2012年高考真题——数学(江苏卷)解析版(1)

一.填空题：

2，4}，B{2，4，6}，则AB ▲1．已知集合A{1， ．

【答案】 1,2,4,6

【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A和集合B的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为1,2,4,6. 【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.

2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15

【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：50315人，答案 15 . 10【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．

bR，abi3. 设a，【答案】8

【解析】据题abi而 ab8.

117i（i为虚数单位），则ab的值为 ▲ ． 12i117i(117i)(12i)2515i53i，所以 a5,b3, 从

12i(12i)(12i)5【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.

4. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．

【答案】5

2【解析】根据循环结构的流程图，当k1时，此时k5k40；不满足条件，继续执行2循环体，当k2时，k5k46；不满足条件，继续执行循环，当k3时，2k25k42不满足条件，然后依次出现同样的结果，当k5时，此时k5k44，

此时满足条件跳出循环，输出k的值为5．

【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程． 5. 函数f(x)12log6x的定义域为 ▲ ． 【答案】0,6

【解析】根据题意得到 12log6x0，同时，x＞0 ，解得log6x又x＞0，所以函数的定义域为：0,6 .

【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.

6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】

1，解得x6，23 51,3,9.27,81,243,729,2187,6561,19683.从中随机取【解析】组成满足条件的数列为：

出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为

3. 5【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.

7．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为 cm3.

【答案】6cm

3D1 A1 D A

B C1 B1

C

D1A1DAOBC1B1C

【解析】如图所示，连结AC交BD于点O，因为 平面ABCDBB1D1D，又因为

ACBD，所以，AC平面BB1D1D，所以四棱锥ABB1D1D的高为AO，根据题意ABAD3cm，所以AO32，又因为BD32cm，AA1D1D12cm，故矩形BB2132626cm3. 32的面积为62cm，从而四棱锥ABB1D1D的体积V2【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥ABB1D1D的高为AO，这是

解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.

x2y21的离心率为5，则m的值为 ▲8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ． mm24【答案】2

【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在x轴上（否则不成立），因此m＞0，由离心率公

mm245，解得 m2 . 式得到

m【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.

9. 如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若

 ． ABAF2，则AEBF的值是 ▲

【答案】2

【解析】根据题意AFBCDF,所以

D F C E A B ABAFAB(BCDF)ABBCABDFABDFABDFcos02DF2,从而得到DF1，又因为AEADDF,BFBCCF，所以

2AEBF(ADDF)(BCCF)BC00DFCFcos1802.

【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法



找到DF1，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.

1≤x0，ax1，1]上，f(x)bx210. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1，，0≤x≤1，x113bR．若ff，则a3b的值为 ▲其中a， ．

22【答案】10 .

13【解析】因为ff，函数f(x)的周期为2，所以

22131f()f(2)f()，根据f(x)bx2得到3a2b2，

，0≤x≤1，222x1又f(1)f(1)，得到a1所以a3b10.

【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为f()f(度适中.

1≤x0，ax1，b2,即2ab0，结合上面的式子解得a2,b4，212312)f()然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难22411. 设为锐角，若cos，则sin(2)的值为 ▲ ．

6512【答案】

172 50167421【解析】根据cos，cos(2)2cos()12，

65362525因为

co2s()0，所以 3247sin(2)1，因为

325252sin(2172)sin[(2)]sin(2)coscos(2)sin. 1234343450【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度

稍高.

12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ． 【答案】

4 32【解析】根据题意x2y28x150将此化成标准形式为：x4y21，得到，该圆的圆心为M4,0半径为1 ，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M4,0到直线ykx2的距离d11，即可，所以有

44，所以k的最大值是 . 33d4k2k212，化简得k(3k4)0解得0k【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，这句话的理解，只需要圆心M4,0到直线ykx2的距离d11即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.

)，若关于x的不等式f(x)c的解13. 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为[0，m6)，则实数c的值为 ▲集为(m， ．

【答案】9

2【解析】根据函数f(x)xaxb0，得到a4b0，又因为关于x的不等式

2b0c，它的解集为m,m6，设函数f(x)c，可化为：x2axf(x)x2axbc图象与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2，则

x2x1m6m6，从而，(x2x1)236，即(x1x2)24x1x236，又因为 x1x2bc,x1x2a，代入得到 c9.

【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.

clnb≥aclnc，则b，c满足：5c3a≤b≤4ca，14. 已知正数a，b的取值范围是 ▲ ． a

【答案】e,7

clnb≥aclnc，aclnblnccln【解析】根据条件5c3a≤b≤4ca，b，得到 ca3abbabln,ec1，得到cb.又因为5c3ab，所以c，由已知b4ca，

5ccc得到cababb1b，解得. .从而

44a3【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大. 二、解答题

15. （本小题满分14分）

在ABC中，已知ABAC3BABC． （1）求证：tanB3tanA； （2）若cosC【答案及解析】

5，求A的值． 5

【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中. 16. （本小题满分14分）

E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB11AC11，D，F为B1C1的中点． 点C），且ADDE，求证：（1）平面ADE平面BCC1B1； （2）直线A1F//平面ADE． 【答案及解析】

【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化． 17. （本小题满分14分）

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx1(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中20k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

y（千米） O （第17题） x（千米）

【答案及解析】

【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中． 18．（本小题满分16分）

已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点． （1）求a和b的值；

（2）设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；

2]，求函数yh(x)的零点个数． （3）设h(x)f(f(x))c，其中c[2，【答案及解析】

【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大． 19. （本小题满分16分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，

ab3e)和e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． F2(c，0)．已知(1，2（1）求椭圆的离心率；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1 与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （i）若AF1BF2A P B y F1 O F2 x 6，求直线AF1的斜率； 2（第19题）

（ii）求证：PF1PF2是定值． 【答案及解析】

【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件AF1BF26 时，2

需要注意直线AF2平行这个条件.本题属于中档题． 1和直线BF20. （本小题满分16分）

已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an1anbnan2bn2，nN．

2bnbn（1）设bn11，nN，求证：数列是等差数列；

anan（2）设bn12【答案与解析】

bn，nN，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an

【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在

训练时，要引起足够的重视.

数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD

C = DC，连结AC，AE，DE． 求证：EC．

【答案与解析】

A O E （第21-A题）

D B

【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．

B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

1344，求矩阵A的特征值．

已知矩阵A的逆矩阵A11122

【答案与解析】

【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题． C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标中，已知圆C经过点P圆C的极坐标方程． 【答案与解析】

2，3，圆心为直线sin与极轴的交点，求324

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线sin(3)3与极轴的交点，考2查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．

D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x，y满足：|xy|【答案与解析】

115求证：|y|． ，|2xy|，3618

【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用. 22．（本小题满分10分）

设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1． （1）求概率P(0)；

（2）求的分布列，并求其数学期望E()． 【答案与解析】

【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意的取值情况，不要遗漏的取值情况． 23．（本小题满分10分）

2，n}，nN．记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数： 设集合Pn{1，…，APn；②①若xA，则2xA；③若xðPnA，则2xðPnA．

（1）求f(4)；

（2）求f(n)的解析式（用n表示）． 【答案与解析】

【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.