第2章 目标规划

线性规划模型研究的是一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题．然而现实生活中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，而且这些标准之间往往不协调，甚至是相互冲突的。目标规划（Goal Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支。

1961年由美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Coopor），在他们合著的《管理模型和线性规划的工业应用》一书中首先提出了目标规划的有关概念和模型，以后这种模型又先后经尤吉·艾吉里（Yuji.Ijiri）等人的不断完善改进，1976年伊格尼齐奥（J.P.Ignizio）发表了《目标规划及其扩展》一书，系统归纳总结了目标规划的理论和方法，目前研究较多的有线性目标规划、非线性目标规划、线性整数目标规划和0～1目标规划等。 本章主要讨论线性目标规划，简称目标规划。

2.1 目标规划的基本概念与数学模型

2.1.1问题的提出

在线性规划解决实际问题时存在如下的的局限性：

1）线性规划是在一组线性约束条件下，寻求某一项目标（如产量、利润或成本等）的最优值，而实际问题中往往要考虑多个目标的决策问题.如核电站的设计问题，传统的单目标规划只允许设定一个目标，那么单一目标选择什么？是使整个电站建设费用为最低，安全运行的可靠性最高，电能输出最大，还是对周围环境的影响最小.显然，上述目标都很重要，且又可能互相矛盾，若系统设计只选取一个目标，如建设费用最低，这可能很容易达到，但这种选择的结果将牺牲其它方面条件，如降低运行的安全可靠性或环境条件的严重破坏，这是一个多目标决策问题，普通的线性规划是为力的。

2）线性规划最优解存在的前提条件是可行域为非空集，否则，线性规划无解.然而实际问题中，有时可能出现资源条件满足不了管理目标要求的情况，此时，仅做无解的结论是没有意义的。

3）线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的，是一律要满足的“硬约束”，而在实际问题中，多个目标和多个约束条件并不一定是同等重要的，而是有轻重缓急和主次之分的。

4）线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最优，但很多实际只需（或只能）找出满意解就可以，如对电站设计问题中的若干目标等。

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由于上述的原因，因而了线性规划的应用范围. 目标规划就是在解决以上问题的研究中产生的，它能更确切地描述和解决许多实际问题。下面通过一个实例引出目标规划的数学模型。

例2-1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的.在单位产品利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见表2-1

表2-1 例2-1数据表 产品 原材料 (kg) 设备工时 (h) 利润 (元) Ⅰ 5 4 6 Ⅱ 10 4 8 限量 60 40 设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为x1,x2，建立线性规划模型

maxz6x18x2

s.t. 5x110x260 4x14x240

x1,x20

解之得最优生产计划为

x18，x22，利润为zmax元。

从线性规划的角度来看，问题已经得到解决，但实际上企业作决策时可能还需根据市场和企业的实际情况，考虑其它的问题，如：

（1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于80元。

这时，问题变成一个多目标问题，用线性规划方法是无法解决的。下面将介绍如何用目标规划方法来解决这样的问题。 2.1.2目标规划的基本概念

由于多目标之间可能存在矛盾，最优解往往不存在，这就要求我们退而求其次，根据目标之间的相对重要程度，分等级和权重，求出相对最优解——有效解（满意解），为此引入以下概念，对目标函数和约束条件作适当处理。

1） 目标值和偏差变量

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目标规划通过引入目标值和正、负偏差变量，可以将目标函数转化为目标约束。 所谓目标值是指预先给定的某个目标的一个期望值，如例2-1中，计划利润80元就是目标的目标值，实现值或决策值是指当决策变量xj0(j1,2,...,n)确定以后，目标函数的对应值。 显然，决策值与目标值之间会有一定的差异，这种差异用偏差变量（事先无法确定的未知量）来刻画，正偏差变量表示决策值超过目标值的数量，记为d未达到目标值的数量，记为d0；负偏差变量表示决策值

0， 显然d,d0且 dd0。

2） 绝对约束与目标约束

绝对约束(absolute restrictions)是指必须严格满足的等式或不等式约束，也称为系统约束。它对应于线性规划中的约束条件（如资源、客观条件约束等），不能满足绝对约束的解即为非可行解，因此也称为硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看作要追求的目标值。在达到目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。

3） 优先因子与权系数

目标规划中，要求实现多个目标，而实际问题在做决策时各目标的重要性不同，可以考虑排出顺序。排在第一位要求达到的目标，我们赋予它优先因子(factor of priority )P1，在它实现的前提下再去解决次要目标．依次把第二位达到的目标赋予优先因子P2 „„，并规定Pk »Pk+1，表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权．因此，不同的优先因子代表着不同的优先等级。在实现多个目标时，首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑其它级别目标，而P2级目标是在保证P1级目标满足的前提下考虑的．决不能因为要使P2级目标更好地实现，而去降低P1级目标的实现值。若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，则可分别赋予它们不同的权系数j，根据目标的重要程度而给它们赋值，重要的目标，赋值较大，反之j值就小。

