2015年高考数学(理)试题(重庆卷)

2015年高考数学（理）试题（重庆卷）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．已知集合A=

,B=

，则

A、A=B B、A∩B=C、AB D、BA 【答案】D

【解析】由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1∉B，故A、B、C均错，D是正确的，选D. 【考点】集合的关系.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 集合运算 2．在等差数列

中，若=4，=2，则=

A、-1 B、0 C、1 D、6 【答案】B

【解析】由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2×2-4=0，选B. 【知识点】等差数列的性质.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 等差数列的性质

3．重庆市2013年各月的平均气温（

08122031958

03382）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是

A、19 B、20 C、21.5 D、23

【答案】B.

【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.. 【知识点】茎叶图，中位数.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 茎叶图，中位数 4．“x>1”是“log1(x2)0”的

2A、充要条件 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】log1(x2)0x21x1，因此选B.

2【知识点】充分必要条件.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 充分必要条件

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

123312C、2 D、2

33A、 B、

【答案】A

【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，

1111V122(12)1，选A.

2323【知识点】组合体的体积.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 组合体的体积. 6．若非零向量a，b满足|a|=b的夹角为（ ） A、 B、 C、【答案】A

22【解析】由题意ab3a2b3aab2b0，即

22|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与3423 D、 42222223aabcos2b0，所以333cos20，

cos2,，选A. 242【知识点】向量的夹角.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 向量的夹角

7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是

A、s B、s C、s

34561115 D、s 1224

【答案】C

【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S（此时k=6）还必须计算一次，因此可填s【知识点】程序框图.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 程序框图.

8．已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：x2y24x2y10的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= A、2 B、【答案】C

【解析】圆C标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为C(2,1)，半径为r=2，因此2a110，a1，即A(4,1)，

ABACr2(42)2(11)246.选C.

2121416111211，选C. 12 C、6 D、

【知识点】直线与圆的位置关系.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 直线与圆的位置关系 9．若tanα=2tan

3)10，则 sin()5cos(A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】C

333)coscossinsin101010【解析】由已知，

sin()sincoscossin555333333cos2tansincoscos2sinsincostansin10510510510＝1010tancossin2tancossinsincos5555555155(coscos)(coscos)3cos210101010103，选C.

12sincos2510cos(【知识点】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换

x2y210．设双曲线221（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线

ab与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）

A、(1,0)(0,1) B、(,1)(1,)

C、(2,0)(0,2)D、(,2)(2,) 【答案】A

b2b2【解析】由题意Aa,0,Bc,,Cc,，由双曲线的对称性知D在

aab2b20b4aax轴上，设D(x,0)，由BD⊥AC得解得cx2，1，

acacxacb4所以cx2aa2b2ac，所以

acab4b2b222cab101，因此渐近线的斜率取值范围是a2a2a1,00,1，选A.

【知识点】双曲线的性质.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 双曲线的性质

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分

11．设复数a+bi（a，bR）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3

【解析】由abi3得a2b23，即a2b23，所以

(abi)(abi)a2b23.

【知识点】复数的运算.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 复数的运算.

1812．x3的展开式中x的系数是________(用数字作答). 2x55【答案】

2【解析】二项展开式通项为Tk1C(x)k535k1kk1572k，令()()C5x22x1k157k158，解得k=2，因此x8的系数为()2C52. 222【知识点】二项式定理

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 二项式定理 13．在ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______. 【答案】6 【解析】由正弦定理得

sinADBABAD23，即，解得sinADBsinBsinADBsin1202，ADB45，从而BAD15DAC，所以2C1801203030，AC2ABcos306. 【知识点】解三角形（正弦定理，余弦定理）

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 解三角形（正弦定理，余弦定理） （14）、（15）、（16）三题为选做题，

14．如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.

AOPCEB题（14）图D

【答案】2

62【解析】首先由切割线定理得PAPCPD，因此PD12，

32CDPDPC9，又CE:ED2:1，因此CE6,ED3，再相交弦定理

有AEEBCEED，所以BECEED632. AE9【知识点】相交弦定理，切割线定理.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 相交弦定理，切割线定理. 15．已知直线l的参数方程为x1t（t为参数），以坐标原点为极

y1t点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为

2cos24(0,35)，则直线l与曲线C的交点的极坐标为44_______. 【答案】(2,)

【解析】直线l的普通方程为yx2，由2cos24得

2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2代入双曲

线方程解得x2，因此交点.为(2,0)，其极坐标为(2,).

【知识点】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.

16．若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______. 【答案】a=4或a=-6

【解析】由绝对值的性质知在x=-1或x=a时f(x)可能取得最小值，若f(1)21a5，a或a，经检验均不合；若f(a)5，则

x15，a=4或a=-6，经检验合题意，因此a=4或a=-6

3272【知识点】绝对值的性质，分段函数.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 绝对值的性质，分段函数 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

17．（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）

端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（1）求三种粽子各取到1个的概率；

（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．

【解析】(1)令A表示事件“三个粽子各取到1个”，则由古典概型的

111C2C3C51概率计算公式有PA； 3C1041435(2)X的所有可能取值为0，1，2，且

31221C8C2C8C2C771PX03,PX13,PX238，

C1015C1015C1015综上知，X的分布列为

X P 故E(X)=0?7711?2?1515153． 50 7 151 7 152 1 15【知识点】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 古典概型，随机变量的颁布列与数学期望 18．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）

2已知函数fxsinxsinx3cosx 2（1）求fx的最小正周期和最大值； （2）讨论fx在,62上的单调性. 32-23【答案】（1）最小正周期为π，最大值为单调递增；f(x)在[52,]上单调递减. 123；（2）f(x)在[,5612]上

2【解析】(1)fxsinx1cos2x sinx3cosxcosxsinx22131333 sin2x2x1cos2xsin2xcos2xsin22222323因此f(x)的最小正周期为π，最大值为(2) 当x∈,623. 223时，有02x，从而当02x332时，即

6x552，f(x)单调递；当2x时,即x时，f(x)单调1223123552[,][,]上单调递减，综上可知，f(x)在上单调递增；f(x)在612123递减.

