2021年四川省资阳市中考数学真题及答案

2021年四川省资阳市中考数学真题及答案

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1．（4分）2的相反数是（ ）

A．﹣2 B．2 C． D．

2．（4分）下列计算正确的是（ ） A．a+a＝2a

2

2

4

B．a⋅a＝a

23

C．（3a）＝6a

22

D．a+a＝a

623

3．（4分）如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

4．（4分）如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）

A．80°

B．70°

C．60°

D．50°

5．（4分）15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（ ） A．平均数 6．（4分）若a，bB．众数

C．方差

D．中位数

，c＝2，则a，b，c的大小关系为（ ）

考试真题汇总——2023年整理

A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c

7．（4分）下列命题正确的是（ ） A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分

8．（4分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB，EF＝1，则GM的长为（ ）

A． B． C． D．

9．（4分）一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：

①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；

②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；

③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，点P从点A出发．沿AC→CD→DA路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，△ABP的面积为y． 其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）

考试真题汇总——2023年整理

A．3

B．2

C．1

D．0

10．（4分）已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，

2

n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若

x1＜m≤x2，则a的取值范围为（ ）

A．﹣4≤a B．﹣4≤a C．a＜0 D．a＜0

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）中国党自1921年诞生以来，仅用了100年时间，人数从建党之初的50余名发展到如今约92000000名，成为世界第一大政党．请将数92000000用科学记数法表示为 ．

12．（4分）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 ．

13．（4分）若x+x﹣1＝0，则3x2

．

14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，ADcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，

2

交CD于点E，则图中阴影部分的面积为 cm．

15．（4分）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，

考试真题汇总——2023年整理

则∠OBA的度数为 ．

16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①AF＝CF；②AF＝

2

EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH．其中所有正确结论的序号为 ．

三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（9分）先化简，再求值：（），其中x﹣3＝0．

18．（10分）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．

考试真题汇总——2023年整理

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；

（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．

19．（10分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种

奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

20．（10分）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y两点．

（1）求直线AB的解析式；

相交于A（m，3）、B（3，n）

（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．

考试真题汇总——2023年整理

21．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC＝6，tanE，求AF的长．

22．（11分）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、

B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°

（1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔AB的高．

，cos53°，tan53°）

考试真题汇总——2023年整理

23．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；

（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2

，

CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；

（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，

AB2＝6，AD2＝4，求sin∠BCD的值．

2

24．（13分）抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），

C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且

DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，

连结CN．当

D'N+CN的值最小时，求MN的长．

考试真题汇总——2023年整理

考试真题汇总——2023年整理

2021年四川省资阳市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1．（4分）2的相反数是（ ）

A．﹣2 B．2 C． D．

【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：2的相反数是﹣2． 故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2．（4分）下列计算正确的是（ ） A．a+a＝2a

2

2

4

B．a⋅a＝a

23

C．（3a）＝6a

22

D．a+a＝a

623

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可． 【解答】解：A.a+a＝2a，因此选项A不正确；

2

2

2

B.a2•a＝a2+1＝a3，因此选项B正确； C.（3a）2＝9a2，因此选项C不正确；

D.a6与a2不是同类项，不能合并计算，因此选项D不正确；

故选：B．

【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是得出正确答案的前提． 3．（4分）如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

考试真题汇总——2023年整理

A． B． C． D．

【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出答案．

【解答】解：主视图看到的是两列，其中左边的一列为3个正方形，右边的一列为一个正方形，

因此选项C中的图形符合题意， 故选：C．

【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．

4．（4分）如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）

A．80°

B．70°

C．60°

D．50°

【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠4＝40°，在根据三角形的外角性质即可得解． 【解答】解：如图，

考试真题汇总——2023年整理

∵直线m∥n，∠1＝40°， ∴∠4＝∠1＝40°，

∵∠3＝∠2+∠4，∠2＝30°， ∴∠3＝30°+40°＝70°， 故选：B．

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理即三角形的外角性质是解题的关键．

5．（4分）15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（ ） A．平均数

B．众数

C．方差

D．中位数

【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

【解答】解：由于总共有15个人，且他们的成绩互不相同，第8的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少． 故选：D．