4） 目标规划的目标函数

通过引入偏差变量，使原规划问题中的目标函数变成了目标约束，那么现在问题的目标是什么呢？我们知道：对于满足绝对约束和目标约束的所有解（即可行解），从决策者角度看，判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好。从而目标规划的目标函数就可由偏差变量构成。它有三种基本表现形式：

a) 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能小． 构造目标函数为：

Min Zdidi．

b) 要求不能超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小．构

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造目标函数为：Min Zdi．

c) 要求超过目标值，即允许超过目标值，但负偏差变量要尽可能地小．构造目标函

数为：Min Zdi．

这样根据各个目标的不同要求，确定出总的目标函数

Min Z(didj)．

i,j5）满意解

目标规划问题的求解是分级进行的，首先求满足P1级目标的解，然后在保证P1级目标不被破坏的前提下再求满足P2级目标的解. 以此类推，总之，是在不破坏上一级目标的前提下，实现下一级目标的最优.因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，称之为满意解。之所以叫满意解，是因为对于这种解来说，前面的目标是可以保证实现或部分实现的，后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。满意解这一概念的提出是相对于最优化概念的，显然它更切合实际。 2.1.3目标规划的数学模型

有了目标规划的几个基本概念的介绍，下面来建立下面问题的目标规划的数学模型。 例2-2 在例2-1中工厂提出的管理目标按优先级排列如下： P1级目标：希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半；

P2级目标：最好能节约4小时设备工时； P3级目标：希望计划利润不小于48元；

由于原材料严重短缺，故原材料约束作为绝对约束，试建立目标规划模型.

d,d(i1,2,3) ii解：引入偏差变量

得到以下三个目标约束：

x12xd1d10 4x 6x 4xdd12223618x2d3d348

PPPmindmind1；2级目标要求2；3级目标要求按优先级确定目标函数，1级目标要求

mind3.

综上，得该问题的目标规划模型为：

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minzPdPdPd112233 （2-1）

s.t. 5x10x60 （2-2）

12 x12xd1d10 （2-3） 4x4xdd36 （2-4） 1222 6x8xdd48 （2-5） 1233 x1,x2,di,di0,i1,2,3 （2-6） 其中:式(2-2)为绝对约束，式(2-3), 式(2-4) 式(2-5)为目标约束。

目标规划中约束的柔性，给决策方案的选择带来很大的灵活性.

例2-3 某计算机制造厂生产A、B、C三种型号的计算机，它们在同一条生产线上装配，三种产品的工时消耗分别为5小时、8小时、12小时，生产线上每月正常运转时间是170小时，这三种产品的利润分别为每台1000元、1440元、2520元，该厂的经营目标为：

P1：充分利用现有工时，必要时可以加班；

P2：A、B、C的最低产量分别为5、5、8台，并依单位工时的利润比例确定权系数； P3：生产线的加班时间每月不超过20小时；

P4：A、B、C三种产品的月销售指标分别定为10、12、10台，并依单位工时的利润比例确

定权系数.试建立目标规划模型.

解：设A、B、C三种产品的产量分别为

x1,x2,x3，单位工时的利润分别为1000/5=200、

1440/8=180、2520/12=210，单位工时的利润比例设为20:18:21，故得目标规划模型为：

minzP1d1P2(20d18d321d3)P3d8P4(20d518d621d7)2

5x8x12xdd170

12311s.t. xdd5 122 xdd5 233 xdd8 344 xdd10 155 xdd12 266 xdd10 377 ddd8820 1 xj,di,di0(j1,2,3;i1,2,,8)

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例2-4某纺织厂生产A、B两种布料，平均生产能力均为1千米/小时，工厂正常生产能力是80小时/周。又A布料每千米获利2500元，B布料每千米获利1500元。已知A、B两种布料每周的市场需求量分别是70千米和45千米。现该厂确定一周内的目标为：

第一优先级：避免生产开工不足； 第二优先级：加班时间不超过10小时； 第三优先级：根据市场需求达到最大销售量； 第四优先级：尽可能减少加班时间。 试求该问题的最优方案。

