2007年全国高考数学卷安徽理含答案

数 学（理科）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）

) A．f(x)x，x[0，x2

) B．f(x)x，x(，D．f(x)31，x(0，) x2．设l，其中m，n在平面内，则“l⊥”是“l⊥m且l⊥n”的（ ） m，n均为直线，

) C．f(x)e，x(，A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．若对任意xR，不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．a1 4．若a为实数，B．a≤1

C．a1

D．a≥1

2ai2i，则a等于（ ）

1+2iB．2

2xA．2

C．22

D．22

5．若A{xZ2≤2（ ） A．0

8}，B{xR

C．2

，则A(ðRB)的元素个数为log2x1}

D．3

B．1

6．函数f(x)3sin2x①图象C关于直线x②函数f(x)在区间的图象为C， 11对称； 125，内是增函数； ③由y3sin2x的图象向右平移

个单位长度可以得到图象C． 

D．3

以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A．0 B．1 C．2

2xy2≥0227．如果点P在平面区域x2y1≤0上，点Q在曲线x(y2)1上，那么PQ的

xy2≤0最小值为（ ）

1 优辉共享

A．51

B．41 5C．221 D．21

8．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）

3A．arccos3

6B．arccos3

22C．arccos

13D．arccosy A 1 49．如图，F1和F2分别是双曲线

xy1(a0，b0) a2b2的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ） A．3

B．5 D．13

F1 B O F2 x 第9题图

C．

5 2

10．以(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布

N(，2)，则概率P()等于（ ）

A．()() C．

B．(1)(1) D．2()

1



11．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程

f(x)0在闭区间[T，T]上的根的个数记为n，则n可能为（ ）

A．0

B．1

C．3

D．5

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

第Ⅱ卷（非选择题 共95分）

注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．

2 优辉共享

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

3112．若2x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 ．

xOBb，OCc，D为BC的中点，E为AD的中点，13．在四面体OABC中，OAa，则OE （用a，b，c表示）．

14．如图，抛物线yx1与x轴的正半轴交于点A， 将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，，Pn1， 过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为

2ny

Q1 Q2

yx21

Qn1

Q1，Q2，，Qn1，从而得到n1个直角三角形△Q1OP 1，△Q2PP△Qn1Pn2Pn1．当n时，这些三角形 12，，O

P1 P2

Pn2 Pn1 x

的面积之和的极限为 ．

第14题图

15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．

三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已

知

0，为

f(x)cos2x的最小正周期，

2cos2sin2()1的值． atan，1，b(cos，2)，且abm．求

cossin417．（本小题满分14分）

如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为 2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面 A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12．

（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面． （Ⅱ）求证：平面A1ACC1平面B1BDD1；

（Ⅲ）求二面角ABB1C的大小（用反三角函数值表示）．

D1

C1 B1

A1 D C

A

B 3 优辉共享

18．（本小题满分14分）

设a≥0，f(x)x1ln2x2alnx(x0)．

（Ⅰ）令F(x)xf(x)，讨论F(x)在(0，∞)内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1． 19．（本小题满分12分）

如图，曲线G的方程为y22x(y≥0)．以原点为圆心．以t(t0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B．直线AB与x轴相交于点C．

y （Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标

c的关系式

G:y22x

（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a2， D 求证：直线CD的斜率为定值． A B O a a2 Ｃ x 第19题图 20．（本小题满分13分）

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的．．．．．．．只数．

（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望E； （Ⅲ）求概率P(≥E)．

21．（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为

4 优辉共享

与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这d的等差数列．

就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，

．以Tn表示到第n年末所累计

的储备金总额．

（Ⅰ）写出Tn与Tn1(n≥2)的递推关系式；

（Ⅱ）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｄ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．7 14．

13．

111abc 2441 315．①③④⑤

三、解答题

16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为为f(x)cos2xπ的最小正周期，故π． 812． 4·bcos·tan因a·bm，又a1m2． 4·tan故cos由于0π，所以 42cos2sin2()2cos2sin(22π)

cossincossin2cos2sin22cos(cossin)

cossincossin5 优辉共享

2cos1tanπ2cos·tan2(2m)．

1tan417．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等

有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．

解法1（向量法）：

，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系以D为原点，以DADxyz如图，

0，，0)B(2，2，，0)C(0，2，，0)A1(1，0，，2)B1(11，，，2)C1(0，1，，2)D1(0，0，2)． 则有A(2，

（Ⅰ）证明：

∵AC，，，AC(2，2，，0)D1B1(110)，，，DB(2，2，0)．11(110)D1zC1B1A1∴AC2AC，DB2D1B1． 11∴AC与AC1B1平行， 11平行，DB与D于是A1C1与AC共面，B1D1与BD共面． （Ⅱ）证明：DD·，0，2)·(2，2，0)0， 1AC(0A D C yB xDB·AC(2，2，0)·(2，2，0)0，

