一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
1．（5分）若命题p：?x0∈R，x0+2x0+2≤0，则￢p为（
）
A．?x0∈R，x0+2x0+2＞0 B．?x0?R，x0+2x0+2＞0C．?x∈R，x+2x+2≥0 D．?x∈R，x+2x+2＞0的（2．（5分）“a=1是“”关于x的方程x+a=2x有实数根”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
）
2
2
2
22
）
3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（A．
B．
C．
D．
2
4．（5分）已知抛物线y=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（A．x=﹣4 B．x=﹣2
）C．x=2 D．x=4
）
5．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（
A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=06．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为
y=x，则双曲线方程可以是（
）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．
2
2
﹣=1 D．
2
2
﹣=1
（x﹣1）+y=1与圆C2：x+y﹣8x+8y+m=0相切，则m等于7．（5分）若圆C1：（
）
C．﹣4或16
D．7或16
+
=1，给定下列两个命题：
A．16 B．7
8．（5分）已知曲线C的方程为p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；
q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（A．p∧q
）
B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
第1页（共18页）
9．（5分）若直线是（A．[﹣5
），4﹣3
，﹣
x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围
]]
B．[﹣4﹣3，4﹣3]C．[﹣4﹣3，﹣5]
D．[﹣5
10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B
）
两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（A．x﹣
B．x
C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0
11．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）已知双曲线
（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实
A，B，C，D四点，四边形ABCD
，则异面直线PE，CD所成的角为（
）
半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于的面积为ab，则双曲线的离心率为（A．
B．2
C．
D．4
）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
．．
15．（5分）《九章算术?商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍
第2页（共18页）
堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē nàｏ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=外接球的表面积为
2
已知三棱锥A﹣BCD是一
，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的
．
=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和
．
16．（5分）P为双曲线x﹣
2
2
（x﹣4）+y=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为
三、解答题（本大题共算步骤．）
6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．
（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．
2218．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）+y=36上的动点，B的坐标为（﹣2，0），
P在线段AB上，满足=．
（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2的方程．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；
（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．
，求直线l
20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2（Ⅰ）求抛物线C的方程；
）．
（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲
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线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三
角形，AB⊥BC．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（
）．
（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；
（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△为正三角形？并说明理由．
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ABC能否2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
1．（5分）若命题p：?x0∈R，x0+2x0+2≤0，则￢p为（
）
A．?
2
x0∈R，x0+2x0+2＞0
2
B．?
2
x0?R，x0+2x0+2＞0
2
C．?x∈R，x+2x+2≥0 D．?x∈R，x+2x+2＞0【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得若命题p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为?x∈R，x+2x+2＞0．故选：D．
2
的（2．（5分）“a=1是“”关于x的方程x+a=2x有实数根”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2
2
）
【解答】解：关于x的方程x+a=2x有实数根，则△=4﹣4a≥0，解得a≤1．∴“a=1是“”关于x的方程x+a=2x有实数根”的充分不必要条件．故选：A．
2
3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（A．
B．
C．
D．
）
【解答】解：直线3x+4y﹣12=0，即直线6x+8y﹣24=0，根据直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0平行，可得a=6，故两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为故选：C．