解 设x1,x2分别为生产甲、乙布料的小时数。对于第三优先级目标，根据A、B布料利润的比值2500:15005:3，取二者达到最大销量的权系数分别为5和3。该问题的目标规划模型为：

minzM1d1M2d2M35d33d4M4d1 x1x2d1d180 x1x2d2d290 s..t x1d3d370 xdd45244 x,x,d,d0 i1,,4.12ii综上分析，目标规划的一般模型为

minzPk(wkldlwkldl)k1l1KL

n （2-7）

s.t. cj1ljxjdldlql(l1,2,,L) （2-8）

aj1nij(,)bi(i1,2,,m) （2-9）

xj0d,dl0 l(j1,2,,n) （2-10）

(l1,2,,L) （2-11）

其中，式（2-7）是目标函数有L个目标，根据L个目标的优先程度，把它们分成K个优先等级，

w,wd,dPPPklklll12K即，是权系数，是正负偏差变量；式（2-8）是目标约束，

ql(l1,2,,L)是L个目标的期望值，一般都应同时引入下、负偏差变量dl,dl，但有时也

ddll可根据已知条件只引入单个或；式（2-9）是目标规划的绝对约束，通常是人力、物力、

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财力等资源的约束；式（2-10）、（2-11）是目标规划的非负约束.

综上所述，一个实际问题的目标规划模型的建立步骤为：

1）根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值（期望值），设定决策变量并列出目标约束与绝对约束；

2）根据决策者的需要将某些或全部绝对约束，通过引入偏差变量转换为目标约束； 3）给各级目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级的各目标，按重要程度不同赋予相应的权系数kl；

4）根据决策者的要求，各目标按三种情况取值：①恰好达到目标值，取didi；②允许超过目标值，取di；③不允许超过目标值，取di．然后构造一个由优先因子、权系数与偏差变量组成的、要求最小化的目标函数．

2．2 目标规划问题的求解方法

2.2.1目标规划的图解法

对于具有两个决策变量的目标规划的数学模型，可用图解法来分析求解，具体步骤如下： 第1步：根据决策变量画出所有（软、硬）约束条件的直线图形，偏差变量以移动（平移）直线的方法加以考虑．

第2步：对P1级的各目标，确定解区域R1．

第3步：对下一个优先级别Pi级各目标，确定它的最优解空间Ri，但必须是RiRi-1

( i=2,3,„)．

第4步：在这个过程中，如果某解区域Ri减小到一点，则可结束这个过程，因为此时没有进一步改进的可能．

第5步：重复第3、4步过程，直到解区域Ri减少到一点或满足了所有k个级别的目标为止，此时，Rk即为这个目标规划的最优解区域，其中的任何一点均为目标规划的满意解．

例2-3 用图解法解例2-2的目标规划模型.

解 将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变量（即x,x），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后，在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）． 如图2-1．

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x2 l3 B d 2d l2 C F l4 d dO 1 d d3 R l1 A D E x1 图2-1 例2-3图解法示意图 按优先级高低，首先考虑P1级目标，要求mind，就在绝对约束的可行解域△OAB中进一步缩小为△OAC，记作R1；再考虑P2级目标，此时要求mind，因而解空间R2为△OCD区域；

最后考虑P3级，此时要求mind，由图2-1可知R3为四边形CDEF区域，这个区域内的任一点

均是该问题的满意解，可使目标函数minz．

由于C、D、E、F坐标分别为（6，3）、（9，0），（8，0），（4．8, 2．4）， 故满意解可表示为：

(x,x)(,)(,)(,)(.,.) (.,.)其中：,

i(i,,,)

这种满足目标函数中所有目标要求的情况，即：minz，在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前面几级目标要求．

例2-5 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台，电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元，黑白电视机的销量是30台，每台可获利40元，该厂确定的目标为：

P1：充分利用装配线每周计划开动40小时；

P2：允许装配线加班，但加班时间每周不超过10小时；

P3：装配电视机的数量尽量满足市场需要.因彩色电视机的利润高，取其权系数为2. 试建立该问题的目标规划模型，并用图解法求解黑白和彩色电视机的产量. 解：设x1,x2分别表示彩色和黑白电视机的产量，问题的目标规划模型为

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1d1P2d2P3(2d3d4) minzPxxdd40 (2-12) 1211 s.t. x1x2d2d250 (2-13)

xdd24 (2-14) 133  x2d4d430 (2-15)

x,x,d,d012ii (i1,2,3,4)

其中在P3级目标中，因彩色电视机的利润是黑白电视机利润的2倍，故取权系数为2.解题过程见图2-2.

xD 2 C d 3_d3 H G d E F 4 d1d_4 d_1 dd_22 0 A B x 1

图2-2 例2-4图解法示意图

d3满足P1,P2目标的解空间R2为四边形ABCD区域，考虑P3的目标要求时，因的权系数大

ddd314于的权系数，故先取=0，这时解空间为ABEF区域，在此区域中，只有E点使取值最

小，故取E点为满意解，其坐标为（24,26），即该厂每周应装配彩色电视机24台，黑白电视机26台.

