绝对值的应1

绝对值的应用

绝对值是初中数学的一个重点内容，也是学习的一个难点。数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。它的应用较为广泛，下面举例说明。

一、求一个数的绝对值 例1. 求下列各数的绝对值。 （1）18；（2）；（3）0

分析：一个数的绝对值与这个数之间的关系有三种： ①正数的绝对值是它本身； ②负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0。

解：（1）因为18是负数，所以18的绝对值等于18，即1818。 （2）因为是正数，所以的绝对值等于，即（3）0的绝对值等于0，即00。

说明：①一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。

②求一个数的绝对值，首先要对这个数作出判断：是正数还是负数或

者0；然后再选择一个数的绝对值与这个数之间的某种关系；最后写出结果。必须注意，求一个数的绝对值不能误认为就是去掉这个数前面的符号。当一个数是用字母表示的数，如a，并没有aa，同样，对于b，也没有bb。

3535353533。 55

二、已知一个数的绝对值，求原数

例2. 一个数的绝对值等于5，这个数是__________。

分析：根据绝对值的定义，到原点的距离是5的数有两个，从原点向左侧移动5个单位，得数5；从原点向右侧移动5个单位，得数5。

解：5与5。

说明：已知一个数的绝对值求原数，解题思路是根据绝对值的定义，借助数轴的直观性，在原点的两侧分别求解。必须注意，绝对值是正数的原数是双解。这里极易漏掉负数解。

三、比较有理数的大小 例3. 比较大小：2334233。 4分析：与都是负数，应根据两个负数比较大小的依据“两个负数，绝对值大的负数小”进行比较。又由于这两个数的绝对值是异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分。

解：因为228 331289339，而 121244122334所以

说明：两个负数比较大小的步骤是： ①先求绝对值； ②再比较绝对值；

③最后比较负数的大小。 四、求值

例4. 已知x4y10，求xy的值。

分析：根据绝对值的定义可知，任何有理数的绝对值都是非负数（正数和零）。 于是x40，y10

而已知x4与y1的和为0，所以只有每个非负数都等于0， 即x40且y10，进而求出x、y的值。 解：因为x40，y10 又x4y10 所以x40，y10 所以x4，y1 所以xy413

说明：几个数的绝对值等于0，则其中每个数的绝对值都等于0，这是非负数的一个重要性质。

例5. 已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b的值。 解：∵|a|＝3，|b|＝2， ∴ a＝3或-3，b＝2或-2 因此a，b的取值应分四种情况：

a＝3，b＝2或a＝3，b＝-2或a＝-3，b＝2或a＝-3，b＝-2， 从而易求a+b的值分别为5，1，-1，-5

解这类问题，要正确组合，全面思考，谨防漏解。

例6.数a在数轴上表示3，点b距点a有5个单位长度，求点b表示的数。

解：当点b在点a右边时，有3b8

当点b在点a左边时，有3b5 即 |b-3|=5 b=8 或 b=-2

五、求特殊数

例7. 求绝对值小于4的所有整数。

分析：根据绝对值的定义可知：要求的整数在数轴上离开原点的距离小于4，借助数轴容易求出。

解：0、1、2、3。

说明：符合题意的整数有7个，除了0以外，其余的数都是以互为相反数的形式出现，这里极易漏掉0。

六、化简代数式

例8、化简x2x3x5

分析：要去掉三个绝对值符号，就要同时确定三个绝对值符号里的代数式的正负性，可采用零点分段法讲数轴分成四段再化简。

解：由x+2=0,x-3=0,x+5=0,分别求得零点值x=-2，x=3，x=-5 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

当x≤-5时， 原式=-(x+2)+[-(x-3)]+[-(x+5)]=-4-3x

当-5＜x≤-2时，原式=-(x+2）+[-(x-3)]+ (x+5)=6-x 当-2＜x≤3时， 原式=x+2+[-(x-3)]+ (x+5)=10+x

当x＞3时， 原式= x+2+(x-3) + (x+5)=4+3x 例9.数a,b,c在数轴上的位置关系如图：

化简 |b-a|-|b-c|+|c-a|

解： 由图可知 a>b>0>c c-a<0 b-a<0 b-c>0 故原式=-（b-a）-(b-c)+[-(c-a)] =-b+a-b+c-c+a =2a-2b 七、求最大值、最小值 例10、求|x-1|+|x-3|的最小值。 解法一：利用绝对值的代数意义。 当x＜1时，原式=1-x+3-x=4-2x＞2 当1≤x≤3时，原式=x-1+3-x=2 当x＞3时，原式=x-1+x-3=2x-4＞2

所以|x-1|+|x-3|的最小值为2。 解法二：利用数轴解题

在数轴上表示出实数1、3的对应点A、B，式子|x-1|+|x-3|表示实数x表示的点P到A、B的距离之和，由图可知：

-2 -1 0 A 1 2 B 3 当点P位于线段AB上时，PA+PB取最小值2. 所以|x-1|+|x-3|的最小值为2。

例11. 已知：|x-2|+x-2＝0，

求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。

分析：运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)

根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，

∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 八、在实际中的应用

例12. 有一只小昆虫在数轴上爬行，它从原点开始爬，“＋”表示此昆虫由数轴向右，“－”表示此昆虫由数轴向左，总共爬行了10次，其数值统计如下（单位：cm）：

1 32 23 34 15 26 27 18 19 310 2 如果此昆虫每分钟爬行4 cm，则在此爬行过程中，它用了几分钟？ 分析：根据时间＝路程÷速度，已知昆虫爬行的速度是每分钟4 cm，要求爬行的时间，须求出总路程，即此昆虫在爬行过程中每次爬行的距离之和，而要求每次爬行的距离，就是求各数的绝对值。

解：路程＝3231221132

＝3231221132 ＝20

所用时间＝20÷4＝5（分钟）

答：在此爬行过程中，它用了5分钟。

说明：本例中路程与数据的正负性无关，因此只要考虑数据的绝对值。