)， （9分）

an1an2n12n2 ∴数列1的前n项和为

an1an1111(21)(32)(n1n)(n11)． （12分） 222223．【答案】

【解析】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3； 由已知

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2； 所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；

当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增； 所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立 只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜故c的取值范围是{c|c

或c＞1．

或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

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【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．

24．【答案】

【解析】解：（1）由表可得：又∴

∴线性回归方程为：

，； ；

；

；

（2）根据回归方程：当x=10时，y=﹣2×10+50=30； ∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．

【点评】考查回归直线的概念，以及线性回归方程的求法，直线的斜截式方程．

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