2.2.2目标规划的单纯形解法

目标规划的数学模型与线性规划的数学模型结构没有本质的区别，所以可用单纯形法求解，但要考虑目标规划数学模型的一些特点，作如下规定：

1）因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以其最优准则为检验数

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jcjzj≥0 j = 1,2,„, n

2）因非基变量的检验数是各优先因子的线性组合，即

jcjakjPk j = 1,2,„, n，k = 1,2,„,K

1P2PK，设 所以在判别各检验数的正负及大小时，必须注意P 即

imink|aki0k1,2,,K

j的正负由aij的正负所决定.

目标规划的单纯形法与一般线性规划单纯形法的求解过程大体相同，只不过由于是多个目

标，且多个目标须按优先等级的次序实现，使其计算步骤略有区别. 解目标规划问题的单纯形法的计算步骤：

1)建立目标规划模型的初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行；设k =1；

2)检验第k行检验数中是否存在负数.若有负数，且有些负数对应的前k-1行的检验数为零，则取这些负数中的最小者对应的变量为换入基变量转3，否则，即所有这些负数对应的前k-1行的检验数中都有大于零的数，此时，说明这些负数对应的检验数已为正数，转5 ；若无负数，说明在前k级中非零检验数对应的变量不需要换入基变量了，转5 ；

3)按最小比值规划确定换出基变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量；

4)按单纯形法进行基变换运算，建立新的单纯形表，转2 ；

5)当k = K时，计算结束，表中的解即为满意解，否则设k = k +1，转2 . 原单纯形表中的思考：

z0处的信息在此可分别为z01,z02,,z0k.

z0j的取值意义是什么？

例2-6 用目标规划的单纯形法求解如下目标规划模型：

minzP1d1P2(d2d2)P3(3d35d4)

5x4xdd21120 s.t. 14x3xdd24 1222 xdd3 133 x1x2d4d42

x,x,d,d012ii (i1,2,3,4)

d,d,d,d1234解：取为初始基变量，建立初始单纯形表见表2-1（Ⅰ），检查检验数P1

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行中有-5,-4两个负数，取min5,45所对应的变量x1为换入基变量，通过计算最小比

d3值，确定为换出基变量，进行基变换运算，得表2-1（Ⅱ），检查检验数P1行中有-5,-4两

dmin5,45个负数，取所对应的变量3为换入基变量，通过计算最小比值，确定d1为

换出基变量，进行基变换运算，得表2-1（Ⅲ），这时，检验数P1行中没有负数，所以检查检验数P2行，依此反复运算，得表2-1（Ⅳ），此时，检验数P1,P2行中已没有负数，P3行中有一个负数-3/7，而它同列P2行上已有正检验数. 因此，若将该负数对应的变量作为换入基变量，则必破坏P2行的非负性（为什么？），故不能被改进了，已得满意解.

*x1决策变量：

18*32783,x2,d1,d3,其余di,d0为零77 偏差变量：77

此时，P1,P2级目标已实现，P3级目标未能全部实现.

表2-1 例2-6单纯形法求解过程表 序号 C CB P1 P2 3P3 0 0 P1 0 P2 P2 3P3 0 5P3 0 xB x1 5 4 x2 4 3 0 1 -4 -3 -5 4 3 0 1 -4 -3 d 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1d -1 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 1d 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2d 0 -1 0 0 0 2 0 0 -1 0 0 0 2 2d 0 0 1 0 0 0 0 -5 -4 1 1 5 4 3d 0 0 -1 0 0 0 3 5* 3d 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 4d 0 0 0 -1 0 0 5 0 0 0 -1 0 0 20 24 3 2 5 12 3 5 4b d1 d2 d3 1* d4 -1 Ⅰ 5P3 检 验 数 P1 P2 P3 -5 -4 2 0 0 1 0 0 0 P1 P2 0 5P3 检 验 d1 d2 4 -1 -1 -5 -4 Ⅱ x1 d4 P1 P2 224