【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量． 6．（4分）若aA．b＜c＜a

，b，c＝2，则a，b，c的大小关系为（ ） B．b＜a＜c

C．a＜c＜b

D．a＜b＜c

【分析】根据算术平方根、立方根的意义估算出a、b的近似值，再进行比较即可． 【解答】解：∵∴1

2，

，

即1＜a＜2， 又∵2

3，

∴2＜b＜3，

考试真题汇总——2023年整理

∴a＜c＜b， 故选：C．

【点评】本题考查实数的大小比较，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确判断的前提．

7．（4分）下列命题正确的是（ ） A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分

【分析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理进行判断即可选出正确答案．

【解答】解：A、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故错误，是假命题；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题；

C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故错误，是假命题； D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，故错误，是假命题．

（∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DEBC，

∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2， ∴S△ADE：S△ABC＝1:4，

考试真题汇总——2023年整理

∴S△ADE：S四边形DECB＝1：3．） 故选：B．

【点评】本题考查正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握这些定理、定义．

8．（4分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB，EF＝1，则GM的长为（ ）

A． B． C． D．

【分析】由大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，在直角三角形AEB中使用勾股定理可求出BF＝AE＝GC＝DH＝2，过点M作MN⊥FC于点N，由三角形EFG为等腰直角三角形可证得三角形GNM也为等腰直角三角形，设GN＝NM＝a，则

NC＝GC﹣GN＝2﹣a，由tan∠FCBGM．

，

，可解得a．进而可得

【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成， 故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x， 则在Rt△AEB中，有AB＝AE+BE， 即13＝x+(1+x)，解得：x＝2． 过点M作MN⊥FC于点N，如图所示．

2

2

2

2

2

考试真题汇总——2023年整理

∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线， ∴△EFG为等腰直角三角形， ∴∠EGF＝∠NGM＝45°， 故△GNM为等腰直角三角形．

设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，

∵tan∠FCB，

解得：a．

∴GM故选：D．

．

【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键．

9．（4分）一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：

①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；

②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；

③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，点P从点A出发．沿AC→CD→DA路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，△ABP的面积为y．

考试真题汇总——2023年整理

其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）

A．3

B．2

C．1

D．0

【分析】根据下面的情境，分别计算判断即可．

【解答】解：①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，离家的距离＝600×2.5＝1500（米）＝1.5（千米）， 原地停留＝4.5﹣2.5＝2（分），

返回需要的时间＝1500÷1000＝1.5（分），4.5+1.5＝6（分）， 故①符合题意；

②1.5÷0.6＝2.5（秒），2.5+2＝4.5（秒），1.5÷1＝1.5（秒），4.5+1.5＝6（秒）， 故②符合题意； ③根据勾股定理得：AC2.5,

当点P在AC上运动时，y随x增大而增大，运动到C点时，y当点P在CD上运动时，y不变，y＝1.5， 当点P在AD上运动时，y随x增大而减小， 故③符合题意； 故选：A．

2×1.5＝1.5,

【点评】本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义，注意单位换算．

考试真题汇总——2023年整理

10．（4分）已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，

2

n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若

x1＜m≤x2，则a的取值范围为（ ）

A．﹣4≤a B．﹣4≤a C．a＜0 D．a＜0

【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，a＜0．求出抛物线经过点A时a的值即可． 【解答】解：如图，由题意，抛物线的开口向下，a＜0．

当抛物线y＝a（x﹣1）+2经过点A(3,﹣4)时，﹣4＝4a+2,

2

∴a,

观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时，满足条件,

∴a＜0．

故选：C．

【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于选择题中的压轴题． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）中国党自1921年诞生以来，仅用了100年时间，人数从建党之初的50

考试真题汇总——2023年整理

余名发展到如今约92000000名，成为世界第一大政党．请将数92000000用科学记数法表示为 9.2×10 ．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：92000000＝9.2×10． 故答案为：9.2×10．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（4分）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取

n7

7

7

n一本，则抽中文学类的概率为 ．

【分析】用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可． 【解答】解：∵一共有2+4+6＝12本书籍，其中文学类有4本，

