初中数学竞赛专题：反证法与同一法(有答案)

板块一 反证法

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反证法

反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性,先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的目的,这种方法就是反证法．

反证法的逻辑根据是“排中律”.对于同一思维对象,所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．

用反证法证明一个命题的正确性的步骤,大体上分为. （1）反设.假设结论的反面成立；

（2）归谬.由反设及原命题的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾； （3）结论.否定反设,肯定原命题正确．

按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．

1．若结论的反面只有一种情形,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．

2．若结论的反面不只一种情形,那么,要将各种情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法．

夯实基础

【例1】 设

2，0是一次函数yaxba0上一点,试证yaxb的图象至多只能通过一

个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．

【解析】 将x2,y0代入yaxb,得b2a,于是yax2,设yaxba0的图

y2,则x1、y1、x2、y2都是有理数,且 象上有两个不同的有理点x1，y1、x2，y1ax12 

y2ax22xyx2y1消去a,变形得122 y2y1

因为x1x2,则y1y2,所以上式左端是有理数,它不可能等于无理数,故yaxba0的图象至多只能通过一个有理点．

【备选】 求证: 平面上任意两个不同的整点到点P(2,3)的距离都不相等． 【解析】 假设结论不成立,则平面上两个不同的整点A(a,b)、B(c,d)（其中a、b、c、d都是

整数）使得APBP．

由AP2BP2可得(a2)2(b3)2(c2)2(d3)2,

即2(ac)22(bd)3a2b2c2d2,

从而8(ac)212(bd)28(ac)(bd)6(a2b2c2d2)2, 进而可得8(ac)(bd)6(a2b2c2d2)28(ac)212(bd)2, 因此(ac)(bd)0．

⑴ 若ac0,则bd0,从而ac,bd,A、B重合． ⑵ 同理,若bd0,A、B重合．

习题1. 若a0,则关于x的方程axb0的解是唯一的．

b【解析】 因为a0,则x是axb0的一个解,

a假设axb0的解不是唯一的,不妨设x1、x2都是axb0的解,这里x1x2,则 ax1b0 ①

ax2b0 ② ①②得 ax1x20

由于x1x2,所以x1x20,则a0,这与a0矛盾． 故若a0,则x的方程axb0的解是唯一的．

【点评】证明的第一行是说明解的存在,在这种情况下,结论“解是唯一的”的否定是“至少有两

个解”,但本题的反设是“若x1、x2（x1x2）是axb0的解”,其实,这里省去了“只要有两个不同的解,就能导出矛盾,当然不可以有更多的不同的解”的推理．

【例2】 平面上有一点P及△ABC,若PBPCABAC,求证.点P在△ABC外部． 【解析】 假设点P不在△ABC外部,则有如下几种可能.

⑴ 若点P在BC边上（如下左图）．

由PBPCBCABBC,与已知矛盾,所以点P不可能在BC边上． ⑵ 若点P在AC（或AB）边上（不包括端点）（如下中图）,则PBABAP

所以PBPCABAPPCABAC

与已知矛盾,所以点P不可能在AC（或AB）边上．

AAPPDCABPCBCB

⑶ 若P与A重合,显然PBPCABAC,与已知矛盾,故点P不可能是A点． ⑷ 若点P在△ABC内（如上页右图）,延长BP交AC于D,则

ABADBPPD ① PDDCPC ②

①+②得ABADPDDCBPPDPC

即ABACPBPC,与已知矛盾,所以点P不在△ABC内． 由以上⑴～⑷知,点P必在△ABC外．

习题2. 如右图,在凸四边形ABCD中,若ABBD≤ACCD,求证.ABAC．

DABC

【解析】 设AB≥AC,则ACB≥ABC,因为ABCD是凸四边形,所以

BCDACB,ABCDBC,则BCDDBC,于是BDCD,故ABBDACCD,与已知条件矛盾,因此,ABAC得证．

习题3. 在同一平面内有四条直线a、b、c、d,若a与b相交,ca,db,则c与d也相交． 【解析】 假设c∥d,因为ac,所以ad,又因为bd,所以a、b平行,这与已知条件a与b相交

矛盾,故c与d也相交．

探索提升

【例3】 在四边形ABCD中,OAOC,ABCADC,求证.ABCD是平行四边形．

ADAD

OB'O

【解析】 若OBOD,则显然ABCD是平行四边形．

若OBOD,不妨设OBOD,则在OB上取点B',使得OB'OD,连结AB'、B'C,则四边形AB'CD是平行四边形,则ADCAB'CABC,矛盾！ 故ABCD是平行四边形．

