解三角形三类经典题型

222解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC，∴ sinB=sinC ∴ B=C

22222由 sinAsinBsinC 得 abc ∴三角形为等腰直角三角形．例２：在△ABC中，若Ｂ=60，２b=a+c,试判断△ABC的形状.

222∴A+3090,即A60,所以三角形为等边三角形.

解：法1：由题意得 sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A+2B=π ∴A=B或AB a2c2b2aa2sinAcosBa22ac法2：由已知得结合正、余弦定理得，sinBcosAb2b2c2a2b2b2bc整理得(ab)(abc)0 ∴ ab或abc22222 sinAcosBsin2A，化简整理得sinAcosA=sinBcosB即sinBcosAsin2B tanAa2例3：在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状．tanBb22，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．

2 由三角形内角和定理知sinA+sin(120A)=3,整理得 sin(A+30)=1

解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=60得sinA+sinC=3222 即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在△ABC中，（1）已知sinA=2cosBsinC，试判断三角形的形状；

（2）已知sinA=

sinBsinC，试判断三角形的形状．

cosBcosC解：(1)由三角形内角和定理得　sin(B+C)=2cosBsinC

整理得sinBcosC－cosBsinC=0即sin(B－C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形.(2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，结合正、余弦定理得

2 例1：已知△ABC中,bsinB=csinC,且sinAsinBsinC,试判断三角形的形状．

a2c2b2a2b2c2aabc，化简整理得 (a2b2c2)(bc)02ac2ab∴abc即三角形为直角三角形．

例5：在△ABC中，（1）已知a－b=ccosB－ccosA，判断△ABC的形状．

（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC的形状．

222(ab)(a2b2c2)0 ∴ab或a2b2c2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形

（2）由b=asinC可知

b2c2a2，即三角形一定是直角三角形，∠A=90，∴sinC=sinB∴∠B=∠C，∴△ABC

4，且(a2):b:(c2)1:2:3，判断三角形的形状．5例6：已知△ABC中，cosA解：由题意令a2k,b2k,c23k(k0)，则ak2,b2k,c3k2∵cosA角三角形．

4222,由余弦定理得k4 ∴ a6,b8,c10 ∴ abc即△ABC为直5Abc，则△ABC的形状为22c______

8.在ABC中，若

1、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c满足

类型二 求范围与最值

tanA2cb,，则A= tanBb7.在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，cos2b2c2a2bc，ABBC0,a bc2、在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为a，b，c，则c＋b的

最大值是________．

11a2

解析　因为AD＝BC＝a，由2a2＝2bcsin A，解得sin A＝bc，再由余弦定理得cos A＝

为等腰直角三角形．

3,则bc的取值范围是 2 bsinBa2c2b2sinC，由c=acosB可知ca整理得asinA2ac a2c2b2b2c2a2解：（1）由已知结合余弦定理可得abc，整理得c2ac2bc b2＋c2－a2bc21bca1bc2bc(sinA)，得c＋b＝2cos

2cbbc2cbA＋sin A，又

A∈(0，π)，最大值为 5解析几何或者几何法

1解析几何法：ABC,BC2,AB3AC,求面积的最大值。ABC2几何法：ABC，知道BC=4，AC=23，求B的范围。方程有解，利用判别式求范围。

附例：

4、已知ABC中，B=

35、借力打力型求取值范围附例：钝角三角形中，B

3，若最大边和最小边长的比为m，则m的取值范围是

设钝角三角形的另外两个角是

33AcB

a

b7、在△ABC中若C2B,则8、已知ABC中，B=

3,b3，且ABC有一解，则边a的取值范围是

11、在锐角ABC中，BC1，B2A，则AC的取值范围为 .

12、设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，A2C，则sinA:sinB:sinC为 14、在锐角三角形ABC中，A2B，则

10、钝角三角形ABC的三边长为a,a+1,a+2(aN)，则a=

9、已知ABC中,ax,b2,B45,若该三角形有两解,则x的取值范围是

C

AB的取值范围 AC 6、已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是

+，-b11的取值范围是 (,) bc32  ,b3，且ABC有两解，则边a的取值范围是

c2(ab)215、在锐角三角形ABC中，S，C既不是最大角，也不是最小角，求k

k值取值范围________. k4tan3、在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝

2，∠ADB＝135°，若AC＝

sinA∶sinB∶sinC＝________.

解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k＞0)，753

解得a＝2k，b＝2k，c＝2k，∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.答案：7∶5∶34、钝角三角形边长为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．

3313AC解析：由正弦定理得：sinC＝sinB，sinB＝ABsinC＝3·2＝2，所以B＝60°或120°.11

当B＝60°时，S△＝2AB×AC＝2·3·3

931＝2AB×AC·sin30°＝4.

9393答案：2或48、仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入

933＝2；当B＝120°时，S△

AB ba附例：在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＋b＝6cos

5、在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大内角为120，则a= .

6、如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是________．

7、在△ABC中，若C＝30°，AC＝33，AB＝3，则△ABC的面积为________．

AC 0 aC，则

BD＝________.

tan Ctan Ctan A＋tan B的值是____4____

9 海上有A、B两个小岛，相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60º的视角，从B岛望C

岛和A岛成75º的视角；则B、C间的距离是　　　　　　　　　海里.

类型三 求值专题

1、在△ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是 .2、在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则

C,C(45,90)，k(424,4) 216. 在钝角三角形ABC中，已知a1,b2,则c的取值范围为 (1,3)(5,3)

2AB，则

10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是　　　　　　　小时.11、在ABC中，若A＝600，a23，则

.4513、在ABC中，在ABC中，若

tanA2cb,，求A. tanBbsinA2sinCsinB2sinC解：由正弦定理知c2RsinC，bsinB，cosA1sinBsinBsinBcosBsin(AB)2sinCsinC2sinCsinAcosB2sinC，，，1sinBcosAsinBsinBcosAsinBcosAsinBsinB1cosA ，A.

23 a2b3c__________． 4

sinA2sinB3sinC112、在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为s(a2b2c2),则角C为

4