数 0 P3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -5 4/5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 2 0 -2 -1 0 0 0 0 0 3 -1 0 0 0 0 0 3 5 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4/3 1/3 -1 -7/3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 -1 0 0 5 0 0 0 -1 0 0 5 0 0 0 -1 0 0 5 1 8 4 6 3 10 6 8 4 11 3 1 d3 d2 1/5 -1/5 * P2 0 Ⅲ 5P3 检 验 数 0 0 0 Ⅳ 5P3 检 验 数 0 0 0 Ⅴ 5P3 检 验 数 0 Ⅵ 0 -1/5 -4/5 4//5 9/5 0 1/5 -9 3/4* x1 d4 1/5 -1/5 1/5 -1/5 1 0 P1 P2 P3 4/5 -4/5 -1 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 d3 1/4 -1/4 5/4 -5/4 1/4 -1/4 1/4 -1/4 0 1 0 1 d1 x1 d4 -1/4 3/4 7/4 0 0 -35/4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 P1 P2 P3 -5/4 5/4 x2 d1 1/3 -1/3 -4/3 4/3 -4/3 -1/3 0 0 1 7/3* x1 d4 -1/3 1/3 0 1 0 1 P1 P2 P3 0 0 5/3 -5/3 -26/3 35/3 1/7 -1/7 9/7 -9/7 0 0 0 0 x2 d1 4/7 -4/7 32/7 1/7 -1/7 78/7 225

0 3P3 检 验 数 x1 d3 P1 P2 P3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1/7 -1/7 -1/7 1/7 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 3 -3/7 3/7 18/7 3/7 -3/7 3/7 0 0 0 0 3/7 -3/7 26/7 9/7 例2-7 已知一个生产计划的线性规划模型为 minz30x112x2

s.t. 2x1x2140

x160 x2100 x1,x20

其中目标函数为总利润，三个约束条件分别为甲、乙、丙三种资源，x1,x2为产品A、B的产量，现有下列目标：

P1：要求总利润必须超过2500元；

P2：考虑到产品A、B受市场的影响，为避免造成产品积压，其生产量不要超过60和100

单位.

试建立目标规划模型，并用目标规划单纯形法求解.

解：由于产品A与产品B的单位利润比为2.5:1，分别以它们为权系数，得目标规划模型为：

minzPdP(2.5dd) 11234

30x12xdd2500 1211 s.t. 2xxdd222140 1xdd60 133 xdd100 244 ddxx0（i1，2，3，4） ii12 ，，，

d,d,d,d1234取为初始基变量，建立初始单纯形表见表2-2（Ⅰ），检查检验数P1行中有-30,-12

两个负数，取min30,1230所对应的变量x1为换入其变量，通过计算最最小比值，确

226

d3定为换出基变量，进行基变换运算得表2-2（Ⅱ），依此反复运算，最终得表2-2（Ⅴ），

此时检验数P1, P2行中已没有负数，说明已得满意解

*x160,*x2

175,3d2115,3d41253 其余为零

代入原问题知P1, P2级目标都已实现，丙资源尚余125/3单位，而甲资源还缺115/3单位，这对实际生产计划很有指导价值，但该问题若用线性规划求解，结论只是无解,这充分说明目标规划解决问题更为灵活，更为有效.

表2-2 例2-7单纯形法求解过程表 序号 C CB P1 0 0 0 检验 数 0 0 P1 0 0 0 0 2.5P2 30 4P2 4xB x1 x2 12 1 0 1 d 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1d -1 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 -1 0 1d 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -15 2d 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 15* 2d 0 0 1 0 0 0 -30 -2 1 0 30 0 0 -1 0 3b d d d 0 0 -1 0 0 2.5 30 2* d1 30 d2 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 2500 140 60 100 700 20 60 100 400 10 70 Ⅰ d3 1 d4 0 P1 P2 -30 -12 0 0 0 12 1 0 1 -12 0 -3 1/2 1/2 P1 0 0 0 检验 数 d1 d2 0 Ⅱ x1 1 -1 0 -30 2.5 0 1 0 d4 0 P1 P2 0 0 P1 d1 0 0 1 Ⅲ 2.5P2 d31/2 -1/2 1/2 -1/2 0 x1 0 227

0 检验 数 0 d4 0 1 3 -5/4 0 0 0 0 1 0 0 15 0 -15 0 0 5/2 0 -1 0 0 0 5/2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 100 80/3 70/3 250/3 100 115/3 175/3 60 P1 P2  d20 0 0 0 -5/4 5/4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1/5 1/15 -1/15 2/5* 2.5P2 d3 1/30 -1/30 1/30 -1/30 0 1 0 0 Ⅳ 0 0 检验 数 0 0 0 0 检验 数 x1 1 d4 0 2/5 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 P1 P2 0 0 -1/12 1/12 1/12 -1/12 1/12 -1/12 0 0 0 d2 -1/2 1/2 -5/2 5/2 1 -1 x2 0 x1 1 Ⅴ d4 0 -1/12 1/12 1 0 0 0 5/2 -5/2 0 0 0 5/2 -1 125/3 0 1 P1 P2 0 0 2.3目标规划软件求解简介