习题4. 已知在四边形ABCD和A'B'C'D'中,ABA'B',BCB'C',CDC'D',DAD'A',且

AB∥CD,B'C'∥D'A'．证明.这两个四边形都是平行四边形．

BCBC

AEDA'D'BCB'FC'

【解析】 显然,若ABCD则结论成立．

否则,不妨设ABCD,BCDA．

如图,在线段BA上截取BECD,连结DE； 则四边形EBCD是平行四边形,DEBC． 同样,在线段B'C'上截取B'FA'D', 则A'B'FD'是平行四边形,D'FA'B'．

那么ABCDAEEDADBCADB'C'A'D'FC',

D'FC'D'A'B'C'D'ABCD,矛盾!

即两个四边形均是平行四边形．

非常挑战

【例4】 G是△ABC的重心,若ABGCACGB,则ABAC．

A

AC'GBCGBC

【解析】 若ABAC,不妨设ABAC,通过倍长中线可得CAGBAG,

作点C关于AG的对称点C',则由“8字模型”,ABGC'AC'GB, 可得ABGCACGB,矛盾！故ABAC．

【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理.内角平分线相等的三角形是等腰三角形．

M

AFDEBC【解析】 如图,若ABAC,则

一方面, ACBABC,DCBEBC,

在△DBC和△EBC中,CDBE,BCCB于是BDCE ……① 另一方面,作□DBEF,则BEDF,又BECD ∴△FDC为等腰三角形,其中DFDC ∴FCDDFC,而ABEACD

∴EFCECF,从而ECEFBD ……② 综合①、②,矛盾．

【备选】 设凸五边形ABCDE的各边相等,并且A≥B≥C≥D≥E,

求证.此五边形是正五边形．

D

DECEC

【解析】 假设AE,那么在△BAE和△AED中,由BAEAED可得BEAD；因此,在

△ABD和△EBD中,由BEAD可得BDEABD．另外,由BCCD可得BDCCBD,结合BDEABD可得CDECBA,而这与已知条件BD矛盾．所以AE,结合已知条件可得ABCDE,得证．

本题中,多次使用了“两边对应相等的两个三角形中,夹角越大,则第三边也越大；反之亦然”这一定理．

ABAB

板块二 同一法

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同一法

在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时,使用此法往往可以克服这个困难．

用同一法证明的一般步骤是:

(1)不从已知条件入手,而是作出符合结论特性的图形； (2)证明所作的图形符合已知条件；

(3)推证出所作图形与已知为同一图形．

探索提升

【例6】 在等腰△ABC中,ABAC,A36,D是AC上的一点,满足ADBC；求证.（1）

（2）BDBC． ABDCBD；

A

D

【解析】 由点D的唯一性,利用同一法可以轻松解决问题．

【例7】 在△ABC中,D是BC边上一点,B40,BAD30,ABCD,求C．

BC

AA

【解析】 在BC所在直线上找点C',使得AC'AB,连结AC'

则C'40,ADC70,那么DAC'70,由此DC'AC'ABDC,即C、C' 重合．所以C40．

习题5. 在△ABC中,D是BC边上一点,B42,BAD27,ABCD,求C．

BDCBDC'A

【解析】 说明.答案为42；题目可进一步变成“在△ABC中,D是BC边上一

点,B,BAD,32180,ABCD,求C”．

【备选】 在梯形ABCD中,AD∥BC,BC90,E、F分别是AD、BC的中点,

1求证.EFBCAD．

2PBDCAEDAE'D

【解析】 延长BA、CD交于点P,连结PF交AD于点E',利用线束定理容易证明E'即为AD的

11中点,那么E、E'重合,则EFPFPEBCAD,得证．

22

BFCBFC非常挑战

1【例8】 在△ABC中,AD是角平分线,I是AD上一点,且BIC90BAC,则I为△ABC2的内心．

1【解析】 设I'为三角形的内心,显然I'必在AD上,且BI'C90BAC．若点I在AI'上,

2

11易得BIC90BAC；若点I在I'D上,易得BIC90BAC．所以,点I与

22点I'重合,即I为三角形的内心．

习题6. 如图,I是△ABC的BAC的角分线上一点,直线MN过点I,与AB、AC边分别交于点

M、N,且ABINIC,ACIMIB．求证.I是△ABC的内心．

AMINBC

【解析】 BIC180MIBNIC190BAC,结合上题结论可知,I是△ABC的内

2心．