∴DD1AC，DBAC．

DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线．

∴AC平面B1BDD1．

又平面A1ACC1过AC．

∴平面A1ACC1平面B1BDD1．

（Ⅲ）解：AA，，，2)BB1(1，1，，2)CC1(0，1，2)． 1(10设n(x1，y1，z1)为平面A1ABB1的法向量，

n·AA1x12z10，n·BB1x1y12z10．

于是y10，取z11，则x12，n(2，0，1)．

6 优辉共享

设m(x2，y2，z2)为平面B1BCC1的法向量，

m·BB1x2y22z20，m·CC1y22z20．

于是x20，取z21，则y22，m(0，2，1)．

cosm，nm·nmn15． ∴二面角ABBπarccos11C的大小为5．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：∵D1D平面A1B1C1D1，D1D平面ABCD．∴D1DDA，D1DDC，平面A1B1C1D1∥平面ABCD．于是C1D1∥CD，D1A1∥DA．

设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，A1E，C1F，

有A1E∥D1D，C1F∥D1D，DE1，DF1． ∴A1E∥C1F，

于是A1C1∥EF．

由DEDF1，得EF∥AC， 故AC11∥AC，A1C1与AC共面． 过点B1作B1O平面ABCD于点O，

则B1O ∥A1E，B1O ∥C1F，连结OE，OF， 于是OE ∥B1A1，OF ∥B1C1，∴OEOF． ∵B1A1A1D1，∴OEAD．

∵B1C1C1D1，∴OFCD．

所以点O在BD上，故D1B1与DB共面．

（Ⅱ）证明：∵D1D平面ABCD，∴D1DAC， 又BDAC（正方形的对角线互相垂直），

7 D1

C1 A1 B1

D FM

C

E O A

B 优辉共享

D1D与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线，

∴AC平面B1BDD1．

又平面A1ACC1过AC，∴平面A1ACC1平面B1BDD1．

（Ⅲ）解：∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，ACDB， 根据三垂线定理，有ACB1B．

过点A在平面ABB1A1内作AMB1B于M，连结MC，MO， 则B1B平面AMC， 于是B1BMC，B1BMO，

所以，AMC是二面角AB1BC的一个平面角． 根据勾股定理，有A，C1C5，B1B6． 1A5∵OMB1B，有OMB1O·OB2，BMB1B321010，AM，CM． 333AM2CM2AC211cosAMC，AMCπarccos，

2AM·CM55二面角ABB1C的大小为πarccos1． 518．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有f(x)12lnx2a，x0， xx故F(x)xf(x)x2lnx2a，x0， 于是F(x)1列表如下：

2x2，x0， xxx (0，2) 2 0 极小值F(2) (2，∞)  F(x) F(x)  2)内是减函数，在(2，∞)内是增函数，所以，在x2处取得极小值故知F(x)在(0，8 优辉共享

F(2)22ln22a．

（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)22ln22a0． 于是由上表知，对一切x(0，∞)，恒有F(x)xf(x)0． 从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，∞)内单调增加． 所以当x1时，f(x)f(1)0，即x1lnx2alnx0． 故当x1时，恒有xlnx2alnx1．

19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．

y 解：（Ⅰ）由题意知，A(a，2a)． 2因为OAt，所以a2at．

B A 由于t0，故有ta22a． （1） 由点B(0，t)，C(c，0)的坐标知， 直线BC的方程为

O a 2222G:y2x

D a2 Ｃ x xy1． cta2a1， ct又因点A在直线BC上，故有

将（1）代入上式，得

a2a1， ca(a2)解得ca22(a2)．

（Ⅱ）因为D(a2，2(a2))，所以直线CD的斜率为

kCD2(a2)2(a2)2(a2)1．

a2ca2(a22(a2))2(a2)所以直线CD的斜率为定值．

20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）的分布列为：

9 优辉共享

 P

0 1 2 3 4 5 6 7654321 282828282828282(162534)2． 285432115（Ⅲ）所求的概率为P(≥E)P(≥2)． 2828（Ⅱ）数学期望为E

21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．

解：（Ⅰ）我们有TnTn1(1r)an(n≥2)． （Ⅱ）T1a1，对n≥2反复使用上述关系式，得

TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ann1n2 a1(1r)a2(1r)

①

an1(1r)an，

在①式两端同乘1r，得

(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)

②

nn1n2②①，得rTna1(1r)d[(1r)(1r)(1r)]an

d[(1r)n1r]a1(1r)nan． rardarddn即Tn12(1r)n12．

rrrardarddn如果记An12(1r)，Bn12n，

rrr

则TnAnBn． 其中An是以

a1rd(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以2rarddd12为首项，为公差的等差数列．

rrr

10 优辉共享