2.3.1使用Excel求解目标规划简介 例2-8 用EXCEL求解目标规划模型 minzP1d1P2(d2d2)P3d3

x14

2x212  3x12x218 s.t.2xxdd01211解： 1 建立优先级的工作表如图3x12x2P1dd2142-3（a）-(d)所示 2300x1500x2d3d33000,,x1,x2,di,di0,i1,2,3

228

图2-3（a） 例2-8 P1级工作表

图2-3（b） 例2-7工作表D列公式

图2-3（c） 例2-7工作表I列公式 图2-3（d） 例2-7工作表H列公式

2 设定求解参数并求解，

229

确定目标单元格、可变单元格、约束如见图2-4（a）所示。

图2-4（a） 例2-8参数确定

再点击选项得图2-4（b），选采取线性模型、假定非负。

图2-4（b） 例2-8选项确定

点击确定出现下图2-4（c）.

230

图2-4（c）例2-8结果报告选择

选择相应的报告，点击确定得优先级P1运算结果如下图2-4（d）所示，可看出优先级1满足。

图2-4（d） 例2-8运算解结果表

建立优先级P2的工作表，在优先级P1最优解工作表中增加优先级2，H25=G22+H22，参数设置如下图2-5（a）所示.

231

图2-5(a) 例2-8的P2级工作表

点击确定得优先级P2运算结果如下图2-5（b）所示，可看出优先级2得到满足。

图2-5（b） 例2-8 P2级运算解结果表

建立优先级P3的工作表，在优先级P1最优解工作表中增加优先级P3，H26=G23，参数设置如下

232

图2-6（a）所示.

图2-6(a) 例2-8的P2工作表

点击确定，得P2优化运算结果如下图2-6（b）所示，可看出优先级3未得到满足。

图2-6(b) 例2-8的P2运算报告表

233

x12,x24;d3400,d10,d2d20第三级目标没达到。 满意解为：

2.3.2使用LINGO求解目标规划简介

例2-9用LINGO求解例2-8

minz P1d1P2(d2d2)P3d3 x14 2x212 3x12x218 2x1x2d1d10 s.t.3x12x2d2d214  300x1500x2d3d33000 x,x,d,,d,0,i1,2,312ii 与EXCEL求解方式相同，先求解P1级目标为目标的线性规划如图2-7（a）和2-7(b)所示。

如图2-7（a） 例2-8 P1 级目标的LINGO模型

234

如图2-7（b ） 例2-8P1 级目标求解报告

建立以DPLUS1=0作为约束，目标函数为P2级目标的线性规划，求解模型及结果如图2-8（a）和2-8(b)所示。

如图2-8（a ） 例2-8

P2级目标的Lingo模型图

235

如图2-8（b ） 例2-8

P2级目标的求解报告图

建立以DPLUS1=0，DPLUS2=DMINUS2=0作为约束，目标函数为P3级目标的线性规划，求解模型及结果如图2-9（a）和2-9(b)所示。

如图2-9（a） 例2-8 P3 级目标的Lingo模型

236

如图2-9（b） 例2-8 P3 级目标的求解结果图

x2,x4;d400,d0,dd0第三级目标没达到。 123122满意解为：

2.4应用案例

例2-9 某研究所现有科研人员38名，定编人数42名，人员的工资级别与各级人员定编数如表2-5所示.现拟进行工资与人员调整，调整的原则与目标如下：

表2-5 级 别 Ⅳ.实习研究员 Ⅲ.助理研究员 Ⅱ.副研究员 Ⅰ.研究员 年工资额 (千元/人) 10 12 15 20 现有人数 18 10 7 3 定编人数 15 15 8 4 P1: 工资总额不超过50万元/年；

P2: 各级人员数不超过定编人数；

P3:升入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ级的人数分别不低于各定编人数的20%、25%、40%.

并且规定Ⅳ级人员的缺额由外调或招聘增补，其余各级人员应从原有次低级别的人员中晋升.已知Ⅰ、Ⅱ级人员即将离休各一人.应如何确定各级人员调整人数？ 解：1、决策变量

设

xj(j1,2,3,4)为第j级人员增补数.

