教学研究 ●辽宁朝阳广播电视大学附属电视中专 刘继英 一题多解＼一题多变与多题一法教学例谈 由于ｔ－．面的推理每一步都可逆． ・．．在对学生基本技能训练的教学中，适当地进 行一题多解、一题多变与多题一法的教学，对激发 （ａ＋ ＋（ｈ＋ ≥雩 ａ１）≤｛．・‘ａ－３１ｂ－ Ｉ＞４ １—２ａｂ＋三＋三＋４≥５—２ａｂ＋ ａ‘ｂ 学生的学习兴趣、进一步提高学生分析、综合、归 纳能力、加强基本技能的训练是有益的。结合儿个 例子谈谈个人的粗浅看法。 （一）一题多解 证法２（运用算术平均一几孵平均不等式之・）： ‘・ ＿’．（ａ＋ ＋（ｈ＋２ ａ２＋ｂ ＋÷＋ ４ ：所谓一题多解，是指从各种不同的角度和用 不同的思维方法去解同一个习题，随之得到不同的 ａｂ ≥５－２×｛一２×４： 证法３．（运用柯两一布雅可夫斯基不等式）： （ａ＋ ＋（ｈ＋ ≥．２（ａ＋ ＋（ｂ＋ ＝解法．在一章的教学结束后，选择有代表性的习 题，启发学生积极思维、探讨它的多种解法，我们 会发现，选择的这个题能起到“以一带十“的作 ２【 ） ＋（ Ｊ【（ ＋ ） １ ，， 用 比如不等式的证明的教学可举一个例子，把分 析法、综合法、反证法，运用重要的不等式直接证 的方法等，在这一个题的各种证法中串讲，既能证 明这个题，又能复习巩固证明不等式的基本知识与 基本技能： ≥２（肺＋赤） ＝２【（志 ） ＋４】 ≥２【（２一 ） ＋４］： 证法４．（运用不等式兰芋≥ｆ半）ｚ）： 令ｘ＝ａ＋｛，ｙ＝ｈ＋古，运用不等式 例１．ｉ￣ａ＞Ｏ，ｂ＞Ｏ，ａ＋ｌ１＝ｌ’求证：（ａ＋ ＋（ｂ＋ ≥雩 证法１．（分析法或逆证法）： ≥（半）才） 有（ａ＋｛） ＋（ｂ＋击） 假定（ａ＋ ＋（ｂ＋ ≥雩成立， 那么就有ａ ＋ｂ２＋与 ４≥雩即 （ａ ＋ｂ ）（ａ ｂ ＋１）一 五 ｂ ≥０ 运用ａ＋ｂ＝ｌ就有 ≥专（ａ＋告＋ｂ＋亡） ＝｛（１＋ ≥｛（１＋４） ＝ 本例还有一些别的证法、 如三角代换法（令 ｆｌ一２ａｂ）（ａ２ｂ ＋１）一 五 ｂ Ｉ＞０ 丑Ｄ２—４ａ３ｌ１’一ｌ５ａ ２ｌ１ 一４ａｈ≥０ ａ＞０．１）＞０．ａ＋ｂ＝１ ．ｄ＝ｓｊｌｌ２仅，ｂ－－ＣＯＳ Ｂ， 为锐角，化为三角不等式 证）。这里不一一举例丫，如几何的证明题．方程 的应用题，求函数的极值，排列与组合的应用题等： （二）一题多变 所谓一题多变．是指两方面的情况。一方面 是条件不变．还可以推出哪些结论，这些结论之间 有什么联系。另一方面，条件改变．原结论还成不 厮≤丁ａ＋ｂ＝ １，ａ｝Ｊ≤｛， ２－－４ａ３ｂ 一１５ａ ｂ 一４ａｈ≥ ２—４ －１５× 一４×｛＝０成立： ４．提问要重视学生的思维过程。培养学生科学 应，慎重处理学生的回答，以不同的方式评价学生 的思维方法是提高学生科学素质的主要内容 思路 往往比结论更为重要 学生只有学会了思考，才能 掌握获取知识的本领。多问几个“为什么”．暴露 学生的思维过程，不仅便于教师＿ｒ解学生思考问题 的方法，而且能达到学生间相互交流思路的目的， 的回答，及时矫正其认识缺陷 在评价学生的回答 时，要坚持表扬为丰，时刻给学生以鼓励，即使回 答完全错误，也应听他说完．再给予评价。要努力 去发现其中的积极因素，给予某一方向、某种程度 的肯定 总之，课堂提问是一门学问，也是一门艺 相互启发，取长补短，提高分析问题的能力。 （五）课堂提问的评价 “目标、教学和评价”是现代教学观的三要 素。在提问时，教师要自始至终细心观察学生的反 术，没有固定的模式，只有不断探索，才能运用自 如 ‘霉ｉ＃－ 屯 ＥＷ《；ＵＲＲＩＣＵＩ ＵＭ ＲＥＳＥＡＲＣＨ 成立，能推出怎样的新结论，推导的途径又与原来 的方法有什么不同 在习题课与复习课的教学中． 可以适当地选择有关一题多变的题，沟通知识之间 的联系，指给学生考虑问题的方法。提高学生分析 与演绎能力，以及勇于探索知识的能力 例２．若△ＡＢＣ的三边ａ、ｈ、ｃ成等差数列。 