圆中常见的辅助线

一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

例：如图,在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点。求证：AC = BD

证明:过O作OE⊥AB于E

∵O为圆心，OE⊥AB

O∴AE = BE CE = DE

ACEDB∴AC = BD

练习：如图,AB为⊙O的弦,P是AB上的一点，AB = 10cm,PA = 4cm。求⊙O的半径。

OBPA

2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.

例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证: ACBD 证明：（一）连结OC、OD

∵M、N分别是AO、BO的中点

∴OM =

11AO、ON = BO 22∵OA = OB ∴OM = ON

∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB ∴ACBD

(二）连结AC、OC、OD、BD

∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD

∵OC = OD ∴AC = BD ∴ACBD

CADMONB

3.有弦中点时常连弦心距

例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点，AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM

证明:连结OM、ON

∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点

∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON CA∴∠OMN = ∠ONM

o

N∵∠AMN = 90－∠OMN MoO∠CNM = 90－∠ONM

DB∴∠AMN =∠CNM

4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。

例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点,过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、

D、B。求证：AC = BD

证明:过O1作O1M⊥AB于M，过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N

∴

O1MO1P O2NO2PAMO2∵O1P = O2P ∴O1M = O2N ∴AC = BD

PO1二。有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅DN助线的方法： B⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角

例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD = CE

证明:连结OC

C

∵C为弧AB的中点 ∴ABBC ∴∠AOC =∠BOC

∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO = BO

ODAEB11∴OD = OE = AO = BO

22又∵OC = OC C ∴△ODC≌△OEC

∴CD = CE

三.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.

例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙

O于D，求证:AC = DC 证明：连结AD

∵AB为⊙O的直径 Do

∴∠ADP = 90 BO∵AC = PC

1∴AC = CD =AP

2

ACP

例（2005年自贡市）如图2，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且BAPC.求证:PA是⊙O的切线。 证明：作⊙O的直径AD，连BD，则

CD,ABD90 即DBAD90

∴CBAD90 ∵CPAB

∴BADPAB90 即APAD ∴PA为⊙O的切线.

四．遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质,可得到直径。

o

练习:如图，在Rt△ABC中,∠BCA = 90 ,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC中点，连结BD交⊙O于F。求证：

BCCF BEEF五.有等弧时常作辅助线有以下几种：

⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角

练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM）

2。如图,△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图)

F

A

M1 2CO BABCEDEO

GFD

2题图1题图

六。有弦中点时,常构造三角形中位线。

例:已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD,OE⊥BC于E，求证:OE =

证明：作直径CF，连结DF、BF

∵CF为⊙O的直径 ∴CD⊥FD 又∵CD⊥AB ∴AB∥DF

∴ADBF

∴AD = BF

∵OE⊥BC O为圆心 CO = FO ∴CE = BE ∴OE =∴OE =

1AD 2ACOEBDF

1BF 21AD 2七。圆上有四点时，常构造圆内接四边形。

例：如图，△ABC内接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D,求证：

AB·AC = AD·AE 证明：连结BE

E∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1

F∴∠3 =∠2

A31O∵四边形ACBE为圆内接四边形 2∴∠ACD =∠E

DBC∴△ABE∽△ADC

∴

AEAB ACAD∴AB·AC = AD·AE

八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦

例：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直线分别

交⊙O1、⊙O2于E、F.求证:CE∥DF 证明：连结AB

∵四边形为圆内接四边形

D∴∠ABF =∠C AC同理可证：∠ABE =∠D

O2O1o

∵∠ABF ＋∠ABE = 180 FEBo

∴∠C＋∠D = 180 ∴CE∥DF

九。在证明直线和圆相切时,常有以下两种引辅助线方法:

⑴当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.

⑵如果不知直线与圆是否有交点时,那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。

例1:如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.