2、目标约束

（1）工资总额的目标约束

10(18x3x4)12(10x2x3)15(71x1x2)20(31x1)500

237

化简得

故有

5x3x2x10xdd70 123411

5x13x22x310x470

（2）各级定编人数的目标约束 18xx15,即xx3 Ⅳ级：

3434 Ⅲ级：

10x2x315,即x2x35

Ⅱ级：6x1x28,即x1x22

Ⅰ级：2x14,即x12

故有

x3x4d2d23

x2x3d3d35

x1x2d4d42 

x1d5d52 （3）晋级人数的目标约束 晋入Ⅲ级：

x3150.406

晋入Ⅱ级：x280.252 晋入Ⅰ级： x140.201

故有

x3d6d66

x2d7d72  x1d8d81 3、目标函数

P1级：z1d1

P2级：z2d2d3d4d5

P3级：z3d6d7d8

目标函数为



minzP1d1P2(d2d3d4d5)P3(d6d7d8)238

例2-10 某副食品批发商店预测其经营的某种商品今后4个月购进与销出价格（千元/吨）如表2-6所示.该店经营此种商品肯定能批发销售出去，但最大销量受到仓库容量的，而正常库容量为3吨，必要时还可占用机动库容量2吨.该店每月初批发销货，每月中旬采购进货，

进货所需钱款完全依赖销售收入.假定该店第1

表2-6 月 购价 销价 1 2.6 2.9 2 2.5 2.7 3 2.7 3.1 4 2.8 3.3 月初库存量为2吨，其成本价格为2.5千元/吨，而且该月初无现金.该店预订今后4个月的经营目标如下：

P1: 每个月都使用正常容量，尽量不要超

贮；

P2: 每月下旬都应储存1千元以备急用； P3: 力求今后4个月总盈利达到最大. 应如何拟订购销计划？ 解：分析可知：

（1）每月进货量受上月累积销售收入的，而第1月的进货量全靠该月初2吨库存商品销售后的收入.

（2）每月销售量受到半月库存量与上月采购量的. （3）销售利润同采购量、销售量、进价、销价有关. 下面建立该问题的目标规划模型. 1、决策变量 设

xjyj第j月的采购量（吨），

第j月的销售量（吨），j = 1,2,3,4

2、约束条件

（1）各月销量的约束.因为每月都于月初销售，故各月销量第1月的销量y1不能多于该月初库存量2吨.故有

y1≤2

第2月的销量y2不能多于第2月初或第1月末的库存量2y1x1，故有 y22y1x1 类似可得

yj不能多于各月初的库存量.

y32y1x1y2x2

y42y1x1y2x2y3x3

以上四个约束为系统约束，不允许有丝毫超出.把它们化成标准形式如下：

239

y1s12y1y2x1s22y1y2y3x1x2s32

y1y2y3y4x1x2x3s42

其中sr(r1,2,3,4)是松弛变量.

（2）各月采购量的约束.因每月采购量依赖月初销售收入而定，就是说，每月购货款数不能超过手头拥有的现金数，故有

2.6x12.9y12.5x22.9y12.6x12.7y22.7x32.9y12.6x12.7y22.5x23.1y3 2.8x32.9y12.6x12.7y22.5x23.1y32.7x33.3y4 这些约束也是系统约束，移项并添上松弛变量可得

2.9y12.6x1s502.9y12.7y22.6x12.5x2s602.9y12.7y23.1y32.6x12.5x22.7x3s70 2.9y12.7y23.1y33.3y42.6x12.5x22.7x32.8x4s80 （3）正常库容量的目标约束.各月库存量都需力争不超过正常库容量3吨. 第1月存量2y1x13，或y1x11.

第2月库存量(2y1x1)y2x23，或y1y2x1x21. 类似可得

y1y2y3x1x2x31 y1y2y3y4x1x2x3x41 给以上四个约束添上偏差变量，得

y1x1d1d11y1y2x1x2d2d21y1y2y3x1x2x3d3d31yyyyxxxxdd1 1234123444

（4）各月储备金的目标约束. 因每月下旬都应储存1千元以备急需，而第1月没有存款，故可得下述目标约束：

2.9y12.6x1d5d512.9y12.7y22.6x12.5x2d6d612.9y12.7y23.1y32.6x12.5x22.7x3d7d712.9y2.7y3.1y3.3y2.6x2.5x2.7x2.8xdd1 1234123488

240

（5）总盈利的目标约束.总盈利即4个月累积利润.因为这级目标要求总盈利达到最大，无具体数量指标，故为能构成目标约束，需设一具体目标值.由于这级目标优先级最低，只有其它各优先级目标全部满足以后才轮到考虑它，因此该目标值无论取为多大也不会影响其它目标.但若取值偏低，则其它目标先行满足以后，该级目标立即满足，这样将得到一个“最优解”，但由于该级目标订得偏低，却达不到实际可能达到的最大盈利.因此该级目标宁可订得偏高些，这样即便求解时它得不到满足，也能得到一个“次优解”，而该解所对应的总盈利额正是实际所能达到的最大值.