∴小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数．

13．（4分）若x+x﹣1＝0，则3x2

﹣3 ．

【分析】根据公因式法可以先将所求式子化简，然后根据x+x﹣1＝0，可以得到x值，然后代入化简后的式子即可解答本题．

2

的

【解答】解：3x∵x+x﹣1＝0，

2

3（x），

考试真题汇总——2023年整理

x+10，

∴x1，

当x1时，原式＝3×（﹣1）＝﹣3，

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，ADcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，

π) cm．

2

交CD于点E，则图中阴影部分的面积为 (2

【分析】连接BE．首先证明∠EBC＝30°，根据S阴＝S矩形ABCD﹣S△EBC﹣S扇形AEB计算即可． 【解答】解：如图，连接BE．

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BCcm，∠C＝∠ABC＝90°，CD∥AB，

在Rt△BCE中， ∵AE＝BE＝2cm，BCcm，

1cm，

∴EC考试真题汇总——2023年整理

∴∠EBC＝30°， ∴∠ABE＝∠BEC＝60°, ∴S阴＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB,

＝21•π•2,

2

＝(2π)cm²．

故答案为:(2π)．

【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30度角的判断等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

15．（4分）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 135° ．

【分析】根据翻折可以知道∠OAB∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求出∠AOB和∠

OAB的度数即可求∠OBA的度数．

【解答】解：由题知，∠AOB180°＝30°，

有翻折知∠OAB∵∠CDE＝75°，

∠DCE，CD＝CE，

考试真题汇总——2023年整理

∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∴∠OAB∠DCE15°，

∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°， 故答案为：135°．

【点评】本题主要考查剪纸问题，熟练掌握剪纸中的翻折是解题的关键．

16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①AF＝CF；②AF＝

2

EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH．其中所有正确结论的序号为 ①②③④ ．

【分析】由菱形ABCD的对称性可判断①正确，利用△CFG∽△EFC,可得CF＝EF•GF,从而判断②正确，设AD＝CD＝BC＝m,Rt△CDE中，CE＝CD•cos60°

2

CDm,BEm,可

得,设AF＝2n，则CF＝AF＝2n,EF＝3n,可得FGn,EG＝EF﹣FGn,

从而FG:EG＝(n):（n)＝4:5,可判断③正确，设CE＝t,Rt△CDE中，CD＝2t＝

AD,DEFHDFt,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2

t,Rt△ADE中，AEt,可求出DFBDt,Rt△DFH中，

t,即可得

EFAEt,FGEFt,Rt△FHG中，cos∠GFH,即可

判断④正确，

考试真题汇总——2023年整理

【解答】解：∵菱形ABCD，

∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，沿直线BD对折，A与C重合， ∴AF＝CF,故①正确， ∠FAD＝∠FCD, ∵AD∥BC, ∴∠FAD＝∠FEC, ∴∠FCD＝∠FEC, 又∠CFG＝∠EFC, ∴△CFG∽△EFC,

∴

2

,

∴CF＝EF•GF,

∴AF＝EF•GF,故②正确， ∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，

∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，AD＝CD＝BC, 设AD＝CD＝BC＝m, ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°，

2

Rt△CDE中，CE＝CD•cos60°CDm,

∴BEm,

∵AD∥BE,

考试真题汇总——2023年整理

∴,

设AF＝2n，则CF＝AF＝2n,EF＝3n, 又CF＝FG•EF, ∴(2n)＝FG•3n,

22

∴FGn,

∴EG＝EF﹣FGn,

∴FG:EG＝(n):（n)＝4:5,故③正确， 设CE＝t,

Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DERt△BDE中，BD＝2DE＝2∵AD∥BE,

t,

t,

∴,

∴DFBDt,

Rt△DFH中，FHRt△ADE中，AEDFt,

t,

∴EFAEt,

∵FG:EG＝4:5,

考试真题汇总——2023年整理

∴FGEFt,

Rt△FHG中，cos∠GFH故答案为：①②③④．

,故④正确，

【点评】本题考查菱形性质及应用，涉及菱形的轴对称性、三角形相似的判定及性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形性质，从图中找出常用的相似三角形模型解决问题．

三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（9分）先化简，再求值：（），其中x﹣3＝0．

【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案．

【解答】解：原式＝（）•

•

•

, ∵x﹣3＝0, ∴x＝3,

此时，原式．

考试真题汇总——2023年整理

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．

18．（10分）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；

（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．

【分析】（1）由B类的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；

（2）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）调查的职工人数为：150÷75%＝200（人），

