数学破题36计_第11计___耗子开门___就地打洞

本站投稿专用信箱：ks5u@163.com，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 数学破题36计 第11计 耗子开门 就地打洞 ●计名释义

《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.

庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.

数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.

●典例示范

【例1】 已知f (x)=312x，判定其单调区间.

【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来. 【解答】 设x1312x -

312x.

【插语】 x1，x2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”. 【续解】

312x1312x2

22(312x1312x2)(3(12x1)3(12x1)(12x2)3(12x2))=

3(12x1)3(12x1)(12x2)3(12x2)322

易知3(12x1)故有原式=

23(12x1)(12x2)(12x2)=△>0.

22(x1x2)<0.

故f (x)=

312x的增区间为（-∞,+∞).

【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.

【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.

（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望； （Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.

【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=

C4C36315;

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C4C2C362135；P (ξ=2)=

C4C2C361215，故ξ的分布列是：

1 2 15ξ P （Ⅱ）ξ的数学期望是： Eξ=0×

150 15 35 +1×

35+2×

15=1.

45(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=【例3】 （04·上海，20文）如图 ，直线y=

12.

x与抛物线y=

18x2 - 4交于

A、B两点，线段AB的垂直平分线与 直线y= -5交于点Q. (1)求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于AB下方 （含点A、B）的动点时， 求△OPQ的面积的最大值.

【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图 思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.

12yx4,82【解答】 （1）由x4x320.

y1x2x1x22设AB中点为M（x0，y0），则x0 =2，y0=

12x0=1.

故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐

标为(5,-5).

(2)由（1）知|OQ|=52为定值. 设P(x，

18x2-2)为抛物线上AB上一点，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ

的方程为：

x+y=0，点P到直线OQ的距离：

|x18x2|222d=

|(x4)48|82，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠43-4，为

使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =62.

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12·|OQ|·dmax=

12·52·62=30.

【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA·tanC的值.

【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA. 不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A, ∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C， 则有：

12sinα+

12sinγ=sinβ，

即sin2A+sin2C=2sin2B.

2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图 ∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).

∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0. 3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.

【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.

●对应训练

1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中， O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在 棱CC1上，且CC1= 4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所

成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）设O点在平面D1AP上的 射影是H，求证：D1H⊥AP；

（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图 2.证明不等式：112131n2n (n∈N+).

1,•，f (x)=3.设x∈•434sin2xcos233xsin222x，求f (x)的最大值与

4最小值.

4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u=

11111的最小值. xyz1●参考答案

1.建立如图的空间直角坐标系，有：

A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1.

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41717.

∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.

17.

∵D1B1=（4,4,0)，AP=（-4,4,1）, ∴D1B1·AP=-16+16+0=0.

即AP⊥D1B1，也就是A1D⊥D1O. 第1题解图 已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)

（Ⅲ）在DD1上取|DQ|=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离， ∵S△AD1Q =

1212|AC1|·|QR|=]|AD|·|D1Q|.

322.

322.

即：42·|QR|= 4×3，∴|QR|=

已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为

点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法. 2.只须证

1212212212312n1nnn,

右式=

12111121121231n1n

=(21)(312n.

2)(nn1)

=n12∴12212312nn,成立，从而1+

1212131n2n.

3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin2x3. +86当x∈4•,••,••,•时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时, 3362334高考资源网——提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题

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348，当x=

4时,［f (x)］max =-2xyz38.

4.注意到

1x11xxyzx，同理：

1y12xyz，

1z12xyz，

∴u≥

8xyzxyz=8.