基于上述想法，现在根据题意给最大总盈利估计一个上界.表5-3-4中的销、购差价就是单位盈利额（千元/吨），取其极差：3.3-2.5=0.8，作为单位盈利的上界；又考虑到即便每月经营数量都可达上界5吨（每月正常库容3吨与最大机动库容2吨之和），这样4个月总盈利的上界为：0.8×5×4=16千元.当然，实际最大总盈利远比它小.但是由前所述可知取它无妨，于是就设总盈利目标为16千元.

现在可以考虑构成这个目标约束了.由于这4个月的累积利润等于总销售收入减去总销售成本，而第1月销售成本为2.5×2=5千元，2,3,4月的销售成本依次1～4月每月的销售收入依次为

2.6x1,2.5x2,2.7x3；又知

2.9y1,2.7y2,3.1y3,3.3y4，因此4个月累积利润应满足：

1232.9y12.7y23.1y33.3y452.6x2.5x2.7x故得

16

2.9y2.7y3.1y3.3y2.6x2.5x2.7xdd21 123412399

3、目标函数

P1级目标为不超过正常库容，故有

zdddd11234

P2级目标为每月下旬至少储备1千元，故有

zdddd25678

P3级目标为4个月累积利润不低于16千元，故有

zd39

因此可得目标函数

即

1(d1d2d3d4)P2(d5d6d7d8)P3d9. minzPminzP1z1P2x2P3z3

例2-9和例2-10的软件求解留作练习。

241

本章重点：目标规划模型建立，目标规划的图解法和单纯形法

本章要求： 掌握目标规划的基本概念；掌握目标规划的图解法和单纯形法；掌握目标规划的建模和软件求解；了解目标规划的灵敏度分析。 习 题 2

2-1图解法解下列目标规划问题：

minfPdP112d2P3(2d3d4)

s..t x1x2d1d140

xd1x22d250 x1d3d324

x4x12d4d430

x10,x20;di,di0,i1,2,3,4

2-2用单纯形法求解以下目标规划问题的满意解：

（1） minfPdd11P2d2P3(533d4)

s..t x1x2d1d180

xx12d2d290 x1d3d370

xdd24445

x10,x20;di,di0,i1,2,3,4

（2） minfPd1(d12)P2d2Pd34

s..t 4x15x2d1d180

4x12x2d2d248 8x110x2d3d380

x1d4d45

242

x10,x20;di,di0,i1,2,3,4

2-3 用EXCEL和LINGO求解例2-9和2-10。 2-4 思考题

（1) 目标规划与线性规划异同之处？

（2）目标规划模型中目标函数中偏差变量的表述形式有几种？含义是什么？ （3）优先级因子和权系数的作用？ 2-5 案例练习

（1)某厂生产甲、乙两种产品，每件利润分别为20、30元。这两种产品都要在A、B、C、D四种设备上加工，每件甲产品需要占用设备2、1、4、0机时，每件乙产品需要占用设备2、2、0、4机时。而这4种设备正常生产能力依次为每天12、8、16、12机时。此外，A、B两种设备每天还可加班运行。试拟订一个满足下列目标的生产计划： P1：两种产品每天总利润不低于120元； P2：两种产品的产量尽可能均衡；

P3：A、B设备都应不超负荷，其中A设备能力还应充分利用（A比B重要3倍）。 要求建立模型并运用图解法和EXCEL求解。

2) 某纺织厂生产两种布料：衣料布与窗帘布，利润分别为每米1.5、2.5元。该厂两班生产，每周生产时间为80小时，每小时可生产任一种布料1000米。根据市场调查分析知道每周销量为：衣料布45 000米、窗帘布70 000米，试拟订生产计划以满足以下目标：

P1：不使产品滞销；

P2：每周利润不低于225 000元； P3：充分利用生产能力，尽量少加班。 要求建立模型并运用图解法求解。

3)已知3个工厂生产的同一种产品需供应4个客户，各厂产量、客户需求量，以及厂户间单位运费（百元/吨）具体数据见表2-7 表2-7

客户 B1 B2 B3 B4 产量/吨 243

工厂 A1 A2 A3 需求量/5 3 4 2 5 5 6 4 2 7 6 3 300 200 400 200 吨

100 450 250 用表上作业法试行求解后发现，所得方案仅考虑总运费最少，尚不符合条件许多实际情况。为此，管理部门决定重新寻求调运方案以满足下述目标： （1）B4为重要部门，所需产品必须全部满足； （2）A3至少得供给B1该产品100吨；

（3）为统顾全局，每个客户满足率不低于80%； （4）总运费不超过原方案的10%；

（5）因道路拥挤，A2至B4间应尽量避免分配运量； （6）客户B1与B3的所得量应力求符合需求量比例； 试建立其数学模型,并用EXCEL或LINGO求解。

244