北师大版小学数学知识点

——常用的数量关系式

1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价

5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率

6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数

7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数

9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 ——小学数学图形计算公式

1、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长 ）

周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 （V:体积 a:棱长 ） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ）

周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab

4、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）

(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh

5、三角形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高÷2 s=ah÷2

三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高 s=ah

7、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高） 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2

8、圆形 （S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л

9、圆柱体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式

(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 13、和倍问题

和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数) 14、差倍问题

差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)

15、相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 16、浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 17、利润与折扣问题 利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

——常用单位换算 :

长度单位换算

1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算

1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算

1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升

质量单位换算

1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算

1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算

1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\\3\\5\\7\\8\\10\\12月

小月(30天)的有:4\\6\\9\\11月

平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全

年366天

1日=24时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒

——概念

1、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 2、计数单位 ： 3、数位：

3、数的整除(能被2、3、5、4、8（3）、9、25整除) 4、*奇数偶数（能否被2整除，0也是偶数）

5、*质数合数（判断：因数个数，质数也叫素数，最小质数2，最小合数4，1既不是质数也不是合数）

6、分解质因数 ：（每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 ，叫做分解质因数。7、公因数（几个数公有的因数）、公倍数(几个数公有的倍数)

8、互质数（两个数、互质关系）：公因数只有1的两个数的两个数。（1和任何数、相邻两个数、当合数不是质数的倍数时、两个不同质数、两个合数的公因数只有1时） 9、最大公因数、最小公倍数：*两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。*较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。*较大数是较小数的倍数，那么较

大数就是这两个数的最小公倍数。*两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。*几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 10、小数的意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。（注意：几位小数）

11、小数的分类：纯小数、带小数、有限、无限、无限不循环、循环、纯循环、混循环小数、

12、分数（意义）：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

——通分、约分；分数分类：带分数、真分数、假分数；

13、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。

——方法：

1、数的读法与写法：整数、小数、分数、百分数

2、数的改写：准确数（以亿为单位等）、近似数、四舍五入（省略一个数位后的尾数）、大小比较、数的互化（小数-分数、最简分数、小数-百分数、百分数-分数）

——性质和规律

1、商不变的规律（被除数与除数同时扩大或缩小）、 2、小数的性质（末尾填零去掉零，大小不变）、 3、小数点的移动（小数点左右移，位数不够0补足位）

4、分数的基本性质：分子分母同时乘以或除以相同数（零除外），大小不变——应用于通分5、分数与除法的关系：被除数÷除数= 被除数/除数

被除数 相当于分子，除数相当于分母。（除数与分母不能为零） 6、运算：（概念）

加法：把两个数（加数）合并成一个数（和）的运算叫做加法。

减法：已知两个加数的和（被减数）与其中的一个加数（减数），求另一个加数（差）的运算

乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法

除法：已知两个因数的积（被除数）与其中一个因数（除数），求另一个因数（商）的运算

加法与减法、乘法与除法互为逆运算

小数、分数的加减乘除法与整数的加减乘除法的意义相同

乘方: 求几个相同因数的积的运算叫做乘方 乘积是1的两个数叫做互为倒数 7、运算定律：

加法交换律：加数交换位置，和不变） 乘法交换律：交换因数的位置，积不变） 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变）、（a+b)+c=a+(b+c)

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变）(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加）

减法的性质： a-b-c=a-(b+c) 。 8、运算法则：

整数：加、减（数位对齐，低位加起，满十进一，不够减前一位退一作十） 乘、除 小数：加、减（小数点对齐）——乘（因数共有几位小数，积就有几位小数）——除（除数是整数时，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数时，向右移动除数的小数点变整数，被除数的小数点也向右移动几位，数位不够补0；）

分数：同分母加、减（分母不变，分子相加减）异分母加、减(先通分，再同分母的法则进行计算)带分数加减（整数部分与分数部分分别加减，再合并）分数乘法（分数乘整数、两个分数相乘）分数除法（除以一个分数，等于乘以这个分数的倒数） 9、运算顺序：

