2019年湖南省湘潭市中考数学试卷(答案解析版)

2019年湖南省湘潭市中考数学试卷

题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. 下列各数中是负数的是（ ）

A. |−3| B. −3 C. −(−3)

D. 3

1

2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）

A. B.

C.

D.

3. 今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记

数法表示为（ ）

A. 0.24×105 A. 𝑎6÷𝑎3=𝑎2

B. 2.4×104 B. (𝑎2)3=𝑎5

C. 2.4×103 C. 2𝑎+3𝑎=6𝑎

D. 24×103 D. 2𝑎⋅3𝑎=6𝑎2

4. 下列计算正确的是（ ）

5. 已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c=（ ）

A. 4 B. 2 C. 1 D. −4

6. 随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的

“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（ ）

A. 平均数是8 B. 众数是11 C. 中位数是2 D. 极差是10

7. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若

∠AOB=40°，则∠AOD=（ ） A. 45∘ B. 40∘ C. 35∘ D. 30∘ 8. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型

快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的

时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（ ）

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A. 𝑥−20=𝑥

1

12090

B. 𝑥+20=𝑥

12090

C.

120𝑥

=𝑥−20

90

D.

120𝑥

=𝑥+20

90

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 函数y=𝑥−6中，自变量x的取值范围是______．

10. 若a+b=5，a-b=3，则a2-b2=______．

11. 为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”

活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是______． 12. 计算：（4）-1=______．

13. 将一次函数y=3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为______． 14. 四边形的内角和是______．

15. 如图，在四边形ABCD中，若AB=CD，则添加一个条

件______，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可） 16. 《九章算术》是我国古代

数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：

弧田面积=2（弦×矢+矢

）．孤田是由圆弧和其所

对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB=8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为______平方米．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还

可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2） 立方差公式：x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2）

根据材料和已学知识，先化简，再求值：𝑥2−2𝑥-3𝑥

𝑥2+2𝑥+4𝑥3−8

2

1

1

，其中x=3．

四、解答题（本大题共9小题，共66.0分）

2𝑥≤6

18. 解不等式组{3𝑥+1＞𝑥，并把它的解集在数轴上表示出来．

2

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19. 我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术

达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）

20. 每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他

人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：

①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，，96，98，84，65， 73，，83，76，70，85，83，63，92，90． ②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数x 人数 等第 90≤x＜100 5 A 80≤x＜90 a B 70≤x＜80 5 C 60≤x＜70 2 D x＜60 1 E ③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： ④依据统计信息回答问题 （1）统计表中的a=______．

（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为______．

（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？

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21. 如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AC=16，BC=10，求四边形ABCD的面积．

22. 2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方

案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）

（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．

23. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴的正半轴交于A、

B两点，与y轴的正半轴相切于点C，连接MA、MC，已

知⊙M半径为2，∠AMC=60°，双曲线y=𝑥（x＞0）经过圆心M．

（1）求双曲线y=𝑥的解析式； （2）求直线BC的解析式．

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𝑘

𝑘

24. 湘潭工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色

农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？

（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？

25. 如图一，抛物线y=ax2+bx+c过A（-1，0）B（3.0）、C（0，√3）三点

（1）求该抛物线的解析式；

（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围；

（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．

26. 如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD=5√3，CD=5，点M

是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．

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（1）求∠CAD的大小；

（2）问题探究：动点M在运动的过程中，

①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．

②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决：

如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：-3的绝对值=3＞0； -3＜0；

-（-3）=3＞0； ＞0． 故选：B．

根据负数的定义可得B为答案．

本题运用了负数的定义来解决问题，关键是要有数感． 2.【答案】C

【解析】

解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确； D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误； 故选：C．

俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3.【答案】B

【解析】

104， 解：将24000用科学记数法表示为：2.4×故选：B．

10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的科学记数法的表示形式为a×

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

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10n的形式，其此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】D

【解析】

解：A、结果是a3，故本选项不符合题意； B、结果是a6，故本选项不符合题意； C、结果是5a，故本选项不符合题意； D、结果是6a2，故本选项符合题意； 故选：D．

根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．

本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式等知识点，能够正确求出每个式子的值是解此题的关键． 5.【答案】A

【解析】

解：∵方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根， 1×c=16-4c=0， ∴△=（-4）2-4×解得：c=4． 故选：A．

根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．

本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键． 6.【答案】A

【解析】

5=8，即平均数是8，故A事正确的． 解：（7+2+13+11+7）÷

出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，

从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；

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极差为13-2=11，故D不正确； 故选：A．

从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，

极差为13-2=11，故D不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；

5=8，即平均数是8，故A事正确的． （7+2+13+11+7）÷

考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量的意义是解决问题的前提． 7.【答案】D

【解析】

解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置， ， ∴∠BOD=70°

而∠AOB=40°，

-40°=30°． ∴∠AOD=70°故选：D．

首先根据旋转角定义可以知道∠BOD=70°，而∠AOB=40°，然后根据图形即可求出∠AOD．

此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 8.【答案】B

【解析】

解：由题意可得，

，

故选：B．

根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 9.【答案】x≠6

【解析】

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解：由题意得，x-6≠0， 解得x≠6． 故答案为：x≠6．

