高中数学第三讲 函数与不等式问题的解题技巧

【命题趋向】

全国高考数学科《考试大纲》为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向．考纲是考试法典，是命题的依据，是备考的总纲．科学备考的首要任务，就是要认真学习、研究考纲．对照2007年的考纲和高考函数试题有这样几个特点：

1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型．

6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导．

函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分． 而2007年的不等式试题则有这样几个特点：

1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题. 2．在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题.

3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.

分值在27---32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题．

可以预测在2008年的高考试题中，会有一些简单求函数的反函数，与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。

【考点透视】

1．了解映射的概念，理解函数的概念．

2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．

3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数． 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．

5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．

8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式． 9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．

10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力．

11．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．

12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．

【例题解析】

1.函数的定义域及其求法

函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.

例1．（2007年广东卷理）已知函数f(x)的定义域为M，g(x)=ln(1x)的定义域为N，则M∩N=

1x （A）{x|x1} （B）{x|x1} （C）{x|1x1} （D）

1命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.

解：函数f(x)N={x|1x1}． 故选C

11x的定义域M=xx1, g(x)=ln(1x)的定义域N=xx1,∴M∩

例2. ( 2006年湖南卷）函数ylog2x2的定义域是( ) （A）(3,+∞) （B）[3, +∞) （C）(4, +∞) （D）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.

x0解：由log2x20x4.，故选D.

2.求函数的反函数

求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.

2x,x0 的反函数是（ ） 例3．（2006年安徽卷）函数y2x,x0x2x,x0 （A）y2,x0 （B）yx,x0x,x0x2x,x0 （C）y2,x0 （D）yx,x0x,x0命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.

解:y2x,x又y.f1(x)2yx2,y0,f1(x)x,(x0);2 x,x0.x,x0y2x,x0.故选C.

例4．（2007年湖北卷理）已知函数y2xa的反函数是ybx3，则a ；b ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.

解：

y2xa,x11111与b. 比较得6，aybx3ya,yxaxa.222221 故填6；23.复合函数问题

复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.

例5．（2007年北京卷文）对于函数①f(x)x2，②f(x)(x2)2，③f(x)cos(x2)，判断如下

两个命题的真假：

命题甲：f(x2)是偶函数；

命题乙：f(x)在(，)上是减函数，在(2，)上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②

Ｄ．③

命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解：f(x)(x2)2,f(x2)x2是偶函数，又函数f(x)(x2)2开口向上且在(，)上是减函数，在(2，)上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有f(x)(x2)2．

故选Ｃ

例6．（2006年安徽卷）函数fx对于任意实数x满足条件fx21，若f15,则

fxff5__________.

命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.

1解：由fx21,得fx4f(x)，所以f(5)f(1)5，则

fx211ff5f(5)f(1).

f(12)5fx4.函数的单调性、奇偶性和周期性

函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

例7．（2006年全国卷） 已知函数fxa1,，若fx为奇函数，则a________.

xz1命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即a111112x1应填1. ax.22212x122x1211ax0, 2121x巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即a11应填1. 0,a.22201点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.

例8．（2007年全国卷理I）f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均

为偶函数”是“h(x)为偶函数”的（ ） A．充要条件

B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件

D．既不充分也不必要的条件

命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.

解 先证充分性：因为f(x)，g(x)均为偶函数， 所以f(x)f(x),g(x)g(x)，有

h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，

所以 h(x)为偶函数．

反过来，若h(x)为偶函数，f(x)g(x)不一定是偶函数．如h(x)x2，f(x)x,g(x)x2x，故选B. 方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B

点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证．

5.函数的图象与性质

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.

x例9．(2006年山东卷)函数y=1+a(0（A） （B） （C） （D）

命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.

解：∵y=1+a(0fxxl. oagx,0a1向右平移一个单位得到的

故选A.

6. 函数综合问题

函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．（2007年浙江卷文）已知f(x)|x21|x2kx.

（Ⅰ）若k = 2，求方程f(x)0的解；

（Ⅱ）若关于x的方程f(x)0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明114.

x1x2命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。满分15分。 （I）解：当k2时,f(x)|x21|x22x0. 分两种情况讨论：