=，
第5页（共18页）
4．（5分）已知抛物线y=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（A．x=﹣4 B．x=﹣2
）C．x=2 D．x=4
y2=2px，则其准线为x=﹣，
2
【解答】解：根据题意，抛物线的方程为
又由抛物线上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则M到准线的距离为6，则有|4﹣（﹣解可得﹣
）|=6，
=﹣2，
x=﹣2；
即抛物线的准线方程为故选：B．
5．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（）
A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=0【解答】解：点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，﹣y），将直线2x﹣3y+2=0中的x不变，y换为﹣y，可得2x+3y+2=0．故选：A．
6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为程为y=±
﹣
=1，其焦点在x轴上，a=
，b=2，渐近线方
x，不符合题意；
﹣
=1，其焦点在y轴上，a=
，b=2，渐近线方
对于B，双曲线的方程为程为y=±
x，不符合题意；
第6页（共18页）
对于C，双曲线的方程为为y=±
x，不符合题意；
﹣=1，其焦点在x轴上，a=4，b=3，渐近线方程
对于D，双曲线的方程为为y=±
x，符合题意；
﹣=1，其焦点在y轴上，a=4，b=3，渐近线方程
故选：D．
（x﹣1）+y=1与圆C2：x+y﹣8x+8y+m=0相切，则m等于7．（5分）若圆C1：（
）
C．﹣4或16
D．7或16
2222
A．16 B．7
【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1；圆C2：x+y﹣8x+8y+m=0化为（x﹣4）+（y+4）=32﹣m，表示以（4，﹣4）为圆心，半径等于
的圆；
2
2
2
2
由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5=|解得m=﹣4．
两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得解得m=16，
综上，m的值为﹣4或16．故选：C．
5=
+1，
﹣1|，
8．（5分）已知曲线C的方程为p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；
+=1，给定下列两个命题：
q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（A．p∧q
）
B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
p
【解答】解：由25﹣k=k﹣9时，2k=34，得k=17时，方程不表示椭圆，即命题是假命题，
第7页（共18页）
若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，
即，得k＜9，即命题q是真命题，
则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：C．
9．（5分）若直线是（A．[﹣5
），4﹣3
，﹣
x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围
]]
B．[﹣4﹣3，4﹣3]C．[﹣4﹣3，﹣5]
D．[﹣5
【解答】解：显然曲线y=圆，
根据题意画出图形，如图所示：当直线与圆相切时，圆心到直线
，解得：m=4﹣3
y=
有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半
x+m的距离d=r，
（舍去），
，
或m=﹣4﹣3
当直线过（5，0）时，代入得：5则满足题意的m的范围是[﹣5故选：A．
+m=0，解得：m=﹣5
]，
，4﹣3
10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B
第8页（共18页）
两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（A．x﹣
B．x
C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0，得a2=18，b2=9，
）
【解答】解：由椭圆E：则c=
，
∴椭圆E：的右焦点为F（3，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），则
，
，
两式作差可得：，
即，
∵过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，∴
，则
，即AB所在直线的斜率为
，
∴直线l的方程为y﹣0=（x﹣3），即x﹣2y﹣3=0．故选：D．
11．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=
，
，则异面直线PE，CD所成的角为（
）
∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
P（2，0，2），E（0，1，0），C（2，2，0），D（4，0，0），=（﹣2，1，﹣2），
=（2，﹣2，0），
第9页（共18页）
设异面直线PE，CD所成的角为θ，则cosθ＝∴θ=45，°
∴异面直线PE，CD所成的角为45°．故选：B．
=
=
，
12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实
A，B，C，D四点，四边形ABCD
半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于的面积为ab，则双曲线的离心率为（A．
B．2
C．
D．4
）
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为双曲线的两条渐近线方程为
y=±x，
ABCD为矩形，
x2+y2=a2，
设A（x，x），（x＞0），由对称性可得四边形∵四边形ABCD的面积为ab，∴2x?∴x=a，
将A（a，b）代入x2+y2=a2，可得∴双曲线的离心率e==
=
=ab，
a2+b2=a2，∴b2=3a2，=2，
第10页（共18页）
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程
4x﹣3y﹣1=0
．
【解答】解：设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，把点（1，1）代入可得：4﹣3+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：4x﹣3y﹣1=0．故答案为：4x﹣3y﹣1=0．
14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12+．
【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是长方体和圆锥的组合体，
其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，∴该几何体的体积：V=故答案为：
．
=12+
．
15．（5分）《九章算术?商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē nàｏ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．
第11页（共18页）
已知三棱锥A﹣BCD是一
个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=外接球的表面积为