∴C类职工所对应扇形的圆心角度数为：360°27°，

A类的人数为200﹣150﹣15﹣5＝30（人），

补全条形统计图如下：

考试真题汇总——2023年整理

（2）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种，

∴恰好抽到一名女士和一名男士的概率为．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

19．（10分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种

奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，

考试真题汇总——2023年整理

由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，

依题意，得：，

解得，

答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．

（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w， ∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，

∴m(60﹣m)，

∴m≥20．

依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600， ∵10＞0，

∴w随m值的增大而增大，

∴当学习购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是800元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．

20．（10分）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y两点．

（1）求直线AB的解析式；

相交于A（m，3）、B（3，n）

（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．

考试真题汇总——2023年整理

【分析】(1)由反比例函数解析式求得A、B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；

（2）根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析式，从而求得D的坐标，利用三角形面积公式求得S△ACD＝S△AOD+S△COD＝3,根据勾股定理求得CD、BD的长,即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△ABD的面积．

【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y两点． ∴3m＝3n＝6, ∴m＝n＝2, ∴A(2,3),B(3,2),

相交于A（m，3）、B（3，n）

把A(2,3),B(3,2)代入y＝kx+b得,

解得,

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5； (2)∵AC经过原点O, ∴A、C关于原点对称， ∵A(2,3), ∴C(﹣2,﹣3),

设直线CB的解析式为y＝mx+n,

考试真题汇总——2023年整理

∴,解得,

∴直线BC为y＝x﹣1, 令y＝0,则x＝1, ∴D(1,0),

∴S△ACD＝S△AOD+S△COD＝21×3＝3,

∵BC∴CD＝BC﹣BD＝3

,

5,BD2,

∴,

∴S△ABDS△ACD＝2．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形的面积以及勾股定理的应用等，求得交点坐标是解题的关键．

21．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC＝6，tanE，求AF的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠OBD＝∠ODB，可证OD∥AC，可得OD⊥DE，可得结论；

考试真题汇总——2023年整理

（2）由锐角三角函数可求DE＝4，在直角三角形ODE中，由勾股定理可求OE＝5，通过证明△AEF∽△OED，可得

，即可求解．

【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴AC∥OD， ∴∠DFC＝∠ODF， ∵DE⊥AC，

∴∠DFC＝∠ODF＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵AC＝6＝AB， ∴AO＝OB＝3＝OD，

∵OD⊥DE，tanE，

∴，

考试真题汇总——2023年整理

∴DE＝4， ∴OE∴AE＝OE﹣OA＝2， ∵AC∥OD， ∴△AEF∽△OED，

5，

∴，

∴，

∴AF．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键．

22．（11分）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、

B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°

（1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔AB的高．

，cos53°，tan53°）

【分析】（1）通过作垂线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求

考试真题汇总——2023年整理

出答案；

（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．

【解答】解：（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CF，垂足为M，

∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，

∴，

即，

设DM＝5k，则CM＝12k，

在Rt△CDM中，CD＝13，由勾股定理得，

CM2+DM2＝CD2，

即（5k）+（12k）＝13， 解得k＝1， ∴DM＝5，CM＝12，

答：D处的竖直高度为5米； （2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4， 设DE＝12a米，则BE＝5a米， 又∵∠ACF＝45°， ∴AF＝CF＝（12+12a）米，

∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米， 在Rt△ADE中，DE＝12a，AE＝7+12a，

2

2

2

∵tan∠ADE＝tan53°，

考试真题汇总——2023年整理

∴，

解得m，

∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），

BE＝5a（米），

∴AB＝AE﹣BE＝28（米），

答：基站塔AB的高为米．

【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．

23．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；

（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2

，

考试真题汇总——2023年整理

CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；

（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，

AB2＝6，AD2＝4，求sin∠BCD的值．

【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），进而求解；

（2）证明四边形ADHE为正方形，则BH＝BD+DH＝2+6＝8,CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4,在Rt△

BCH中，tan∠CBH解；

,在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝21，进而求

（3）由DE＝2AD＝DH+EH，得到（3﹣x）+（＝1，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2解．