根据分母不等于0列式计算即可得解．

本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10.【答案】15

【解析】

解：∵a+b=5，a-b=3， ∴a2-b2 =（a+b）（a-b） =5×3 =15， 故答案为：15．

先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．

本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键． 11.【答案】5

【解析】

3

解：选出的恰为女生的概率为故答案为．

，

随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键． 12.【答案】4

【解析】

解：（）-1==4， 故答案为：4．

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根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．

本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数． 13.【答案】y=3x+2

【解析】

解：将正比例函数y=3x的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为y=3x+2，

故答案为：y=3x+2．

根据“上加下减”的平移规律进行解答即可．

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

14.【答案】360°【解析】

180°=360°解：（4-2）×． 故四边形的内角和为360°． 故答案为：360°．

根据n边形的内角和是（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和． 本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单． 15.【答案】AD=BC

【解析】

解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC． 故答案为：AD=BC（答案不唯一）．

可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．

此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键． 16.【答案】10

【解析】

解：∵弦AB=8米，半径OC⊥弦AB，

∴AD=4， ∴OD=

=3，

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∴OA-OD=2，

2+22）=10， 矢+矢2）=×（8×∴弧田面积=（弦×故答案为：10．

根据垂径定理得到AD=4，由勾股定理得到OD=

OA-OD=2，根据弧田面积=（弦×矢+矢2）即可得到结论． 此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．

+2𝑥+4

17.【答案】解：𝑥2−2𝑥-𝑥𝑥 3−8

3𝑥

2

=3，求得

==

3𝑥

𝑥(𝑥−2)3

−

1

𝑥2+2𝑥+4

(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4)

𝑥−22

−

𝑥−2

=𝑥−2，

当x=3时，原式=3−2=2． 【解析】

2

根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 18.【答案】解：{3𝑥+1

2

2𝑥≤6①

＞𝑥②

，

解不等式①得，x≤3， 解不等式②，x＞-1，

所以，原不等式组的解集为-1＜x≤3， 在数轴上表示如下：

．

【解析】

先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

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19.【答案】解：如图所示：连接OR，由题意可得：

∠AMN=90°，∠ANM=30°，∠BNM=45°，AN=8km，

√3

MN=AN•cos30°=8×=4√3在直角△AMN中，（km）．

2

=4√3km≈6.9km． 在直角△BMN中，BM=MN•tan45°

答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km． 【解析】

利用已知结合锐角三角函数关系得出BM的长．

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

20.【答案】7 90°

【解析】

10%=20（人），a=20×35%=7， 解：（1）总人数=2÷故答案为7．

×（2）C所占的圆心角=360°故答案为90°．

（3）2000×

=100（人），

=90°，

答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．

（1）根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可． ×（2）根据圆心角=360°百分比计算即可． （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．

本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21.【答案】解：（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：

∵△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，

∴AB=AD，BC=CD，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA， ∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠DAC，

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA， ∴AD∥BC，AB=AD=BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形；

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（2）连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=2AC=8，OB=OD， ∴OB=√𝐵𝐶2−𝑂𝐶2=√102−82=6， ∴BD=2OB=12，

BD=×16×12=96． ∴四边形ABCD的面积=2AC×2【解析】

1

1

1

（1）由折叠的性质得出AB=AD，BC=CD，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，由平行线的性质得出∠BAC=∠DAC，得出∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，证出AD∥BC，AB=AD=BC=CD，即可得出结论；

（2）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OB=AC=8，OB=OD，由勾股定理求出OB=积公式即可得出答案．

本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 22.【答案】解：（1）画树状图如下，

=6，得出BD=2OB=12，由菱形面

由树状图知，共有12种等可能结果；

（2）画树状图如下

由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果， 所以他们恰好都选中政治的概率为9． 【解析】

1

（1）利用树状图可得所有等可能结果；

（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．

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本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 23.【答案】解：（1）如图，过点M作MN⊥x轴于N，