4π．
，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的
【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=∴三棱锥A﹣BCD的外接球的半径：R=
=
=
=1，
，BC=CD=1，
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为：S=4πＲ=4π．故答案为：4π．
2
16．（5分）P为双曲线x﹣
2
=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和
5
．
（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为【解答】解：双曲线的两个焦点为半径分别为r1=2，r2=1，
|PM|max=|PF|min=|PF1|+2，|PN2|﹣1，
F1（﹣4，0）、F2（4，0），为两个圆的圆心，
故|PM|﹣|PN|的最大值为（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=|PF1|﹣|PF2|+3=5．故答案为：5．
三、解答题（本大题共算步骤．）
6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．
（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．
第12页（共18页）
【解答】解：（Ⅰ）如图，设AC∩BD=M，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以对角线互相平分，又A（﹣1，2），C（4，1）．∴M
，
又B（0，﹣1），所以顶点D的坐标为（3，4）．（Ⅱ）依题意可得kBC=
=，
故直线BC的方程为y=x﹣1，即x﹣2y﹣2=0，又|BC|=
点A到直线BC的距离d=
=2
，
=
．
所以四边形ABCD的面积S=|BC|?d=2=14．
2
+y18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）=36上的动点，B的坐标为（﹣2，0），
2
P在线段AB上，满足=．
（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），依题意得所以
又：（x0﹣4）
2
，求直线l
，即（x﹣x0，y﹣y0）=2（﹣2﹣x，﹣y），
，解得
2
+y0=36，即
，
2
2
x+y=4．
2
2
又|AP|≠0，所以点P的轨迹C的方程为x+y=4．（x≠﹣2）．（Ⅱ）因为直线l与曲线C交于M，N两点，且|MN|=2
第13页（共18页）
，
所以原点O到直线l的距离d==1．
若l斜率不存在，直线l的方程为x=﹣1，此时符合题意；
若l斜率存在，设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，则原点O到直线l的距离d=此时直线l的方程为4x+3y﹣5=0
所以直线l的方程为4x+3y﹣5=0或x=﹣1．
，解得k=﹣，
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；
（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，取BD1的中点F，连结EF，FO．∵AA1∥CC．1，且AA1=CC1，∴ACC1A1是平行四边形，故A1C1∥AC又OF是△BDD1的中位线，∴OF∥DD1，OF=∴四边形OCEF为平行四边形．∴OC∥EF，则A1C1∥EF，
又A1C1?平面BED?平面BED1，EF1，∴A1C1∥平面BED1；
（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系则B（0，1，0），E（
，0，1），D（﹣1，2），10，
，
，令y=1，得
，
第14页（共18页）
，则OF∥EC，OF=EC，
O﹣xyz如图所示，
，
，
设平面BED1的法向量则
，
显然平面ABCD的一个法向量
∴cos＜＞=，
45°．
∴平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小为
20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2（Ⅰ）求抛物线C的方程；
）．
（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可设抛物线∴
，解得p=2，
2
C的标准方程为y=2px（p＞0），
2
∴抛物线C的方程为y=4x；（Ⅱ）点A，Q，O共线，理由如下：设直线l：y=kx+m，联立
2
22
，得kx+（2km﹣4）x+m=0．①
222
由△=（2km﹣4）﹣4mk=16（1﹣mk）=0，得m=，则直线l：y=kx+，得P（0，），B（又P关于点B的对称点为Q，故Q（此时，①可化为∴y=kx+=，即A（
，），，），
，
，解得x=），
∴kOA=kOQ=2k，即点A、Q、O共线．
第15页（共18页）
21．（12分）如图，在四棱锥角形，AB⊥BC．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三
（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为AB=CB，AD=CD，BD为公共边，所以△ABD≌△CBD，
所以∠ABD=∠CBD，又AB=CB，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又PA=PC，所以PO⊥AC，
又AB⊥BC，所以OA=OB=OC，结合PA=PB，可得Rt△POA≌Rt△POB，所以∠POB=∠POA=90°，即PO⊥OB，又OA∩OB=O，
故PO⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以PO⊥BD．又PO∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系
O﹣xyz如图所示，
第16页（共18页）
不妨设OA=1，易得OP=1，OD=，
则P（0，0，1），B（﹣1，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），所以
，
，，
设平面PBC的法向量为
，则，得
，
设直线CD与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos
|=|
|=
=，
所以CD与平面PBC所成角的正弦值为
．
22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（
）．
（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；
（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△为正三角形？并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆F的标准方程为（a＞b＞0），
依题意得c=2，2a=|PF1|+|PF2|=，
∴a=
，则b2=a2﹣c2=6，
第17页（共18页）
ABC能否故椭圆F的标准方程为；
|OA|，
（Ⅱ）若△ABC为正三角形，则AB⊥OC且|OC|=显然直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=kx，则OC的方程为y=﹣
，联立
，
解得，，
∴|OA|=，
同理可得|OC|=．
又|OC|=∴
|OA|，
，
2
化简得：k=﹣3，k无实数解，∴△ABC不可能为正三角形．
第18页（共18页）
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