求证： （１）ｃｏｓ吉（Ａ—ｃ）＝２ｃｏｓ吉（Ａ＋ｃ）； （２）ｔａｎａ・ｔａｎ粤＝＿｛－ 、 证：（１）’．’ａ 一２ｂ，由正弦定理有 ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＢ ・．．２ｓｉｎ华ｃｏｓ ＝４ｓｉｎ导ｃｏｓ导 ・・．△ ：９０。一导（导＃９０。） ・．．２ｃｏｓ导ＣＯＳ ＝４ｃｏｓ华ｃｏｓ导 ． ．ｃｏｓ｛（Ａ—Ｃ）＝２ｃｏｓ告（Ａ＋ｃ）． （２）由（１）的结论有 ｃ。ｓ令ｃ。ｓ导＋ｓｉｎ令ｓｉｎ导＝２ｃｏｓ今ｃ。ｓ导一２ｓｉｎ今ｓｉｎ导 ・．．ｃｏｓ夸・ｃ０ｓ导＝３ｓｉｎ令ｓｉｎ导 ・．．ｔａｎ ・ｔａｎＣ：４ 例２的条件不变，还可以推出以下一串结论： （１）ｓｉｎ＂ 、ｓｉｎ＂导、 ｉ 导也成等差数列； （２）ｃｏｔ鲁、 ｏｔ导、ｃｏｔＣ也成等差数列ｉ； （３）㈤Ａ＋ＣＯＳＣ＝４ｓｉｎ２导； （４）ａ ＣＯＳ２ ｃ ０ｓ 会：寻ｂ。 对于上述多变的结论，能使我们 以一带 十”，作一个题．带一大串。 （三）多题一法 所谓多题一法，是将习题分类，同一类型的 题有共同的解题技巧和方法，也就是说，同一类型 题虽然从表面上看，提法、条件结论都不同，但其 解法思路和主要步骤大致相同，我们把这样一类题 归并在一起讲解和组织学生练习．达到提高学生综 合与归纳能力，并使知识系统化＋ 例３．若△ＡＢｃ的三边ａ、ｂ、ｃ成等差数列，最 大角 ，最小角为ｐ，求证：－ｒ ＝导 证：不妨设ａ＞Ｉ）＞（・． 。 ＿． ｄ＝ ① ＣＯＳ ｐ＝—ａ￣＋ ｂ－广＿ｃ－ ② ２ｂ＝ａ＋ｃ ③ 由①、②得 ｒ 乙仅＝——０ ＯＳ 一 ±！ ±ａ）（Ｌ ｃ—ａ）ｂ％２ｂ（ｃ－ａ） ｂ＋２ｆｃ—ａ１ — — ａ＋ｃ＋ ４（ｃ－：————一ａ）：５ｃ－３ａ ———一４ｃ ４ｃ 。同理由②、③得 ｃ。ｓ ｐ＝ ５ａ－ ３ｃ ． ＣＯＳ仅＋ＣＯＳｐ 一１ ５ｃ－３ａ ５ａ－３ｃ ＋百 一１＋（５ｃ－３ａ）（５ａ－３ｃ） 。 ｌ６ａｃ ４（１５（１Ｏａ ０ａｃ－３＝——ｃ ３一 一蕊ａ２ａ ３－３ｃ２ 、ｃ＝鲁 ） 例３证法的思想方法是，运用余弦定理，将所 要证的关于三角函数的关系式，化为只含有边的字 母的代数关系式，运用ａ、ｂ、ｒ成等差数列的条 件，逐步推证． 这种方法可以解很多题 、当我们要 证明三角形中有关边角的关系式，或者证明一般的 三角函数关系式时，有相当一类题可以用如下的技 巧与方法；运用正弦定理．余弦定理或三角公式 “化角为边，化边为角”，统一规格，运用假设条 件，逐步推证，将三角问题化为代数问题来解决， 或借助代数知识将关系式化为单一的三角函数的关 系式来解决。 例４．在Ａ ＡＢＣ中，若２ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝２ 求证：２ａ＝ｂ＋ｃ。 同样的方法，将ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ化为关于 ａ、ｂ、ｃ的表示式后，变成一个纯代数问题。 例５．在△ＡＢＣ中，若ａ ：ｂ（ｂ＋ｃ），求证： Ａ＝２Ｂ。 常用方法是“化边为角”将代数关系式ａ２ ＝ｈ ＋ｃ）化为关于三角函数的关系式来推证。 例６．在Ａ ＡＢＣ中，若Ａｃｏｓａ＝ｂ（．０ｓＢ，求证这个三 角形为等腰三角形或直角三角形。 这个题可以通过“化角为边”推出ａ＝ｂ或 ｃ ＋ｈ 。也可以通过“化边为角”推出Ａ＝Ｂ或 Ａ＋Ｂ＝ ，。 在我们的实际教学中，多题一法的内容很 多，我们的任务，就是通过多种教学方式引导学生 去探索知识之间的内在规律，让学生逐步掌握解题 的技巧和方法，真正使学生在漫无边际的题海中做 起题来左右逢源运用自如。 一题多解、一题多变与多题一法之间是互相 联系的。有的也难绝对分开，我们要在抓好基础知 识基础上，精心安排，教学中不能操之过急，按学 生实际适当选择内容，对学生各方面能力真正有一 个提高