小括号、中括号、括号外面

没有括号或括号外面——同级运算从左往右，两级运算先第二级运算（乘除法）再第一级运算（加减法））

——应用题：

整数与小数应用题

平均数：确定总数量和与之相对应的总份数 总数÷总份数＝平均数 归一：（正归一: 单一量×份数=总数量）（反归一: 总数量÷单一量=份数）

已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

归总：（反比例）是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量 单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。 和差：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少

（和＋差）÷2 = 大数 大数－差=小数 （和－差）÷2=小数 和－小数= 大数

和倍：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少 和÷倍数和(倍数+1)=标准数（较小数） 标准数×倍数=另一个数 差倍：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少 两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。 行程：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。 同时同地相背而行：路程=速度和×时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。 同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

流水：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速：船在静水中航行的速度。 水速：水流动的速度。 顺水速度：船顺流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。 顺速=船速＋水速 逆速=船速－水速

还原：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数 从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法

植树问题：清楚总路程、株距、段数、棵树四种数量关系，判断地形，分清是否封闭图形。

沿线段植树 沿周长植树棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1

株距=总路程÷（棵树-1） 总路程=株距×（棵树-1） 盈亏问题：

把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题。 总差额÷每人差额=人数

第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足

年龄：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，其两个不同年龄的差是不会改变 鸡兔：假设法 假设全是兔，鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2

假设全是鸡，兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2

棵树=总路程÷株距 株距=总路程÷棵树 总路程=株距×棵树

——分数和百分数的列式或应用

1、分数加减法应用题：分数加减法应用题与整数加减法应用题解题方法基本相同

2、分数乘法应用题：已知一个数，求它的几分之几是多少。即是“已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。” 3、分数除法应用题：

a.一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。 解题关键：

“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。 确定标准量看作了“单位一”（一般文字“是”“占”“比”的后一个数是标准量），和单位一的量，作比较的数是比较量，就作被除数。

b.已知一个数的几分之几（或百分之几 ) 是多少,求这个数。 (已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。)

解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式.

c.已知一个数是另一个数的几分之几，求另一个数（求比较量用除法）。

4、出勤率 发芽率、小麦的出粉率、产品的合格率、职工的出勤率 、含糖量、含盐率 5、工程问题：

解题关键：分数应用题是把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。

数量关系式：

工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 6、纳税

纳税就是按照一定的比率收入的一部分缴纳给国家。 缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）的比率叫做税率。 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。

利息与本金的比值叫做利率。 利息=本金×利率×时间

工作时间=工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率和=合作时间

——代数初步知识

一、用字母表示数

用字母表示数的意义和作用

* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。 用字母表示数的写法

数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。

将数值代入式子求值

* 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。 二、简易方程

方程：含有未知数的等式叫做方程。

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 三、解方程 求方程的解的过程叫做解方程。 四、列方程解应用题

1 列方程解应用题的意义 ：用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。 2 列方程解答应用题的步骤

* 弄清题意，确定未知数并用x表示； * 找出题中的数量之间的相等关系； 3列方程解应用题的方法

* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。从部分到整体，其思考方向是从已知到未知。

* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。从整体到部分，其思考方向是从未知到已知。

4、列方程解应用题的范围 （小学）

a一般应用题；

b和倍、差倍问题； * 列方程，解方程； * 检查或验算，写出答案

c几何形体的周长、面积、体积计算； d 分数、百分数应用题； 五、比和比例

e 比和比例应用

1、比的意义和性质 ——判断前项、后项、比值 （比的后项不能是零。） （1）比的意义 ：两个数相除又叫做两个数的比。

（2）比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变 （3）求比值和比的简比

（4）比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 线段比例尺和地面上相对应的实际距离。 （5）按比例分配—方法：先求出各部分占总量的几分之几，再求出总数的几分之几 2 比例的意义和性质 （1） 比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项（内项外项）。 （2）比例的性质 ：两个外项的积等于两个两个内向的积。 3 正比例（y/x=k(一定））和反比例（x×y=k(一定) ）

