实际问题与二次函数的应用

实际问题与二次函数

重点：懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；会应用二次函数的性质解决问题． 难点：会建立直角坐标系解决实际问题；会解决桥洞水面宽度问题．

课前练习：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？

解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．

（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．

例1.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？

例2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：

上市时间x/（月份） 1 2 9 3 7.5 4 6 5 4.5 6 3 市场售价P（元/千克） 10.5 这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，

这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．

（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式； （2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；

（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？ （收益＝市场售价－种植成本）

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练1：某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：

（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？

2．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．

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3．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－ x，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，

4这时水面离桥拱顶端的高度h是（ ）

A．3m

B．26 m

C．43 m

D．9m

4．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为46 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为43 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？

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课后作业：

1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y

＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值； （2）求支柱MN的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），

图①

其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥

280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

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综合应用练习题：

1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（ ）

2．如图：（1）当x为何范围时，y1＞y2?

（2）当x为何范围时，y1＝y2? （3）当x为何范围时，y1＜y2?

3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝____________．

13．若A（－ ，y1），B（－1，y2），C（ ，y3）为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，

43则y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1

C．y3＜y1＜y2

D．y2＜y1＜y3

5．抛物线y＝(x－2) (x＋5)与坐标轴的交点分别为A、B、C，则△ABC的面积为__________．

6、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于点C．

（1）求b、c的值；

（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试

确定△MCD的形状．

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