3双曲线例题精选

教学目标

知识与技能：理解椭圆方程的概念，掌握求双曲线的方程的一般方法和步骤； 过程与方法：通过例析分析，讲练结合；

情感态度与价值观：培养学生数形结合的意识与能力。 教学重点：理解双曲线的概念和双曲线方程的标准式； 教学难点：求双曲线的标准方程

考点链接：适当建立坐标系，用代数方法研究双曲线性质 典例分析

例1(1)若θ是任意实数，则方程x2+4y2cos=1所表示的曲线一定不是 ( ) A．圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 (2)x2y21(p0,q0)pq表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）

x2y2x2y2A．1 B．1

2qpq2qppx2y2x2y2C．1 D．1

2pqq2pqpx2y21(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为_____________. (3)2a9(4)过点

(22,3)的双曲线C的渐近线方程为

3P为双曲线C右支上一

yx,2点，F为双曲线C的左焦点，点A(0,3),则的最小值为 .

PAPFx2y2(5)F1,F2是双曲线1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离是9，

2520则点P到焦点F2的距离是 . (6)与

x24y24有共同的渐近线，并且经过点(2,3)的双曲线是 。

x2y2例2. 命题p：方程1表示焦点在x轴上的双曲线。命题q:曲线

2mm2与x轴交于不同的两点，若pq为假命题，pq为真命题，yx2(2m3)x1求实数m的取值范围。

例3. 已知定点A(－2,0)和B(2,0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2. （1）求曲线E的方程；

（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值； （3）若直线l的方程为x＝a(a≤

1)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某2一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。

x2y21所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题例4. 已知命题p：方程

3tt1q：实数t满足不等式t2(a1)ta0.

（1）若命题p为真，求实数的取值范围；

（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

x2y2例5.y2px(p0)的焦点为双曲线221(a0,b0)的一个焦点，且两条曲线

ab2都经过点M(2,4).

（1）求这两条曲线的标准方程；

（2）已知点P在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点P 的坐标.

y2例6.已知双曲线x－＝1.

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(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P(2,3)，求椭圆方程．

(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；

(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．

思维训练

x2y21.已知双曲线221a0,b0的左右焦点分别是F1,F2，设P是双曲线右支

ab上一点，F1P，且它们的夹角为arccos1F2在F1P上的投影的大小恰好为F曲线的渐近线方程为

4，则双52.已知双曲线

（1）求双曲线的方程； （2）若

的一条渐近线方程为，左、右顶点

分别为A、B，右焦点为F，|BF|=1，过F作直线交此双曲线的右支于P、Q两点．

，求△PBQ的面积S．

x2y21的焦点到渐近线的距离等于 ． 3.双曲线49ax2y24.已知双曲线221（a0，b0）满足

bab

10，且双曲线的右焦2点与抛物线y243x的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．

5.双曲线

mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .

6.已知双曲线x2-y2=2若直线n的斜率为2 ，直线n与双曲线相交于A、B两点，线段AB的中点为P，

(1)求点P的坐标（x,y)满足的方程（不要求写出变量的取值范围）；

(2)过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线m交双曲线于M、N两点，期中

,3（，），F2是双曲线的右焦点，求△F2MN的面积S关于倾斜角的表达

44式。

挑战自我

1.已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P满足|PA|－|PB|＝2，则动点P的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点的充要条件为k∈________.

2.已知双曲线（1）若定点

（其中

）.

，求的值；

、

两点，其中

到双曲线上的点的最近距离为

，作倾斜角为

（2）若过双曲线的左焦点

，

的直线交双曲线于

的面积

.

是双曲线的右焦点.求△

y23.已知点F1、F2为双曲线C：x21b0的左、右焦点，过F2作垂直于x轴

b2的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且MF1F230．圆O的方程是

x2y2b2．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求PP1PP2的值；

（3）过圆O上任意一点Qx0,y0作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中

点为M，求证：AB2OM．

4.已知双曲线．

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记

．求λ的取值范围；

（3）已知点D，E，M的坐标分别为（-2，-1），（2，-1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．