22222

x）2＝2×（4），求出BD＝x，BD＝1，用解直角三角形的方法，即可求

【解答】解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD＝45°,BD＝CE，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴BD＝CE且BD⊥CE；

（2）延长BD和CE交于点H，

考试真题汇总——2023年整理

由（1）知BD⊥CE，即∠H＝90°，CE＝BD＝2， 而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°, 故四边形ADHE为矩形， 而AD＝AE，

故四边形ADHE为正方形，

在Rt△ACE中,AE则BH＝BD+DH＝2+6＝8,CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4,

6＝DH＝EH＝AD，

在Rt△BCH中，tan∠CBH,

在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；

1，

（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，连结CE，延长EC和BD交于点H，连接DE，

由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°， 由作图知，△ADE为等腰直角三角形， 设CE＝BD＝x，

在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BCAB2，

则CHBC，BH＝BCcos30°＝3，

考试真题汇总——2023年整理

则DH＝BH﹣x＝3﹣x,EH＝CH+CE＝x则DE＝2AD＝DH+EH， 即（3﹣x）+（解得x＝2

2

2

2

2

2

，

x）2＝2×（4

），

（舍去）或1，

即BD＝x＝1，

过点D作DN⊥BC于点N，

在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2

，BD＝1，

则NDBD＝1,BN＝BDcos30°，

则CN＝CB﹣BN＝2,

则tan∠BCD，

则sin∠BCD．

【点评】本题是三角形综合题，主要考查了三角形全等、解直角三角形、勾股定理的运用等，综合性强，难度较大．

24．（13分）抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），

2

C（0，3）．

考试真题汇总——2023年整理

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且

DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，

连结CN．当

D'N+CN的值最小时，求MN的长．

【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决．

(2)如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T,过点P作PQ∥OC交AC于Q．设P(m,﹣m+2m+3),求出BT,PQ,利用平行线分线段成比例定理构建方程求解即可．

（3）如图2中，连接AD,过点N作NJ⊥AD于J,过点C作CT⊥AD于T．证明AD′⊥x轴，

2

由OD′3,推出sin∠OD′A,推出NJ＝ND′•sin∠OD′

AD′N,可得D'N+CN＝CN+NJ,根据CN+NJ≥CT,可得结论．

2

【解答】解：（1）∵y＝﹣x+bx+c经过B（﹣1，0），C（0，3），

∴,

解得,

2

∴抛物线的解析式为y＝﹣x+2x+3．

考试真题汇总——2023年整理

(2)如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T,过点P作PQ∥OC交AC于Q．

设P(m,﹣m+2m+3),

对于抛物线y＝﹣x+2x+3，令y＝0,可得x＝3或﹣1， ∴A(3,0), ∵C(0,3),

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3, ∵B(﹣1,0), ∴T(﹣1,4), ∴BT＝4, ∵PQ∥OC, ∴Q(m,﹣m+3),

∴PQ＝﹣m+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m+3m, ∵PQ∥BT,

2

2

2

2

∴

2

,

∴﹣m+3m＝2,

考试真题汇总——2023年整理

解得m＝1或2， ∴P(1,4)或（2,3）．

（3）如图2中，连接AD,过点N作NJ⊥AD于J,过点C作CT⊥AD于T．

∵抛物线y＝﹣x+2x+3＝﹣(x﹣1)+4, ∴顶点D(1,4), ∵C(0,3),

∴直线CD的解析式为y＝x+3,CD∵DD′＝2CD, ∵DD′＝2

,CD′＝3

,

,

2

2

∴D′(3,6), ∵A(3,0), ∴AD′⊥x轴， ∴OD′

3

,

∴sin∠OD′A∵CT⊥AD′,

,

考试真题汇总——2023年整理

∴CT＝3, ∵NJ⊥AD′,

∴NJ＝ND′•sin∠OD′AD′N,

∴D'N+CN＝CN+NJ,

∵CN+NJ≥CT,

∴D'N+CN≥3,

∴D'N+CN的最小值为3．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用垂线段最短，解决最值问题，属于中考压轴题．

历年考试真题为作者精心整理，如有需要，请下载。