∴∠MNO=90°， ∵⊙M切y轴于C， ∴∠OCM=90°， ∵∠CON=90°，

∴∠CON=∠OCM=∠ONM=90°， ∴四边形OCMN是矩形， ∴AM=CM=2，∠CMN=90°， ∵∠AMC=60°， ∴∠AMN=30°，

√3

=√3， 在Rt△ANM中，MN=AM•cos∠AMN=2×2

∴M（2，√3），

∵双曲线y=𝑥（x＞0）经过圆心M， ∴k=2×√3=2√3， ∴双曲线的解析式为y=

2√3

（x＞0）； 𝑥

𝑘

（2）如图，过点B，C作直线， 由（1）知，四边形OCMN是矩形， ∴CM=ON=2，OC=MN=√3， ∴C（0，√3），

在Rt△ANM中，∠AMN=30°，AM=2， ∴AN=1， ∵MN⊥AB，

∴BN=AN=1，OB=ON+BN=3， ∴B（3，0），

设直线BC的解析式为y=k'x+b， 3𝑘′+𝑏=0∴{， 𝑏=√3∴{𝑘′=−

√3

3，

𝑏=√3

3

3

∴直线BC的解析式为y=-√x+√3．

【解析】

（1）先求出CM=2，再判断出四边形OCMN是矩形，得出MN，进而求出点M的坐标，即可得出结论；

（2）先求出点C的坐标，再用三角函数求出AN，进而求出点B的坐标，即可得

第15页，共19页

出结论．

此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系数法，求出点M的坐标是解本题的关键．

24.【答案】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，

(120−72)𝑥+(80−40)𝑦=1280𝑥=10则有{，解得{ 𝑦=20120𝑥+80𝑦=2800故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．

（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意 总利润W=（120-m-72）（10+3）+800 化简得W=−3m2+6m+1280=-3（m-9）2+1307 ∵a=−3＜0

∴当m=9时，取得最大值为1307， 故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元． 【解析】

1

1

1𝑚

（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题

（2）根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+盒，再列出关系式即可．

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．

25.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-1，0）B（3.0）、C（0，√3）三点

𝑎−𝑏+𝑐=0

323∴{9𝑎+3𝑏+𝑐=0 解得：a=−√，b=√，c=√3；

33

𝑐=√3323∴抛物线的解析式为：y=−√x2+√x+√3．

3

3

）

（2）抛物线的对称轴为x=1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q′（-2，y2） P（x1，y1在该抛物线上，y1≤y2，根据抛物线的增减性得： ∴x1≤-2或x1≥4

答：P点横坐标x1的取值范围：x1≤-2或x1≥4．

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（3）∵C（0，√3），B，（3，0），D（1，0） ∴OC=√3，OB=3，OD，=1 ∵F是BC的中点，

3

∴F（2，√）

23

当点F关于直线CE的对称点为F′，关于直线CD的对称点为F″，直线F′F″与CE、CD交点为M、N，此时△FMN的周长最小，周长为F′F″的长，由对称可得到：F′（2，

3√3

），F″（0，0）即点2

3

O，

F′F″=F′O=√(3)2+(3√3)2=3，

2

2

即：△FMN的周长最小值为3， 【解析】

（1）将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式；

（2）可以求出点Q（4，y2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x=-2，根据函数的增减性，可以求出当y1≤y2时P点横坐标x1的取值范围；

（3）由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点，连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．

考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性，勾股定理以及最小值的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关键．

26.【答案】解：（1）如图一（1）中，

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，

3

∵tan∠DAC=𝐴𝐷=5√3=√，

3

𝐷𝐶

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∴∠DAC=30°．

（2）①如图一（1）中，当AN=NM时， ∵∠BAN=∠BMN=90°，BN=BN，AN=NM， ∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL）， ∴BA=BM，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=∠DAC=30°，AB=CD=5， ∴AC=2AB=10， ∵∠BAM=60°，BA=BM， ∴△ABM是等边三角形， ∴AM=AB=5， ∴CM=AC-AM=5．

如图一（2）中，当AN=AM时，易证∠AMN=∠ANM=15°，

∵∠BMN=90°， ∴∠CMB=75°，∵∠MCB=30°，

-75°-30°=75°∴∠CBM=180°，

∴∠CMB=∠CBM， ∴CM=CB=5√5，

综上所述，满足条件的CM的值为5或5√3．

②结论：∠MBN=30°大小不变．

理由：如图一（1）中，∵∠BAN+∠BMN=180°， ∴A，B，M，N四点共圆， ∴∠MBN=∠MAN=30°．

如图一（2）中，∵∠BMN=∠BAN=90°， ∴A，N，B，M四点共圆， ∴∠MBN+∠MAN=180°， ∵∠DAC+∠MAN=180°， ∴∠MBN=∠DAC=30°， 综上所述，∠MBN=30°．

（3）如图二中，

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∵AM=MC， ∴BM=AM=CM， ∴AC=2AB， ∴AB=BM=AM，

∴△ABM是等边三角形， ∴∠BAM=∠BMA=60°， ∵∠BAN=∠BMN=90°， ∴∠NAM=∠NMA=30°， ∴NA=NM， ∵BA=BM，

∴BN垂直平分线段AM， ∴FM=2，

53∴NM=𝑐𝑜𝑠30∘=√，

3

𝐹𝑀5

∵∠NFM=90°，NH=HM，

53∴FH=2MN=√．

6

1

【解析】

（1）在Rt△ADC中，求出∠DAC的正切值即可解决问题．

（2）①分两种情形：当NA=NM时，当AN=AM时，分别求解即可． ．利用四点共圆解决问题即可． ②∠MBN=30°

（3）首先证明△ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题．

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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