2014年北京市中学生数学竞赛(初二)

一、选择题（每小题5分，共25分）

a4a2b2b43ab=（ ） 1.若ab5，则22aabbA．5 B.

3555 C. 25 D. 222.已知一个面积为S且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A的小正六边形的顶点. 则

A=（ ） S2311A． B. C. D.

22433.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）

A．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998

1在平面直角坐标系xOy的x75第一象限上图象的两点，满足y1y2，x2x1. 则SAOB（ ）

2310111213A．2 B. 2 C. 2 D. 2

111213144.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分）

1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个. 2.

[2013][2014][2015][2016][2014][2015] （[x]表示不超过实

数x的最大整数）.

3.在四边形ABCD中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= . 4.已知M是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M的“好数”.则M的好数有 个. 5.设由1～8的自然数写成的数列为a1，a2，…，a8.则

a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6+a6a7+a7a8+a8a1的最大值为 .

三、（10分）已知a2(bc)b2(ca)c2(ab)0.证明：a，b，c三个数中至少有两个相等.

四、（15分）在凸四边形ABCD中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC平分∠BCD.

五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？

参

一、选择题（每小题5分，共25分） 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 D 5.设2 015个整数为x1，x2，…，x2015.记x1+x2+…+x2015=M.不妨设M-xi=i（i=1，2，…，2014），M-x2015=A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当xi=1008-i（i=1，2，…，2014），x2015=1时取到. 二、填空题（每小题7分，共35分） 题号 答案 1 9 883 2 1 113 9141 4 4 5 32 4.M=2332571113，则M的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即5.由题意记

S=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6+a6a7+a7a8+a8a1. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如84+47+71+15+52+26+63+38=32. 三、由左边进行因式分解得到(ab)(bc)(ac)0即可.

四、提示：作点B关于AC的对称点E，连接AE、BE、DE.则△ABE为正三角形，下面证明E、D、C三点共线即可.可设∠DBE=，可得到∠EDA=30°. 五、设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为

1x1x2xn1xn2014.

MMMM、、、. 231113依题意知Skx1x2xnxk(k1,2,,n)Z.

n1xjxin1Z.

对任意i,j(1ijn)均有SiSj于是，xjxin1.

故xnx1(xnxn1)(xn1xn2)(x2x1)(n1)2

(n1)2xnx12013n45.

由于

20141为整数，从而，n1为2013的约数. n1注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n的最大值为34，即参赛选手最多有34名.

这样的34名选手的号码是可以实现的.如xi33i32(i1,2,,33),x342014. 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.