2014年全国高考重庆市数学(文)试卷及答案【精校版】

2014年重庆高考数学试题（文）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）

A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

2.在等差数列{an}中,a12,a3a510，则a7（ ）

A.5 B.8 C.10 D.14

3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）

A.100 B.150 C.200 C.250

4.下列函数为偶函数的是（ ）

 A.f(x)x1 B.f(x)3xxx xx2 C.f(x)22 D.f(x)x2

5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为

A.10 B.17 C.19 C.36

6.已知命题

p:对任意xR，总有|x|0；

\"\"x20\"的根 q:\"x1是方程

则下列命题为真命题的是（ ）

A.pq B.pq C.pq D.pq

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.12 B.18 C.24 D.30

x2y221(a0,b0)2F，Fab2分别为双曲线8.设1的左、右焦点， 双曲线上存在一点P使

1||PF2|)b3ab,则该双曲线的离心率为（ ） 得(|PF22A.2 B.15 C.4 D.17

（log243a4b）9.若logab,则ab的最小值是（ ）

A.623 B.723 C.643 D.743

13,x(1,0]f(x)x1,且g(x)f(x)mxm在（1,1]x,x(0,1]10.已知函数内有且仅有两

个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）

91111(,2](0,](,2](0,]2 B.42 A.492112(,2](0,](,2](0,]3 D.43 C.4二、填空题

},则AB______. 11.已 知集合A{1,2,3,5,8},B{1,3,5,8,1360，且a(2,6),|b|10,则ab_________. 12.已知向量a与b的夹角为

fxsinx0，22图像上每一点的横坐标缩短为原来的 13. 将函数

一半，纵坐标不变，再向右平移6的单位长度得到ysinx的图像，则

f6______.

B两点，且 14. 已知直线xya0与圆心为C的圆xy2x4y40相交于A， ACBC，则实数a的值为_________.

15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在

该时间段的任何时间到校是等可能的， 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ （用数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）

已知an是首相为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和. （I）求an及Sn；

（II）设bn是首相为2的等比数列，公比q满足qa41qS40，求bn的通

222 项公式及其前n项和Tn.

17. （本小题满分13分.（I）小问4分，（II）小问4分，（III）小问5分）

20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：

（I）求频数直方图中a的值；

60与60，70中的学生人数； （II）分别球出成绩落在50，70的学生中人选2人，求次2人的成绩都在60，70中的概率. （III）从成绩在50，

18.（本小题满分12分）

在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且abc8

（1）若

a2,b52，求cosC的值;

9BASsinCsinBcos22sinC222，且ABC的面积，求a

（2）若

sinAcos2 和b的值.

19.（本小题满分12分）

已知函数

f(x)xa3lnx4x2，其中aR，且曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切

线垂直于

y1x2

（1）求a的值；

（2）求函数f(x)的单调区间和极值。

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分） 如题（20）图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，

BM12.

AB2,BAD（1）证明：BC3，M为BC上一点，且

平面POM；

（2）若MPAP，求四棱锥PABMO的体积.

21.

x2y221(ab0)2b1,F2，点D在椭圆上，如题（21）图，设椭圆a的左右焦点分别为F|F1F2|222DF1F1F2，|DF1|1F2的面积为2. ，DF（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

数学（文）（重庆卷）参考答案

一、 选择题

（1）B （2）B （3）A （4）D （5）C （6）A （7）C （8）D （9）D （10）A

二、 填空题

（11）3,5,13 （12）10 （13）

二、 简答题 （16）解：

92 （14）0或6 （15）

322（I）因为an是首项a11，公差d2的等差数列，所以

ana1n1d2n1

故,Sn13(2n1)na1ann12n1n2 2222（II）由（I）得，a47,S416.因为qa41qS40，即q8q160 所以q40，从而q4.

又因b12，是bn公比q4的等比数列，所以bnb1qn124n122n1 从而bn的前n项和Tn（17）解：

（I）据直方图知组距=10，由

2b11qn1q2n41 32a3a6a7a2a101，解得a2000.005

（II）成绩落在50,60中的学生人数为20.00510202

成绩落在60,70中的学生人数为30.00510203

160中的2人为A1,A2，成绩落在60,70中的3人为B1、B2、B3，（III）记成绩落在50，70的学生中人选2人的基本事件共有10个： 则从成绩在50，A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3

其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：B1,B2,B1,B3,B2,B3 故所求概率为P

3 10

（18）解：

（Ⅰ）由题意可知：c8ab7 2222572222abc221

由余弦定理得：cosC52ab5222（Ⅱ）由sinAcosBAsinBcos22sinC可得：221cosB1cosAsinAsinB2sinC

222化简得sinAsinAcosBsinBsinBcosA4sinC

因为sinAcosBsinBcosAsin(AB)sinC，所以sinAsinB3sinC 由正弦定理可知：ab3c，又因abc8，故ab6 由于S19absinCsinC，所以ab9，从而a26a90，解得a3,b3. 22（19）解：

（Ⅰ）对fx求导得fx1a12，由fx在点1,f1处切线垂直于直线4xx135yx知fxa2,解得a；

244x53151x24x5lnx，则fx2, （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)44x244xx4x2令fx0，解得x1或x5.因x1不在fx的定义域0,内，故舍去. 当x0,5时，fx0,故fx在0,5内为减函数； 当x5,时，fx0,故fx在5,内为增函数； 由此知函数fx在x5时取得极小值f5ln5. （20）解：

（Ⅰ）如答（20）图，因ABCD为菱形，O为菱形中心，连结OB，则AOOB，因

BAD3，故OBABsinOAB2sin61

又因为BM1，且OBM，在OBM中

32OM2OB2BM22OBBMcosOBM

1311221cos

2342222所以OBOMBM，故OMBM

2又PO底面ABCD，所以POBC,从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直，所以BC平面POM.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，OAABcosOAB2cos63 设POa，由PO底面ABCD知，POA为直角三角形，故

PA2PO2OA2a23

由POM也是直角三角形，故PMPOOMa22222223 4连结AM，在ABM中,AMABBM2ABBMcosABM

12211 222cos234222由已知MPAP，故APM为直角三角形，则

PA2PM2AM2

即a3a22321333，得a，a（舍去），即PO 44222此时SABMOSAOBSOMB 11AOOBBMOM 22111353 3122228所以四棱锥PABMO的体积

115335VPABMOSABMOPO

338216（21）解：

（Ⅰ）设F1c,0,F2c,0，其中cab，

222由

F1F2DF122得DF1F1F2222c 2从而SDF1F21222DF1F1F2c,故c1. 2229232222DFDFFFDF，由DF得，因此. FF21122112222从而DF1所以2aDF1DF222，故a2,b2a2c21

x2y21 因此，所求椭圆的标准方程为：2

x2y21相交，P（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆1x1,y1,P2x2,y22F2P2由圆和椭圆的对称是两个交点，y10,y20，F1P1,F2P2是圆C的切线，且F1P1性，易知x2x1,y1y2

F2P2由（Ⅰ）知F所以F1P再由F1P,0,F21,0，1111x11,y1,F2P2x11,y1，

4x1222x11，得x11y0，由椭圆方程得1即3x1解得x1或4x10，

32221x10.

当x10时，P1,P2重合，此时题设要求的圆不存在. 当x14C，设C0,y0 时，过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心

315y1y0y11,而y1x11,故y0

33x1x1122由CP1F1P1,得

42415圆C的半径CP 13333

532综上，存在满足条件的圆，其方程为：x2y

39

2