①当x211时,即x1或x1时， 方程化为2x22x10,

解得x131313

.因为01,舍去,所以x.2222 ②当x210时,即1x1， 方程化为1+2x = 0， 解得x1， 由①②得，

当k2时,方程f(x)0的解是131x,或x.22

（II）解：不妨设0x1x22，

2 因为f(x)2xkx1,|x|1,

|x|1,kx1, 所以f(x)在0,1是单调递函数，

故f(x)0在0,1上至多一个解，

若x1,x2(1,2),则x1x2 由f(x1)0,得k10,故不符合题意,因此,x10,1,x2(1,2).2

1,所以k1;x1由f(x2)0,得k故当172x2,所以k1.x227k1时,f(x)0在(0,2)上有两个解.2 方法一：

1kk282因为x10,1,所以x1,而方程2xkx10的两根是;k4kk28, 41141则k(k28k),x1x2k28k2因为x2(1,2),所以x2777而yk28k在(,1)上是减函数,则k28k()288,22211因此4.x1x2 方法二：

因为x10,1,所以kx110；

2 因为x2(1,2),所以2x2kx210，

① ②

由①②消去k，得

2xx2xx0,即112x.又因为x(1,2),所以114.

121222x1x2x1x27.以集合为背景的不等式

以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题. 例11. （2007年北京卷文）

记关于x的不等式xa0的解集为P，不等式x1≤1的解集为Q．

x1（I）若a3，求P；

（II）若QP，求正数a的取值范围．

命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法. 解：（I）由x30，得Px1x3．

x1（II）Qxx1≤1x0≤x≤2．

由a0，得Px1xa，又QP，所以a2， 即a的取值范围是(2，)．

8.以线性规划形式出现的不等式

以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解.

例12.（2006 年辽宁卷）双曲线x2y24的两条渐近线与直线x3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是

xy0xy0（A）xy0 （B）xy0 0x30x3（C） xy0 （D） xy0

0x30x3xy0xy0命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力.

xy0解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足xy0

0x3故选(A)

9..以简易逻辑为背景的不等式

以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题.

例13.（2006 年山东卷）设p:x2x200,q:1x0，则p是q的

|x|22（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 命题意图：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力. 解： 由题设可得:

p:x2x200,即p:x5,x4.1x2q:0,即1x1,或x2,x2.|x|2

故选(A)

10..与函数知识结合的不等式

与函数知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.

x12e,x＜2，例14.（2006 年山东卷）设f(x)2log3(x1)，x2.则f(f(2))的值为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

命题意图：本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力. 解：f(f(2))=f(log33)f(1)2e02.故选(C)

12..与平面向量知识结合的不等式

与平面向量知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合平面向量知识和坐标运算,通过和坐标运算和推理来解决问题.

例15.（2006 年辽宁卷）设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是线段AB上的一个动点,APAB,若OPABPAPB,则实数的取值范围是

（A）11

2

（B）121

2（C）112 （D）1212 2222命题意图：本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力. 解：设P(x,y),则由APAB得,

APAB,即(x1,y)(1,1),x1,x1,解得y,y.

OPABPAPB,(x,y)(1,1)(1x,y)(x,1y),221.22x2y2y0,(1)2220,1

又点P是线段AB上的一个动点, 01. 121. 2故选(B)

13..与函数的导数知识结合的不等式

.与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题. 例16. （2006 年江西卷）

已知函数f(x)x3ax2bxc在x2与x1时都取得极值.

3(1) 求a、b的值及函数f(x)的单调区间;

(2) 若对x1,2,不等式f(x)命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基

础知识的综合运用，考查就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.

322解：(1)f(x)xaxbxc, f(x)3x2axb,

2124由f()ab0, f(1)32ab0,3931

得a,b2,2f(x)3x2x2(3x2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表:x f(x) 2(,) 32 32(,1) 31 (1,)  0 极大值  0 极小值  f(x) 所以函数f(x)的递增区间为(,2)与(1,);递减区间为(2,1).

331(2)f(x)x3x22xc 2222 x1,2,当x时,f(x)c为极大值,327 而f(2)2c,则f(2)2c为最大值. 要使f(x)f(2)2c, 解得c<1或c>2.

14..与数列知识结合的不等式

与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题. 例17.（2006 年湖北卷）

设数列an的前n项和为Sn，点n,Sn(nN*)均在函数y3x2的图像上.

n（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bnm对所有nN*都成立的最小正3，T是数列b的前n项和，求使得Tnnn20anan1整数m.

命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.