【知识点】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性．

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性 19．（本小题满分13分，（1）小问4要，（2）小问9分）

如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC,PC3,ACB.D,E分

2别为线段AB,BC上的点，且CDDE2,CE2EB2. （1）证明：DE平面PCD

（2）求二面角APDC的余弦值。

【答案】（1）证明见解析；（2）3. 6【解析】(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PC⊥DE，由CE=2，CD=DE=2得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE；由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD

(2)解：由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，如图，过

4点Ｄ作DF⊥CE于F，易知DF=FC=EF=1，又已知EB=1， 故FB=2．

DFFB233==，故AC＝DF＝． ACBC3222以Ｃ为坐标原点，分别以CA,CB,CP的方程为x轴，y轴，z轴的正方

由∠ACB＝，得DF∥AC，

向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，Ａ(,0,0),

骣1Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，ED=(1,-1,0),DP=(-1,-1,3),DA=琪琪,-1,0 2桫32设平面PAD的法向量n１=(x1,y1,z1)，由n1DP0,n1DA0得：

0x1y13z1，故可取n１=(2,1,1) 1xy0112

由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为ED,即

n1n23=从而法向量n1，， n2的夹角的余弦值为cosn1,n2n21,1,0，

|n1||n2|6故所求二面角A-PD-C的余弦值为【知识点】线面垂直，二面角．

3. 6【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理

科试题 线面垂直，二面角．

20．（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）

3x2ax设函数fxaR xe （1）若fx在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线

yfx在点1,f1处的切线方程；

（2）若fx在3,上为减函数，求a的取值范围。

【答案】（1）a=0，切线方程为3x-ey=0；（2）,. 92【解析】(1)对f(x)求导得fx6xaex3x2axexex23x26axa xe因为f(x)在x=0处取得极值，所以f00，即a=0.

3x23x26x33f1,f3当a=0时，fxx,fx，故，从而f(x)eeeex在点(1,f(1))处的切线方程为yx1，化简得：3x-ey=0.

3x26axa2(2)由(1)得，fx，令gx3x6axa，由xe3e3e6aa2366aa236g(x)=0,解得：x1； ,x266当x0,故f(x)为增函数； 当x>x2时，g(x)<0,故f(x)为减函数；

6aa23693，解得a 由f(x)在[3,)上为减函数，知x226故a的取值范围为[,).

【知识点】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．

92

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性． 21．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）

x2y2如图，椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的

ab直线交椭圆于P,Q两点，且PQPF1

yPF1OF2xQ

（1）若PF122,PF222，求椭圆的标准方程 （2）若PF1PQ,求椭圆的离心率e.

x22【答案】（1）+y=1；（2）63 42a=|PF1|+|PF2|=2+2+2-2=4，故a=2. 【解析】 (1)由椭圆的定义，

()()设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此

2c=|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2222(2+2)+(2-2)22=23，即c=3.

x22从而b=a-c=1，故所求椭圆的标准方程为+y=1.

4(2)解法一：如图(21)图，设点P(x0,y0)在椭圆上，且PF1PF2，则

x02y02c2b22222+=1,x0+y0=c，求得x0=a2b,y0. a2b2ac

由|PF1|=|PQ|>|PF2|,得x0>0,从而

2cb222|PF1|=a2b+c2a2b22aa22b2aa22b2ac22.

2由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,从而由

|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a-2|PF1|

又由PF1PF2，|PF1|=|PQ|知|QF1|=2|PF1|，因此2+2|PF1|=4a 于是2+2a+a-2b2()()(2)14=4a.解得e11222263. 【知识点】椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.

22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）

在数列an中，a13,an1anan1an20nN （1）若0,2,求数列an的通项公式； （2）若111 ak012k0N,k02,1,证明：23k012k01k0【答案】（1）an32n1；（2）证明见解析. 【解析】(1)由0，2,有an1an2an2,(nN)

若存在某个n0N，使得an=0，则由上述递推公式易得an+1=0，重

00复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，所以对任意nN,an0. 从而an+1=2annN，即{an}是一个公比q=2的等比数列. 故an=a1qn-1=3?2n-1. (2)由112,1,数列{an}的递推关系变为an1anan1an0，变形

k0k0

为an1an12annN，由上式及a1=3，归纳可得： k03=a1>a2>a3>>an>an+1>>0，

2an2an因为an11ank011k02k02111an，所以对n=1,2，…k0， 1kkka1000nank000求和得ak+1=a1+(a2-a1)++(ak+1-ak)

011111a1k0k0k0k0a11k0a21k0ak01

1111122k03k013k013k013k01另一方面，由上已证的不等式知a1>a2>>ak>ak+1>2得

00ak01a1k011111 k0k0k0a11k0a21k0ak01211111 2k02k012k012k012k01【知识点】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.

【关键字】高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年重庆卷理科试题 等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.