求证：PA、PB为⊙O的切线 证明:连结OA

A∵PO为直径

POo

∴∠PAO = 90∴OA⊥PA

B∵OA为⊙O的半径

∴PA为⊙O的切线

同理：PB也为⊙O的切线

例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线,切点为E，求证：CD是小

圆的切线

证明:连结OE,过O作OF⊥CD于F

∵OE为半径，AB为小圆的切线 DF∴OE⊥AB

∵OF⊥CD, AB = CD

∴OF = OE

∴CD为小圆的切线

CAOEB

练习:如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E， 求证：PE是⊙O的切线

A

O

E

CBP

十。当已知条件中有切线时，常作过切点的半径,利用切线的性质定理证题.

o

例:如图，在Rt△ABC中，∠C = 90，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD为直径

的⊙O切AC于E，求AD长。 解：连结OE，则OE⊥AC

∵BC⊥AC ∴OE∥BC

∴

OEAO BCAB在Rt△ABC中，AB = ∴

AC2BC21229215

OEABOB15OE 9AB1545∴OE = OB =

845 ∴BD = 2OB =

44515∴AD = AB－DB = 15－=

4415答：AD的长为.

4CEADOB

练习：如图，⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证:PC = CD P

C

DB

E

AO

十一． 遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用:据切线长及其它性质，可得到：

①角、线段的等量关系；②垂直关系;③全等、相似三角形。 十二．遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质,可得：

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线; ② 内心到三角形三条边的距离相等。

在处理内心的问题时,常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。

十三．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用:外心到三角形各顶点的距离相等。

十四．遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。 作用:①利用切线的性质；② 利用解直角三角形的有关知识. 十五．遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。 作用： ①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； ②利用圆内接四边形的性质；

③利用两圆公共的圆周的性质;垂径定理.

1. 作相交两圆的公共弦

利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。

例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证:CE＝DF。

图1

分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。 证明：连结AB

因为DABE，CABF 又DABCAB180

所以EF180 即CE//DF 又CD//EF

所以四边形CEFD为平行四边形 即CE＝DF 2.作两相交圆的连心线

利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。

例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,两圆的半径分别为62和43,公共弦长为12。求

O1AO2的度数.

图2

分析:公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求O1AO2的度数，可利用角的和或差来求解。

解:当AB位于O1、O2异侧时，如图2。

连结O1、O2，交AB于C，则O1O2AB。分别在RtAO1C和RtAO2C中,利用锐角

三角函数可求得 O1AC45，O2AC30 故O1AO2O1ACO2AC75 当AB位于O1、O2同侧时,如图3



图3

则O1AO2O1ACO2AC15 综上可知O1AO275或15

例2:已知，⊙O1与⊙O2交于A、B，⊙O1的弦AC切⊙O2于A,过B作直线交两圆于D、E.求证：DC∥AE。



分析：由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB，可得∠D=∠CAB, 由切线知∠CAB=∠E，即∠D=∠E即得证。

练习：如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点。经过点A的直线CD与⊙ O1交于点C,与⊙ O2交于点D；经过点B的直线EF于⊙ O1交于点E，与⊙ O2交于点F.求证：CE∥DF.

例、如图8，在梯形ABCD中,以两腰 AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点， 过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。

求证: MN⊥AB。

C E D M OOG NA F B

图

分析:因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，

必有MN⊥O1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB，从而易证MN⊥AB。

证明 连结O1O2交EF于G => MN⊥O1O2。

DO1=O1A，CO2=O2B =〉 O1O2是梯形ABCD的中位线 => O1O2//AB

=>∠EFA=∠EGO1=Rt∠ =〉 MN⊥AB

说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。

十六．遇到两圆相切时 两个相切圆不离公切线 常常作连心线、公切线。 作用：①利用连心线性质； ②弦切角性质; ③切线性质等。

例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P,A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B,直线AP交⊙O2于D。求证PC平分BPD.

图4

分析：要证PC平分BPD,即证BPCDPC 而BPC的边分布在两个圆中，难以直接证明。 若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T 易知BPCTPBTPC 由弦切角定理,得TPBA 又DPC是APC的一个外角 所以DPCAACP 又TPCACP

从而有BPCDPC 即PC平分BPD

例3：已知, ⊙O1和⊙O2外切于A,直线BC切⊙O1于B，切⊙ O2于C。 求证：AB⊥AC（人教版课本P87例4）

分析1：口诀“两个相切圆不离公切线”，过A作两圆的公切线，则∠1=∠2, ∠3=∠4，又∠1+∠2+∠3+∠4=180，则∠2+∠3=90即AB⊥AC。

分析2： 口诀“两圆三圆连心线\"，连结O1O2、O1B、O2C,则点A在O1O2上,易知O1B∥O2C,显然∠1+∠2=90,故AB⊥AC

1。相切两圆常添公切线作辅助线.

