离散数学代数系统练习

1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。

（ ）

（A）0,1 （B）1,2 （C）2nnN （D）2nnN 2、在自然数集N上，下面哪种运算是可结合的？

（ ）

（A）ab （B）max(a,b) （C）a2b （D）ab 3、有理数集Q关于下列哪个运算能构成代数系统？ （A）aba

b （ ）

（B）ablna2b21

（D）ababab

（ ）

（C）absinab

4、下列运算中，哪种运算关于整数集I不能构成半群？

（A）abmaxa,b （B）abb （C）ab2ab （D）abab 5．设代数系统A，·，则（ ）成立.

A．如果A，·是群，则A，·是阿贝尔群 B．如果A，·是阿贝尔群，则A，·是循环群 C．如果A，·是循环群，则A，·是阿贝尔群 D．如果A，·是阿贝尔群，则A，·必不是循环群

6．设L,,是格，L，≤是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立.

A．对任意a,bL,a≤babb B．对是可分配 C．,都满足幂等律

D．L,≤的每对元素都有最小上界与最大下界 7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.

8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( )

9. 6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 (A) 2阶 (B) 3 阶 (C) 4 阶 (D) 6 阶 10. 下列哪个偏序集构成有界格（ ） (1) （N,） (2) （Z,）

(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),) 11. 下面代数系统中（G、＊）中（ ）不是群

A、G为整数集合 ＊为加法 B、G为偶数集合 ＊为加法 C、G为有理数集合 ＊为加法 D、G为有理数集合 ＊为乘法 12. 设 是阶大于1的群，则下列命题中（ ）不真。 A、存在零元 B、存在幺元 C、G中每个元素都有逆元 D、运算＊是可结合的 13. 若是的真子群，且｜H︳= n｜G︳= m, 则有 A、n整除m B、m整除n

C、n整除m且m整除n D、n不整除m且m不整除n 14. 设L,≤是一条链，其中｜L︳≧3，则L,≤是（ ） A、不是格 B、有补格 C、分配格 D、布尔格

(A) (B) (C) (D) 15. 只含有限个元素的格称为有限格，有限格必是（ ）

A、有界格 B、有补格 C、分配格 D、布尔格 16、设L,≤是有补格有界格，若它也是有补格，只要满足（ ） A、每个元素都有一个补元 B、每个元素都至少有一个补元 C、每个元素都无补元 D、每个元素都有多个补元 二、填空

1. 设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是 ，零元是

2. 设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元 是 ，零元是 ； 3. 设〈G,*〉是一个群，则

(1) 若a,b,x∈G，ax=b，则x= ； (2) 若a,b,x∈G，ax=ab，则x= 。

4. 代数系统是一个群，则G的等幂元是 5. 设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则

(1) 若ca=b，则c= ；(2) 若ca=ba，则c= 。 6、是的子群的充分必要条件是( )。 7、群＜A,*＞的等幂元有 个，是 ，零元有 个 8. 设*是如下表定义的集合Aa,b,c上的运算：

* a bbacc c c c a abc bc则 * 的单位元为___________；零元为____________；可逆元为_______________.

,则的核K_____________. 9．设是群G1,1到群G2,2的满同态10．格L,,的运算满足的运算律为________，________，_______.

11．设B,,,是布尔代数，其中B0,,,1,则_____________，________.

三、证明

1.设是群，aG。令H={xG|a·x=x·a}。试证：H 是G 的子群 2. 设群除单位元外每个元素的阶均为2，则是交换群

3. 设半群中消去律成立，则是可交换半群当且仅当a,bS，（a·b）2=a2·b2。 4. 设R是实数集，在R上定义二元运算*，x,yR，定义

x*y=x+y+2xy

说明*是否满足结合律、交换律？是否存在单位元？若存在请求出． 5. 已知 (L，*， )是格，且二元运算*和满足分配律，a,b,cL，化简表达式

((a*b)(a*c))* ((a*b)(b*c))

16. 设G,是群，若对任意xG，有xx，则G,是交换群

设S,是一独异点，H是S中所有可逆元素的集合,证明H,是一个群 7. 设Q2（Q是有理数集合）上的二元运算 * 定义如下：对任意a,b,x,y

∈Q2，有a,bx,yax，ayb（其中，· ，+是有理数乘法与加法运算），求 * 的单位元，零元及每个可逆元的逆元.