解：（I）依题意得，Sn3n2,即Sn3n22n.

n当n≥2时， anSnSn1(3n22n)3n122(n1)6n5;

当n=1时，a1S13×12-2×1-1-6×1-5. 所以an6n5(nN). （II）由（I）得bn故

31111，

anan1(6n5)6(n1)526n56n1n1. 11111=111b1...Tn6n126n56n12117713因此，使得111﹤mnN成立的m必须满足1≤m，即m≥10,故满足要求的最

2202026n1小整数m为10. 15..不等式的实际应用

不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识和函数的导数的应用,通

过建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题. 例18．（2007年重庆卷文）（本小题满分12分）

用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长

方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

命题意图：本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用不等式知识解决实际问题的能力．

解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

h1812x34.53x(m) (0x). 422故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x3(m3) (0x3). 从而 V(x)18x18x218x(1x)

令 V(x)0，解得x0（舍去）或x=1，因此x=1. 当 0x1时，V(x)0; 当1x3时，V(x)0，

2故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值. 从而最大体积 VV(1)9126133(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m 答：当长体的长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m. 【专题训练与高考预测】 一.选择题

1.y=x22x3的单调递减区间为（ ）

A.(－∞，－3) B.(－∞，－1) C.［1，+∞］ D.［－3，－1］ 2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）

2

A.y=－x B.y= 1 C.y=3－2x D.y=－x+2x+1

3

x13.设f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数：y=3－

2

2f(x),y=1+2,y=f(x),y=1－f(x)，其中增函数的个数为（ ）

f(x)A.1 B.2 C.3 D.4

xx

4．关于x的方程9+(a+4)·3+4=0有解，则实数a的取值范围是（ ） A．（-∞，-8]∪[0，+∞）B、（-∞，-4） [-8，4） D、（-∞，-8]

22

5．若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2ab-4a-b的最大值是（ ） A．21 B、21 C、21 D、

222

2

2

21

6．已知不等式m＋(cosθ－5)m＋4sinθ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C．m≥4或x≤0 D.m≥1或m≤0 二.填空题

2－1

7.设f(x)=x－1(x≤－2),则f(4)=__________.

－1

8.已知f(x)=3x－2,则f(3x－2)=__________.

9.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝lg1，那么当x∈（－1，0）时， f1x（x）的表达式是_____．

10. 记S=

1210121011210212111，则S与1的大小关系是 . 1cos2x8sin2x11.当x0,时,函数y的最小值是_________.

sin2x212.实数x,y满足三.解答题

xxy,则x的取值范围是__________. y13. 设函数f（x）=log2（x+1），当点（x，y）在y=f（x）的反函数图象上运动时，对应

的点（x,y）在y=g（x）的图象上.

23(1)求g（x）的表达式;

—1—1

(2)当g（x）—f（x）0时，求u（x）=g（x）—f（x）的最小值.

14. 在某产品的制造过程中，次品率p依赖于日产量x，

已知 p1,当0(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？ 15．已知f(x)x(x1).

x1 (1)求f(x)的单调区间； （2）若ab0,c13,求证:f(a)f(c).

(ab)b416．某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B 港，

然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费p1003(5x)2(8y)元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出

这时所花的经费.

【参】

一.1.A 提示：x22x30,则x1或x3,

x22x3x14可知当x1时函数递减 又.

22.D 提示：函数y=－x+2x+1的图象开口向下,对称轴x=1.

3.C 提示：由于f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)＞0，所以其－2f(x),都是增函数. 4.D 5.A 6.C 二.7.－5 .8.x.

9. 提示：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）＝－f（－x）＝－lg1＝lg（1

1x2,和－

f(x)2

f(x)－x）． 10. s<1

11. 4 ; 12. ,04,

三.13. (1)易求f1(x)2x1.g(x)1(4x1).

3—1

(2)由g（x）—f（x）0得：2x1,2.u(x)1(2x3)21.

3212x故231,2,u(x)1.即xlog23,u(x)min1.

21221214. （1）易知TAx(1p)AxpAx[134],x0,100,xN.

3(101x)（2）求T的最大值是个难点.须变换：

TA[x4x40444404]A[x]A{101[(101x)]}易知当且仅当

3(101x)3(101x)333(101x)x101404.4时，T最大.但是xN，f(),f(90)两者的最大值一定是T的最大值

3吗？这是本题的第二个难点.因此，必须证明函数

404，100）上是减函数. T(x)在（0，101404）上是增函数，而在（1013315. 解：（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 f(x)11,

x1f(x)在区间(,1)和(1,)上分别单调递增.

（2）首先证明任意xy0,有f(xy)f(x)f(y).事实上,

f(x)f(y)yxyxyxyxyxyxf(xyxy). x1y1xyxy1xyxy1而 xyxyxy,由(1)知fxyxyf(xy),

f(x)f(y)f(xy)

c114 20,abb2a(ab)b()222a acaa43. f(a)f(c)f(ac)f(3)3

2416.解：题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于y50及4V100,2.5y12.5,同理3x10

V又9xy14

P1003(5x)2(8y)131(3x2y),令z3x2y.

则z最大时P最小.

作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38， ∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.

视z3x2y这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法