(易错题)高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题

1．已知fxx1x2x3xnn2,nN*，其导函数是fx，

f1若an，则a50（ ）

f0A．

1 50!B．

1 50C．50 D．50!

2．直线ykxb与曲线yf(x)相切也与曲线yg(x)相切，则称直线ykxb为曲线yf(x)和曲线yg(x)的公切线，已知f(x)ex，g(x)lnx2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为（ ） A．y1x或yx1 eB．yex或yx1 D．yC．yex或yx1

1x或yx1 e3．如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)x2f(x)，gx是gx的导函数，则g3等于（ ）

A．3 B．0 C．2 D．4

x4．若曲线fxmxen在点1,f1处的切线方程为yex，则mn的值为

（ ） A．

e1 2B．

e1 2C．

1 2D．

e 25．函数fx12xxxsin2cos2的导函数yfx的图象大致是（ ） 622A． B．

C． D．

6．已知flnxA．

x，则f0等于（ ） 1xB．1 21 2C．

1 4D．1 4x2sinx227．函数f(x)2(x[,0)(0,])的图像大致为（ ）

x133A． B．

C． D．

8．设函数fxlnx，且x0,x1,x20,，下列命题： ①若x1x2，则

fx1fx21； x2x1x2fx1fx21； x0x1x21；

②存在x0x1,x2，x1x2，使得③若x11，x21，则

fx1fx2x1x2④对任意的x1，x2，都有f其中正确的命题个数是（ ） A．4

B．3

x1x2fx1fx2. 22C．2

D．1

9．直线ykx2与曲线yx32axb相切于点(1,4)，则4ab的值为（ ） A．2

B．－1

C．1

D．－2

10．已知函数fx的导函数为fx，且满足fx2xf(e)lnx，则fe（ ） A．e

B．1 eC．1

D．e

11．已知函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x+3y=0垂直，若数列{

1}的前n项和为Sn，则S2013的值为( ) f(n)2010 2011B．

A．

2011 2012C．

2012 2013D．

2013 201412．曲线f(x)lnxx在点(1,f(1))处的切线方程为 A．xy0 C．xy20

B．x1 D．y1

二、填空题

13．函数f(x)ln(3x2)在点(1,f(1))处的切线方程为_______

f'(x)x3b214．已知函数f(x)在点xax1(a0,b0)，则函数g(x)alnxa32(b,g(b))处切线的斜率的最小值是________．

15．已知f(x)12xf(1)，则f(2)______． x16．如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是y2x8，则

f(3)f(3)__________．

17．已知函数f(x)x1和点P(1,0)，过点P作曲线yf(x)的两条切线PM，xPN，切点分别为M，N，则直线MN的斜率等于____.

18．某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为St2t（t的单位为秒，S的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.

19．设函数y=-x2+l的切线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为__________.

20．已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则

f(3)_______．

三、解答题

21．已知函数的切线方程为（Ⅰ）求（Ⅱ）若对

的解析式；

，

恒有

成立，求的取值范围．

．

，

，曲线

在

处

22．定义在R上的函数fx13xcx3,fx在x0处的切线与直线yx2垂直. 3（1）求函数yfx的解析式； （2）设gx4lnxfx，（其中f23．已知函数fxx是函数fx的导函数），求gx的极值.

131x. 32，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （1）求曲线y=f（x）在点P1（2）求过点A2，作曲线y=f（x）的切线方程. 24．求下列函数的导函数. （1）y2x1 （2）yloga556121 3x225．已知平面向量a(sin2x,cos2x),b(sin2,cos2)，设函数f(x)ab（为常数且满足0），若函数yf（1）求的值； （2）求函数yfx图象的一条对称轴是直线x.

84

x在0,上的最大值和最小值： 42

x的图象不相切． 4（3）证明：直线5xy30与函数yf26．已知函数fx1lnx1x和gxx1lnx1

（1）若f(x)是f(x)的导函数，求f(1)的值 （2）当x0时，不等式f(x)kg(x)0恒成立，其中gx是gx导函数,求正整数xk的最大值.