例2 如图2，已知⊙O1、⊙O2外切于点P,A是⊙O1上一点,直线AC切⊙O2于点C,交⊙O1

一点B,直线AP交⊙O2于点D .（1）求证:PC平分∠BPD;(2)将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论（武汉市中考题）.

证明:（1)过P点作两圆公切线PQ ∵∠QPC=∠PCQ,

∠QPB=∠A， ∠CPD=∠A+∠QCP，

A ∴∠CPD=∠CPB, 即PC平分∠BPD (2)上述结论仍然成立。

如图3,过点P作两圆公切线PM,则∠MPB=∠A.

C B Q OPM P

OD 图2

B OD C ∴∠BPC=∠MPC－∠MPB=∠BCP－∠A=∠CPA， ∴PC平分∠BPD。 A 图3 说明:作公切线的“公\"字联系了小圆弦切角与大圆弦切角。

2、遇到三个圆两两外切时 两圆三圆连心线 常常作每两个圆的连心线。 作用：可利用连心线性质。

3。两圆三圆时常作连心线作为辅助线

例3 如图4，施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管，两两外切堆放在一起,则最高点到地面距离是_____________(辽宁省中考题）.

解:连O1O2、O2O3、O3O1，过O1作AO1⊥O2O3交⊙O1于A,交O2O3于B ∵⊙O1、⊙O2、⊙O3是等圆, ∴△O1O2O3是等边三角形.

说明：三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题。

A O1 O2 B O3 图4

十七．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆.

作用：以便利用圆的性质。

过小圆圆心作大圆半径的垂线

有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形.

例5。 如图6，⊙O1与⊙O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A,且其夹角为60，AB23，求两圆的半径.



图6

分析：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作O2EO1A，构造RtO1O2E,下面很容易求出结果。

十八．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径

例10 如图10，⊙O1与⊙O2相交于 A、B两点，且O2在⊙O1上，点P在⊙O1上， 点Q在⊙O2上,若∠APB=40°，求∠AQB的度数.

分析 连结O2A、O2B，在⊙O1中利用

P O. 1 B 图 10 A O2 Q

圆内接四边形性质求得∠AO2B=140°，在⊙O2中, ∠AQB=1/2∠AO2B=70°。

切点三角形是直角三角形的应用。

例4 如图5，⊙O1与⊙O2外切于点C, ⊙O1与⊙O2连心线与公切线交于P，外公切线与两圆切点分别为A、B,且A=4，BC=5。

(1）求线段AB长；(2)证明：PC=PA•PB.(2002年杭州市中考题) 解：（1）过C作两圆公切线CQ，交AB于Q ∵QA=QC=QB=

B Q 2 1 OA C OP 图5

2

1AB ∴∠ACB=90° 2∵AC=4 BC=5 ∴AB=41

（2)∵∠ACB=90° ∴∠PCA+∠1=90°,∠PBC+∠2=90°,

从而∠PCA=∠PBC. ∵∠P=∠P， ∴△PCA∽△PBC ∴PC=PA•PB

说明：A、B、C为切点,故有切点三角形为直三角形的重要结论，应用此结论解题能到事半功倍效果。

辅助线,莫乱添，规律方法记心间； 弦和弦心距,亲密紧相连； 切点与圆心连线要领先； 两个相交圆不离公共弦； 两个相切圆不离公切线；

两圆三圆连心线，四点是否有共圆； 直角相对或共弦，应当想想辅助圆; 要证直线是切线，还看是否有共点； 直线和圆有共点,连出半径辅助线； 直线和圆无共点，得过圆心作垂线; 若遇直径想直角，灵活运用才方便。

2