（1） 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，成正比例关系。

（2）反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

——几何的初步知识

一 线和角

（1）线 ——* 直线 * 射线 * 线段 * 平行线 * 垂线 （垂足 ） 两条平行线之间的垂线长度都相等。

从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 ——角的分类 ：锐角、直角、钝角、平角、周角 二 平面图形

长方形 、正方形

三角形： 内角和是180度。三角形具有稳定性 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

按边分：不等边三角形 、等腰三角形 （有一条对称轴）、等边三角形（有三条对称轴） 4平行四边形（两组对边分别平行、易变形、对角相等、相邻两个角度数之和为180度） ：

5 梯形 ：只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。 6 圆 (圆周率：把圆的周长和直径的比值。）

半径r：连接圆心和圆上任意一点的线段。 直径d：通过圆心且两端都在圆上的线段。 周长：围成圆的曲线的长。 面积 ：圆所占平面的大小。

7扇形 ：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。 计算公式 s=n∏r2/360

圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。扇形有一条对称轴。 8环形：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。计算公式 s=∏(R2-r2） 9轴对称图形：一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。 正方形有4条对称轴。 长方形有2条对称轴。 等腰三角形有2条对称轴。 等边三角形有3条对称轴。 三 立体图形

（一）长方体

特征：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。

相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。有8个顶点。

等腰梯形有一条对称轴。 圆有无数条对称轴。 菱形有4条对称轴。 扇形有一条对称轴。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

计算公式： s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh

（二）正方体（特殊的长方体）

特征：六个面都是正方形 ；六个面的面积相等；12条棱，棱长都相等；有8个顶点 。 计算公式 ： S表=6a2 v=a3 （三）圆柱

底面：圆柱的上下两个面 侧面：圆柱的一个曲面 高：圆柱两个底面之间的距离

进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略

的位上的即使是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。 计算公式 s侧=ch s表=s侧+s底×2 v=sh/3 （四）圆锥 （侧面展开得到一个扇形） 计算公式 v= sh/3 底面是圆，圆锥的侧面是个曲面、（圆锥的顶点、底面圆心、高。) （五）球

——简单的统计

一 统计表 （一）意义

* 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做

统计表。 （二）组成部分

* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

（三）种类

* 单式统计表：只含有一个项目* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目 * 百分数统计表：表明各统计项目的具体数量与百分比的统计表。 （四）制作步骤

1搜集数据 2整理数据、分类。 3设计草表 4 正式制表（包括表的名称和制表日期） 二 统计图 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 （二）分类 1 条形统计图：

用一个单位长度表示一定数量，根据数量画长短不同的直条，再按照一定顺序排列起来。

优点：很容易看出各种数量的多少。

复式条形统计图：表示不同项目的直条用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面 注明图例。 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。 制条形统计图的一般步骤:

（1）根据图纸的大小，画两条互相垂直的射线。 （2）确定直线的宽度和间隔。 （3）确定单位长度表示多少。 （4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。 2 折线统计图：

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量描出各点，再用线段顺次连接起来。 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据 年份或月份的间隔来确定。 制作折线统计图的一般步骤:

（1）根据图纸的大小，画两条互相垂直的射线。 （2）确定直线的宽度和间隔。

（3）确定单位长度表示多少。 （4）确定描出各点，用线段顺次连接起来，并注明数量。 3扇形统计图

用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。 优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。 制扇形统计图的一般步骤：

（1）算出各部分数量占总量的百分之几。（2）算出各部分数量的扇形的圆心角度数。 （3）画圆，按照圆心角度数画出各个扇形。

（4）在每个扇形中标明各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹区别开。