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

求出f1和f0，可得出an的表达式，进而可计算得出a50的值. 【详解】

xn，其中n2且nN，

fxx2x3xnx1x3xnx1x2xn1，

f1123n1，f0123n1n，则

f11an，

f0n因此，a50故选：B. 【点睛】

本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.

fxx1x2x31. 502．C

解析：C 【分析】

首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程. 【详解】

x设f(x)，g(x)的切点分别为(x1,e1)，(x2,lnx22)，

f(x)ex，g(x)x1所以ke1. x11xlnlnx2. ，即1x2x2又因为

lnx22ex1kx2x1lnx221x2，

x2lnx2所以

lnx221x2x2lnx21. x2整理得(x21)(lnx21)0，解得：x21或x21. e1所以g(x)的切点为(1,2)或(,1)，k1或e.

e切线为y2x1或y1e(x)， 即：yx1或yex. 故选：C 【点睛】

本题主要考查导数的切线问题，利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系进行转化为解题的关键，属于中档题.

1e3．A

解析：A 【分析】

ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线求出k=f(3)，由图f(3)=1，对

g(x)x2f(x)求导取值可得.

【详解】

ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得k=f(3)=1，又f(3)=1 3g(x)x2f(x)，g(x)2xf(x)+x2f(x)，

g(3)6f(3)+9f(3)=3

故选：A. 【点睛】

本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路

根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．

4．A

解析：A 【分析】

求导得到f'xmx1e，由已知得f1e，f1e，解得答案.

x【详解】

fxmxexn，则f'xmx1ex，故f1e，f1e，

1mmenee12. ，解得，所以mnm11eee2n2故选：A. 【点睛】

本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.

5．C

解析：C 【分析】

将函数yfx的解析式化简，求出其导数fx号排除错误选项即可确定导函数的图像. 【详解】 因为fx1xsinx，，然后结合导函数的符312xx11xsin2cos2x2cosx，fxxsinx. 6226311x0，sinx0，则fxxsinx0； 33当0x3时，当x3时，

11x1，1sinx1，则fxxsinx0. 331xsinx0，排除ABD选项， 3所以，当x0时，fx故选：C. 【点睛】

本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

6．C

解析：C 【分析】

首先利用换元法求出函数fx的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可； 【详解】 解：

flnxx， 1x令tlnx，tR，则xet

et，tR ftt1eex，xR fxx1efxe1eexxx21ee0x2ex1ex2

f0故选：C 【点睛】

1e0214

本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.

7．A

解析：A 【分析】

根据解析式判断函数的奇偶性，f【详解】

f的正负，以及的正负，即可进行选择. 22x2sinxx2sinx因为fx2，fx2，且定义域关于原点对称，

x1x1故fx是奇函数，排除选项C；



20，故排除选项；

因为fD 2

2

12

因为fx2

2xsinxx2cosxx212x3sinxx212f022，故可得2

12故函数fx在点故选：A. 【点睛】

,fx处的切线的斜率为正数，故排除选项B； 2本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.

8．B

解析：B 【分析】

作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案.

【详解】

1lnln1fx1fx21122ln21，显然①不对于①，设x1，x21，

1x1x2x2212正确；

作出函数fxlnx的图象，取点Cx1,fx1，点Dx2,fx2，取线段CD的中点

B，过B作垂直于x轴的直线交函数图象于A，显然yAyB，即

x1x2fx1fx2f，即④成立. 22在弧CD之间，必存在某点E，使过该点的切线的斜率等于割线CD的斜率，所以②对.

对于③，f(x)1，f(x)在0,上单调递减，f(1)1，表示过点1,0的切线的x斜率为1，若x11，x21，则f(x1)1，f(x2)1，割线CD的斜率小于1，所以③对. 故选：B.

【点睛】

本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】

由题意，直线ykx2与曲线yx32axb相切于点(1,4)，

则点(1,4)满足直线ykx2，代入可得4k12，解得k2， 又由曲线fxx2axb，则fx3x2a，

32所以f1312a2，解得a213，即fxxxb， 2把点(1,4)代入fxxxb，可得4131b，解答b4，

3所以4ab4()42，故选A． 【点睛】

本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

1210．C

解析：C 【分析】

求得fx2f(e)112，令xe，解得f(e)，得到fxxlnx，即可求xee解fe的值，得到答案. 【详解】

由题意，函数fx2xf(e)lnx，则fx2f(e)令xe，则fe2f(e)令xe，则fe【点睛】

本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得fe的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

1， x112，解得f(e)，即fxxlnx， eee2elne1，故选C. e11．D

解析：D 【解析】 【分析】

利用导数的几何意义求b，然后通过数列{出S2013的值． 【详解】

∵f(x)=x2-ax，∴f′(x)=2x-a，根据导数的几何意义， ∴y=f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a，

∵函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x+3y=0垂直，

1}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求fn∴2a1 ，∴a=-1，∴f(x)=x2+x，

131111∴f(n)=n+n=n(n+1)，∴ , fnnn1nn12

∴S20131故选D． 【点睛】

11122311120131. 2013201420142014本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．考查学生的综合能力．属于中档题．

12．D

解析：D 【解析】 由题可得f'(x)11x1，则切线的斜率为f'(1)0，又f(1)1，所以切线方程xx为y1，故选D．

二、填空题

13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线 解析：3xy30

【分析】

求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】

3， 3x2所以函数f(x)在(1,0)处的切线斜率kf(1)3，

由题：f(1)ln(32)0，f(x)所以切线方程：y03(x1)，即3xy30. 故答案为：3xy30. 【点睛】

此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.

14．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的

解析：2 【解析】 【分析】

根据已知条件得到g(x)alnx式 进行解答． 【详解】 因为g(x)alnx所以g(x)f(x)， af(x)的导函数，根据性条件a0，b0和基本不等aa2xb． xaa2bbaa2， babb又因为a0，b0， 所以g（b）所以斜率的最小值是2． 故答案是：2． 【点睛】

本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．

15．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了

7解析：

4【解析】 【分析】

先求导，再求f1和f2. 【详解】 由题得f(x)所以f2故答案为：【点睛】

（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求f(1)，在求导时，知道它是一个常数就可以了.

1112f(1),f(1)2f(1),f(1)1,f(x)2，

x212x2172. 447 416．【解析】分析：根据导数几何意义得再根据函数值得代入即得结果详解：由题意可知故点睛：利用导数的几何意题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化 解析：0

【解析】

分析：根据导数几何意义得f(3)2，再根据函数值得f(3)2382，代入即得结果.

详解：由题意可知f(3)2382，f(3)2，故f(3)f(3)0．

点睛：利用导数的几何意题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.

17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主

解析：2 【解析】

设M(x1,y1)，N(x2,y2). ∵函数fxx∴f(x)11 x1 x2∵过点P作曲线yfx的两条切线PM，PN ∴kPM111k1， PNx22x121)(xx1)，直线PN的方程为x12∴直线PM的方程为yy1(1yy2(1∵y1x1∴0(x121)(xx2). x2211yx，2 2x1x21111)(12)(1x1)，0(x2)(12)(1x2) x1x1x2x22∴x12x110，x22x210，即x1，x2是方程x22x10的两根. ∴x1x22，x1x21 ∴直线MN的斜率

kMNy1y2x1x2x111x2x1x21.

12x1x2x1x2故答案为2.

点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线

数kfx；(2) 己知斜率k求切点Ax,fx,即解方程fxk；(3) 巳知切线过某点Mx,fx (不是切点) 求切点, 设出切点Ax,fx,利用

0的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点Ax0,fx0求斜率k,即求该点处的导

1111100kfx1fx0x1x0fx0求解.

18．【解析】由题意可得所以第4秒末的瞬时速度为填

3解析：

2【解析】

由题意可得S（t）t2t,s(t)11所以第4秒末的瞬时速度为ts(4)1133，填。

24219．【解析】设切点函数y=-x2+l的导数为即切线的斜率为所以切线方程为:令得;令得又则△OAB的面积为定义域为解得或(舍)当时为减函数;当时为增函数;当时取到最小值故填 解析：439

【解析】

2设切点Pt,t1,函数y=-x2+l的导数为y2x,即切线的斜率为k2t,所以切线方程22为:y1t2txt,令x0,得B0,t1;令y0,得Bt1,0,又0t1,22t则△OAB的面积为SAOBft11t111t2t32t,定义域为2t22t42242t13t13113t2t120,1,ft,解得或t3t2022234t4t4tt333(舍),当

时,ft0,ft为减函数; 当0tt13333时,ft取到最小3时,ft0,ft为增函数;当t值,f3113343431,. 故填236329920．-6【解析】则解得则故答案为

解析：-6 【解析】

fx3x22xf'2,f'x6x2f'2 ，则f'2622f'2 ，解得

f'212 ，则f'x6x24,f'318246 ，故答案为6 . 三、解答题

21．（Ⅰ）析式； （Ⅱ）对试题 （Ⅰ）∵令∴（Ⅱ）∵列表得：

． ，令

，得

或

（舍）．

，∴

，代入函数

，∴，得

． ．

，

恒有

成立，等价于

，即可求的取值范围．

；（Ⅱ）

.

，即可求

的解

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义，求出

，代入切线方程得切点坐标为

∵∴∴∴

，对

，∴ ，恒成立， 恒成立，恒成立，

，

极大值 ， 记∴∵列表得：

．

，

，

，令，则

，

∴∴

．

极小值 ，

点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即在该点处切线的斜率，考查恒成立问题，属于中档题；常见的恒成立有：对于涉及到一个变量恒成立时，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或

或

恒成立，即

或

即可，利用导数知识结合单调性求出

成立，等价于

即得解；对于含有两个变量时，.

22．（1）f(x)【解析】

13xx3;(2）g(x)有极大值g(2)2ln21，无极小值 3试题分析：(Ⅰ)首先根据fx13xcx3,求出fxx2c ;然后根据fx在3x0处的切线与直线yx2垂直,求出f0c1,进而求出函数yfx的解析

式即可;

(Ⅱ)分别求出gx、gx,然后分两种情况:①当x0,2和②当x求出gx的极值即可. 试题

（1）fxxc ，由已知得f0c1

22,,讨论

fx13xx3 32(2）由(1）知fxx1

gx4lnxx21(x0)

442x22gx2xxx2x2xx

当x当x0,2时，gx0，gx单调递增

2,时，gx0，gx单调递减

gx有极大值g23．（1）【分析】 （1）函数fx22ln21，无极小值

11；（2）y或18x﹣2y﹣35=0.

2721315x的导数为fx=x2，曲线y=f（x）在点P1，处的切线的斜326率为k=1，写出切线的方程，分别令x=0，y=0，得到在x，y轴上的截距，再利用三角形面积公式求解. （2）易得A（2，

1）不在图象上，设切点为（m，n），则切线的斜率为m2，切线的方21n2m2程为y﹣n=m2（x﹣m），再由m2求解.

131nm32【详解】

（1）因为函数fx所以fx=x2， 所以f1=1

131x， 32，处的切线的斜率为k=1， 所以曲线y=f（x）在点P1则切线的方程为y令x=0，可得y565x﹣1，即为6x﹣6y﹣1=0， 611；y=0，可得x. 661111； 26672则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（2）由A（2，

1318111）和fxx，可得f（2）， 232322即A不在f（x）的图象上，

设切点为（m，n），则切线的斜率为m2，

切线的方程为y﹣n=m2（x﹣m），

1n2m2则m2， 131nm32m0m3解得1或19，

nn22故切线的方程为y【点睛】

本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．（1）y10(2x1)4；（2）y【分析】

根据复合函数求导法则计算． 【详解】

（1）y5(2x1)4210(2x1)4； （2）yloga(3x2)，y【点睛】

本题考查复合函数求导法则，掌握复合函数的求导运算法则是解题基础． 25．(1)  (2) 最大值和最小值分别为【分析】

（1）利用向量的数量积求得函数f(x)、yf(x)的表达式，从而利用三角函数性质求

4得的值；

（2）结合x的取值范围求得函数最值；

（3）利用导函数求得三角函数的切线斜率取值范围，然后去判断直线与yf(x)图象

4的关系． 【详解】

(1)可知f(x)absin2xsin2cos2xcos2cos(2x2)， 所以f1或18x﹣2y﹣35=0. 23

(3x2)lna133．

(3x2)lna(3x2)lna382和-1. (3)证明见解析 2xcos2x2sin(2x2) 44因为x所以28

是函数yfx图象的一条对称轴， 4(kZ)，得1k(kZ) 2882k2因为0，所以k1,

383yfxsin2x， (2)所以44因为x0,332x, ，所以4244所以函数yfx在0,上的最大值和最小值分别为2和1. 42234(3)因为y2cos2x

yfxy2所以即函数图象的切线斜率的取值范围为[2,2]，

4因为直线5xy30的斜率为52， 所以直线5xy30与函数yf【点睛】

本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（1）【分析】

（1）求出导函数，代入x的值即可得到结果； （2）不等式fxk【详解】

x的图象不相切. 41ln2；（2）3 2gxx0恒成立等价于k(x1)1ln(x1)x对于x0恒成立.

xlnx11（1）由题意可得 x1fxx21∴f1ln2；

2g(x)f(x)k0恒成立 2x0（）当时，不等式

x即k(x1)1ln(x1)x对于x0恒成立

设h(x)(x1)1ln(x1)x，则h(x)x1ln(x1)

x21x0，g(x)x1ln(x1)在区间0,上是增函数， x1x1且g(x)0存在唯一实数根a,满足a(2,3)，即a1ln(a1) g(x)1由xa时，g(x)0,h(x)0；0xa时，g(x)0,h(x)0 知h(x)(x0)的最小值为h(a)故正整数k的最大值为3. 【点睛】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．

(a1)1ln(a1)aa1(3,4)